Lý thuyết và bài tập Hình học 10

HèNH HỌC
Chương I : VECTƠ 
Đ1: CÁC ĐỊNH NGHĨA 
TểM TẮT Lí THUYẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng cú hướng .
+ Vectơ cú điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được 
kớ hiệu là ( đọc là vectơ AB).
A
B
+ Một vectơ xỏc định cũn được kớ hiệu là 
	(Chỳ ý: )
+ Vectơ – khụng (cú gạch nối giữa 2 từ): 
Vectơ cú điểm đầu và điểm cuối cuối trựng nhau gọi là vectơ-khụng, kớ hiệu 
	Vớ dụ: ,....
	+ Giỏ của vectơ : Mỗi vectơ ≠ , đường thẳng AB gọi là giỏ của vectơ . Cũn vectơ -khụng thỡ mọi đường thẳng qua A đều là giỏ của nú.
	+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. 
	+ Hai vectơ cựng phương là hai vectơ cú giỏ song song hoặc trựng nhau. 
Chỳ ý: 
	+ Độ dài của vectơ: đú là khoảng cỏch giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đú. Độ dài kớ hiệu là ||, 	
	ã Hai vectơ bằng nhau: nếu chỳng cựng hướng và cựng độ dài 
	Nếu bằng thỡ ta viết =.
	= , ||= 0.
	Vớ dụ: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Tỡm
	a) Tất cỏc vectơ khỏc ;
	b) Cỏc vectơ cựng phương;
	c) Cỏc vectơ bằng nhau.
Cỏc kớ hiệu thường gặp
 cựng phương kớ hiệu: //
 cựng hướng kớ hiệu: ưư
 ngược hướng kớ hiệu: ư¯
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Xỏc một vectơ, sự cựng phương cựng hướng
Chỳ ý: với hai điểm phõn biệt A, B ta cú hai vectơ khỏc vectơ là 
	Vớ dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Cú bao nhiờu vectơ khỏc vectơ - khụng cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc điểm đú.
Giải
Cú 10 cặp điểm khỏc nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đú cú 20 vectơ khỏc 
	Vớ dụ 2: Cho điểm A và vectơ khỏc . Tỡm điểm M sao cho:
D 
m 
	 cựng phương 
Giải
Gọi D là giỏ của 
Nếu cựng phương thỡ đường thẳng AM// D 
Do đú M thuộc đường thẳng m đi qua A và // D
Ngược lại, mọi điểm M thuục m thỡ cựng phương 
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta cú thể dựng một trong cỏc cỏch sau:
+ Sử dụng định nghĩa: 
+ Sử dụng tớnh chất của cỏc hỡnh . Nếu ABCD là hỡnh bỡnh hành thỡ
,
(hoặc viết ngược lại)
+ Nếu 
Vớ dụ 1: Cho tam giỏc ABC cú D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 
	Chứng minh: 	
Giải
Cỏch 1: EF là đường trung bỡnh của D ABC nờn EF//CD, 
EF=BC=CDị EF=CDị (1)
 cựng hướng (2)
Từ (1),(2) ị 
Cỏch 2: Chứng minh EFDC là hỡnh bỡnh hành
	EF=BC=CD và EF//CDị EFDC là hỡnh bỡnh hànhị	
Vớ dụ 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. 
	Chứng minh: 	
Giải
Ta cú MC//AN và MC=ANịMACN là hỡnh bỡnh hành
ị
Tương tự MCDN là hỡnh bỡnh hành nờn K là trung điểm
của MDị =. Tứ giỏ IMKN là hỡnh bỡnh hành,
suy ra =ị
Vớ dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau cú chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thỡ chỳng cú chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).
Giải
Giả sử . Khi đú AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuục nửa đường thẳng gúc Aị BºC.
(trường hợp điểm cuối trựng nhau chứng minh tương tự)
Vớ dụ 4: Cho điểm A và vectơ . Dựng điểm M sao cho:
	a) =;
b) cựng phương và cú độ dài bằng ||.
Giải
Giả sử D là giỏ của . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d// D
D 
d 
A
(nếu A thuộc D thỡ d trựng D). Khi đú cú hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:
AM1=AM2=||
Khi đú ta cú:
a) =
b) = cựng phương với 
Vớ dụ 5: Cho tam giỏc ABC cú H là trực tõm và O là tõm đường trũn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Chứng minh: .
Giải
BÀI TẬP Đ1
Bài 1: Cho tam giỏc ABC. Cú thể xỏc định được bao nhiờu vộctơ ( khỏc vectơ-khụng ) cú điểm đầu và điểm cuối là cỏc đỉnh tam giỏc?
Bài 2: Cho hai vectơ khụng cựng phươngvà . Cú hay khụng một vộctơ cựng phương với cả hai vộctơ đú. 
Bài 3: Cho ba vectơ cựng phương và đểu khỏc vộctơ khụng. Chứng minh rằng co ớt nhất là hai vộctơ trong chỳng cú cựng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phõn biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thỡ hai vộctơ và cựng hướng, trường hợp nào hai vộctơ ngược hướng. 
Bài 5: Cho tam gỏc ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AB, BC , CA. Hóy vẽ hỡnh và tỡm trờn hỡnh vẽ cỏc vộctơ bằng ,,. 
Bài 6: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú tõm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Tỡm cỏc vectơ cựng phương với ;
Tỡm cỏc vectơ cựng hướng với ;
Tỡm cỏc vectơ ngược hướng với ;
Tỡm cỏc vectơ bằng với , bằng với .
Bài 7: Cho lục giỏc đều ABCDEF cú tõm O
a) Tỡm cỏc vectơ khỏc và cựng phương ;
b) Tỡm cỏc vectơ bằng vectơ ;
c) Hóy vẽ cỏc vectơ bằng vectơ và cú:
	+ Cỏc điểm đầu là B, F, C
	+ Cỏc điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú tõm là O . Tỡm cỏc vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
bằng vectơ ; 
Cú độ dài bằng ờ ờ
Bài 9: Cho tứ giỏc ABCD. 
Chứng minh rằng ABCD là hỡnh bỡnh hành khi và chỉ khi 
Bài 10: Cho tứ giỏc ABCD. Chứng minh rằng nếu thỡ 
Bài 11 : Cho tứ giỏc ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. 
Chứng minh : 
Bài 12 : Xỏc định vị trớ tương đối của 3 điểm phõn biệt A, B và C trong cỏc trường hợp sau:
	a) và cựng hướng, ||>||;
	b) và ngược hướng;
	c) và cựng phương;
Bài 13 :Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Dựng
 . Chứng minh .
HD Đ1
Bài 1: 	cú cỏc cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xỏc định 2 vộctơ.
Bài 2: cú, đú là vectơ-khụng
Bài 3:	nếu ngược hướng và ngược hướng thỡ cựng hướng
Bài 4:	Cựng hướng khi A khụng nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 5: 
Bài 6: 
Bài 7: a) 
	b) 
	c)+ Trờn tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đú 
* là vectơ cần tỡm
* Trờn tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB ị 
+ tương tự 
Bài 8: 	a) ,
b) 
Bài 9: 
Chứng minh chiều : * ABCD là hỡnh bỡnh hành 	
 * 
Chứng minh chiều : * = , cựng hướng và 
 * và cựng hướng AB // CD (1)
 * AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hỡnh bỡnh hành
Bài 10: ị AB=DC, AB//CDịABCD là hỡnh bỡnh hành ị 
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vỡ chỳng bằng AC
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hỡnh bỡnh hành
ị đpcm
Bài 12 : Xỏc định vị trớ tương đối của 3 điểm phõn biệt A, B và C trong cỏc trường hợp sau:
	a) và cựng hướng, ||>||;
	b) và ngược hướng;
	c) và cựng phương;
	HD: a) và cựng hướng, ||>|| khi C nằm giữa A và B
	b) và ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
	c) Cựng phương thỡ cú thể cựng hướng hay ngược hướng
	+ cựng hướng: nếu ||>|| thỡ theo a); nếu ||<| thỡ B nằm giữa A và C.
	+ Ngược hướng thỡ theo b)
Bài 13 :Cho hỡnh bỡnh hành ABCD . Dựng
 . Chứng minh .
HD: Ta cú 
ị AM=NP và AM//NPị AMNP là hỡnh bỡnh hành (1)
	Tương tự QMNP cũng là hỡnh bớnh hành (2)
Từ (1)&(2)ị AºQị 
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
 Cho DABC. Cú thể xỏc định được bao nhiờu vectơ khỏc 
2. Cho tứ giỏc ABCD
a/ Cú bao nhiờu vectơ khỏc 
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR : = 
Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xỏc định cỏc vectơ cựng phương với 
b/ Xỏc định cỏc vectơ bằng 
Cho hai hỡnh bỡnh hành ABCD và ABEF. Dựng cỏc vectơ và bằng 
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hỡnh bỡnh hành.
Cho hỡnh thang ABCD cú hai đỏy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ = . CMR :
a/ I là trung điểm AB và = 
b/ = = 
Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng = và = 
a/ CMR : = 
b/ Hỡnh tớnh tứ giỏc AKBN
c/ CMR : = 
Đ2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Túm tắt lý thuyết 
1. Tổng cỏc vectơ
ã Định nghĩa: Cho 2 vộc tơ và. Lấy 1 điểm A tựy ý, dựng =,=.
 Khi đú +=
Phộp lấy tổng của 2 vộctơ đ gọi là phộp cộng vộctơ .
ã Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tựy ý, ta cú : + =
ã Quy tắc hỡnh bỡnh hành . Nếu ABCD là hỡnh bỡnh hành thỡ + =
A
B
C
D
2. Vectơ đối
	+ Cho vectơ . Vectơ cú cựng độ dài và ngược hướng được gọi là vectơ đối của vectơ , kớ hiệu là - 	ị +(-)=
	+ Mọi vectơ đều cú vectơ đối, vớ dụ cú vectơ đối là nghĩa là
 = -
	+ vectơ đối của là .
3. Hiệu cỏc vectơ (phộp trừ)
	Định nghĩa: -= +(-)
	ã Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tựy ý cho trước ta cú:
 (hoặc )hay 	
4. Tớnh chất : với bất kỡ ta cú:
+ Giao hoỏn : = 
+ Kết hợp 	() + = +)
+ +=+=
+ +(-)=-+=
+ |+| ≤ ||+||, dấu “=” xảy ra khi , cựng hướng.
+ ư¯ và || ≥ || ị |+|=||-||
+ = Û+=+
+ += Û =-, =-
+ -(+)=--; -(-)=-+
Ghi chỳ:
	+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB Û
	+ Điểm G là trọng tõm tam giỏc ABC Û 
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tỡm tổng 
b) Chứng minh : 
Giải:
a) + Vỡ nờn ta cú 
 = ==
 +Vỡ nờn ta cú 
 = ==
 +Vỡ nờn ta cú 
 = =, E là đỉnh của hỡnh bỡnh hành AMED.
b) Vỡ tứ giỏc AMCN là hỡnh bỡnh hành nờn ta cú 
Vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn 
Vậy 
Bài 2: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O. 
	Chứng minh: 
Giải
	Vỡ O là tõm của lục giỏc đều nờn:
	ị đpcm
Bài 3: Cho ngũ giỏc đều ABCDE tõm O.
	a) Chứng minh rằng vectơ đều cựng phương 
	b) Chứng minh và cựng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa ODị d là trục đối xứng của 
ngũ giỏc đều. Ta cú , trong đú M là đỉnh
hỡnh thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự 
, N ẻ d. Vậy và cựng phương 
vỡ cựng giỏ d.
b) AB và EC cựng vuụng gúc d ị AB//EC
	ị //
Bài 4: Cho tam giỏc ABC. Cỏc điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
	a) Tỡm .
	b) Phõn tớch theo hai vectơ .
Giải
a)= 
==(Vỡ )
==
==
b)
B
A
C
D
Bài 5: Cho hỡnh thoi ABCD cú =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chộo. 
Tớnh 
Giải 
Vỡ ABCD là hỡnh thoi cạnh a và =600 nờn AC=
và BD=a. Khi đú ta cú :
Bài 6: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a cú O là giao điểm của hai đường chộo.
	Tớnh 
Giải
Ta cú AC=BD=; 
Do đú	 
	 (vỡ )
Ta cú ị ||=BD=
* Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương phỏp: cú thể sử dụng cỏc phương phỏp sau
	1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đó biết là đỳng.
	3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kỡ. 
	Chứng minh rằng: 	(theo 3 cỏch)
Giải 
	Cỏch 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trỏi
	Cỏch 2: (sử dụng hiệu)
	Cỏch 3: Biến đổi vế trỏi thành vế phải
Bài 8: Cho sỏu điểm A, B, C, D, E, F. 
	Chứng minh:
Giải
VT	=
	=
	= (vỡ )=VPị đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. 
Chứng minh rằng: 
Giải
Ta cú nờn
VT	= =
	==VPị đpcm
Bài 10: Cho tam giỏc ABC. Cỏc điểm M, N, P lần lượt là trung điểm cỏc cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kỡ ta cú: 
Giải
VT	=
	=
	=
	Mà 
ị=
ị VT==VPị đpcm
BÀI TẬP PHẫP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : + = + 
Cho 5 điểm A, B, C, D, E. 
CMR : + + = + 
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. 
CMR : 
Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. 
CMR : + + + = + + + 
Gọi O là tõm của hỡnh bỡnh hành ABCD. CMR :
a/ + = 	b/ + =
c/ + + + = 	
d/ + = + (với M là 1 điểm tựy ý)
Cho tứ giỏc ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR : + = + 
Cho DABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tựy ý , , 
CMR : + + = + + .
Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a. Tớnh ỳỗ theo a
Cho hỡnh chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tớnh ẵỗ	b/ Dựng = . Tớnh ỳẵ
Cho DABC vuụng tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng = . 	b/ Tớnh ỳẵ.
Cho tứ giỏc ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho cỏc vộc tơ cú độ dài bằng nhau và = 0. Chứng minh ABCD là hỡnh chữ nhật.
Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : - = + 
Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/ + - - + - = 
b/ - - = - - 
c/ - - = - + 
Cho DABC. Hóy xỏc định điểm M sao cho :
a/ - + = 	b/ - + = 
c/ - + = 	d/ - - = 
e/ + - + = 
Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tớnh ẵ- ỗ	b/ Dựng = - . Tớnh ẵỗ
Cho DABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tớnh ẵỗ	b/ Tớnh ẵ- ỗ
Cho DABC vuụng tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tớnhẵỗ
BÀI TẬP THấM
Bài 1 : Cho A,B,C,D tỡm cỏc vộctơ sau:
 a) 	b) 
 c) .	d) 
Bài 2: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD tõm O . Đặt = ; = 
	Tớnh ; ; ; theo và 
Bài 3: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a . Tớnh ờ + ờ ; ờ - ờ theo a.
Bài 4: Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 8cm ; AD = 6cm . Tỡm tập hợp điểm M , N thỏa 
	a) ờ - ờ= ờờ
	b) ờ - ờ= ờờ
Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a) + + = + 
b) + + = + + 
c) + + + = + + 
d) - + - + - = 
Bài 6 : Cho tam giỏc OAB. Giả sử . Khi nào điểm M nằm trờn đường phõn giỏc trong của gúc AOB? Khi nào N nằm trờn đường phõn giỏc ngoài của gúc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giỏc đều ABCDE tõm O Chứng minh : 
Bài 8 : Cho tam giỏc ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta cú:
Bài 9: Cho lụ giỏc đều ABCDEF cú tõm là O . CMR :
	a) +++++=	b) ++ = 
	c) ++ =	d) ++ = ++ ( M tựy ý )
Bài 10: Cho tam giỏc ABC nội tiếp trong đường trũn tõm O , trực tõm H , vẽ đường kớnh AD
Chứng minh rằng + = 
Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng + + = 
Bài 11: Tỡm tớnh chất tam giỏc ABC, biết rằng : ờ + ờ = ờ - ờ
PHẫP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa: Cho ≠, 0≠k ẻ ta cú =k (gọi là phộp một số thực với 1 vectơ). Khi đú:
	+ cựng phương 
	+ cựng hướng khi k>0
	+ ngược hướng khi k<0
	+ ||=| k|=|k|.| |
	Quy ước: 0=; k=
2) Tớnh chất: Cho , bất kỡ và k,h ẻ , khi đú
+ k(+)= k+k
+ (k+h) = k+h
+ k(h)= (kh) 
+ 1. =; (-1) =-
* Tớnh chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta cú:
* Tớnh chất trọng tõm tam giỏc: G là trọng tõm DABC, với mọi M ta cú:
3) Điều kiện để hai vectơ cựng phương
	" ,; cựng phương ≠Û $ 0≠k ẻ : =k
(" ,; cựng phương ≠Û $ 0≠k ẻ : =k)
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
	Û cựng phương Û$ 0≠k ẻ : 
5) Phõn tớch (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ khụng cựng phương:
Cho hai , khỏc và khụng cựng phương. Khi đú " bao giờ cũng tỡm được hai số m, n sao cho: = m+n.
Nếu G là trọng tõm 
AG=AI; GI=AI
AG=2GI
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Xỏc định vectơ k
	PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k và cỏc tớnh chất
1) Cho và điểm O. Xỏc định hai điểm M và N sao cho :
O
M
N
Giải
 Vẽ d đi qua O và // với giỏ của (nếu O ẻ giỏ của thỡ d là giỏ của )
- Trờn d lấy điểm M sao cho OM=3| |, và cựng hướng khi đú .
- Trờn d lấy điểm N sao cho ON= 4||, và ngược hướng nờn 
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trờn đoạn AB sao cho AM=AB. Tỡm k trong cỏc đẳng thức sau:
Giải
a) , vỡ ị k=
b) k= -	c) k= -
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 là (-5) 
	b) Tỡm vectơ đối của cỏc vộctơ 2+3 , -2
Giải
a) -5=(-1)(5)=((-1)5) = -(-5) 
b) -(2+3)= (-1)( 2+3)= (-1) 2+(-1)3=(-2)+(-3) =-2-3
c) Tương tự
2. Biểu diễn (phõn tớch, biểu thị) thành hai vectơ khụng cựng phương
A
1) Cho D ABC cú trọng õtm G. Cho cỏc điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt . Hóy phõn tớch cỏc vectơ theo hai vectơ .
Giải Ta cú 
2) Cho tam giỏc ABC. Điểm M nằm trờn cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hóy phõn tớch vectơ theo hai vectơ .
Giải
	Ta cú 
	mà 
	ị 
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
	+ A, B, C thẳng hàng Û cựng phương Û$ 0≠k ẻ : 
	+ Nếu và hai đường thẳng AB và CD phõn biệt thỡ AB//CD.
1) Cho tam giỏc ABC cú trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK=AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Giải
	Ta cú 
Ta cú
	Từ (1)&(2)ị ị B, I, K thẳng hàng.
2) Cho tam giỏc ABC. Hai điểm M, N được xỏc định bởi hệ thức: 
, . Chứng minh MN//AC
Giải
. Theo giả thiết
Mà A,B,C khụng thẳng hàng nờn bốn điểm A,B,C,M là hỡnh bỡnh hành
ị M khụng thuộc ACị MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ cú chứa tớch của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
Giải
2) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD. Chứng minh: .
Giải
Áp dụng qi tắc hỡnh bỡnh hành ta cú 
ị VT=(đpcm)
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tõm tam giỏc ABC và A’B’C’ thỡ .
Giải
5. Xỏc định vị trớ của một điểm nhờ đẳng thức vộctơ
	+ 
	+ Cho điểm A và . Cú duy nhất M sao cho : 
	+ 
1) Cho tam giỏc ABC cú D là trung điểm BC. Xỏc định vị trớ của G biết .
D
Giải
ị A,G,D thẳng hàng. 
AG=2GD gà G nằm giữa A và D. 
Vậy G là trọng tõm tam giỏc ABC.
2) Cho hai điểm A và B. Tỡm điểm I sao cho: .
HD
	hay IA=2IB , . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB=AB
3) Cho tứ giỏc ABCD. Xỏc định vị trớ điểm G sao cho: 
Giải
Ta cú , trong đú I là trung điểm AB
Tương tự , K là trung điểm CD
ị G là trung điểm IK
BÀI TẬP
Bài 1: Cho DABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tựy ý.
a/ CMR : + + = 	
b/ CMR : + + = + + 
Bài 2: Cho DABC cú trọng tõm G. Gọi MẻBC sao cho = 2
a/ CMR : + 2 = 3
b/ CMR : + + = 3
Bài 3: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : + = 2
b/ CMR : + + + = 
c/ CMR : + + + = 4 (với M tựy ý)
 d/ Xỏc định vị trớ của điểm M sao choẵ + ++ẵ nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giỏc ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tựy ý.
a/ CMR : + + + = 
b/ CMR : +++ = +++
c/ CMR : + = 4 (với G là trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai DABC và DEF cú trọng tõm lần lượt là G và H. 
CMR : + + = 3
Bài 6: Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú tõm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ + + + = 
b/ + + 2 = 3
c/ + 2+ 4= 
Bài 7: Cho DABC cú M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trờn cạnh AC sao cho = . Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR : = + 	b/ CMR : = + 
Bài 8: Cho DABC. Trờn hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho = 2 , = 3. Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
a/ = + 
b/ = + 
Bài 9: Cho lục giỏc đều ABCDEF tõm O cạnh a
	a) Phõn tớch theo và 
	b) Tinh theo a
Bài 10: Cho tam giỏc ABC cú trung tuyến AM (M là trung điểm BC). 
Phõn tớch theo và 
Bài 11: Cho tam giỏc ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trờn AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phõn tớch theo và .
Bài 15: Cho tam giỏc ABC, Gọi I là điểm trờn cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trờn BC kộo dài sao cho 5JB = 2JC.
	a) Tớnh 
b) Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC . Tớnh theo và 
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 + 3 = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho DABC, lấy M, N, P sao cho = 3;+3= và + = 
a/ Tớnh , theo và 
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giỏc ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh cỏc tam giỏc ABC và A’B’C’ cú cựng trọng tõm.
Bài 19: Cho tam giỏc ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua cỏc trung điểm K, I, J của cỏc cạnh BC, CA, AB
	a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
	b/ Chứng minh khi M di động , MN luụn qua trọng tõm G tam giỏc ABC
Bài 20: Cho tam giỏc ABC. Tỡm tập hợp cỏc điểm M thoả món tưng đtều kiện sau :
a/ .	b/ 	c/ |
d/ 	e/ | 
Đ4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.Trục tọa độ
Ä Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trờn đú xỏc định điểm O và một vectơ cú độ dài bằng 1. Ký hiệu trục (O; ) hoặc x’Ox
O gọi là gốc tọa độ; vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Ä Tọa độ của vectơ và của điểm trờn trục
+ Cho điểm M nằm trờn trục (O; ). Khi đú cú duy nhất một số m sao cho . Số m gọi là tọa độ của m đối với trục (O; ) (nú cũng là tọa độ của ).
+ Cho vectơ trờn trục (O; ). Khi đú cú duy nhất số x sao cho . Số x gọi là tọa độ của vectơ đối với trục (O; ).
Ä Độ dài đại số của vectơ trờn trục
Cho A,B nằm trờn trục (O; ). Khi đú cú duy nhất số a sao cho = a. Ta gọi số a là độ dài đại số của đối với trục đó cho.
Kớ hiệu: a=. Như vậy =
	*Nhận xột: 	
+ Nếu thỡ = AB
+ Nếu thỡ = -AB
+ Nếu hai điểm A và B trờn trục (O; ) cú tọa độ lần lượt là a và b thỡ 
= b-a
ỉ Tớnh chất: 
+ 
+ (hệ thức Sa-lơ)
2. Hệ trục tọa độ
Ä Hệ trục tọa độ
 Hệ trục tọa độ vuụng gúc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuụng gúc nhau. Vectơ đơn vị trờn Ox là , vectơ đơn vị trờn Oy là . Ký hiệu Oxy hoặc (O; ;).
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đó cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đú là mặt phẳng tọa độ.
Ä Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
Đối với hệ trục (O; ;), nếu =x +y thỡ cặp số (x;y) là toạ độ của .
 	Ký hiệu = (x ; y) hoặc (x ; y)
Nhận xột: (hai vectơ bằng nhau) Cho = (x ; y), = (x’;y’) 
	=
Ä Một số tớnh chất: Cho = (x ; y), = (x’;y’). Khi đú:
	1) ± = (x ± x’; y ± y’)
	2) k=(kx ; ky) với " kẻ
	3) m+ n=(mx+nx’ ; my+ny’)
	4) //ạ Û cú số k thỏa =k Û Û
ỉ Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M Û =(x ; y)
	Khi đú, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M
+ M(x ; y)Û Û=(x;