Luyện thi đại học môn Toán năm 2015 - Bài 1. Mở đầu về lũy thừa

Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 
1) Khái niệm về Lũy thừa 

 Lũy thừa với số mũ tự nhiên: . . ... ,=na a a a a với n là số tự nhiên. 

 Lũy thừa với số nguyên âm: 1 ,− =n
n
a
a
 với n là số tự nhiên. 

 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: ( )= =m mn m nna a a với m, n là số tự nhiên. 
Đặt biệt, khi m = 1 ta có 
1
.=
nna a 
2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa 

 Tính chất 1: 
0
1
1,
,
 = ∀

= ∀
a a
a a a

 Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 1:
0 1:
 > > ⇔ >

 ⇔ <
m n
m n
a a a m n
a a a m n

 Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì 0
0
 > ⇔ >

< ⇔ <
m m
m m
a b m
a b m
Chú ý: 
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. 
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 
3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa 

 Nhóm công thức 1: 
( ) ( )
.
+
−
=
=
= =
m n m n
m
m n
n
n m
m mn n
a a a
a
a
a
a a a

 Nhóm công thức 2: 
( ) 1 11 3 32 ; ;
. , , 0
, , 0
= = → = = =
= ∀ ≥
= ∀ ≥ >
m
m
n m n nn n
n n n
n
n
n
a a a a a a a a a
ab a b a b
a a
a b
b b
Ví dụ 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau : 
a) 
2 1
2 1
.a
a
−
 
 
 
 b) pi 2 4pi4. :a a a 
c) ( ) 33a d) 32. 1,3 3 2. :a a a 
Lời giải: 
a) ( )2 1 2 12 2 1 2 1 21.a a a a a a
a
−
−
− −
 
= = = 
 
. 
b) 
1
12
pi 2 4pi pi4 2
pi
. :
a
a a a a a a
a
= = = 
c) ( ) 33 3. 3 3a a a= = 
d) 
2. 1,3
32. 1,3 3 2 1,3
2
.
. :
a a
a a a a
a
= = 
Ví dụ 2: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức : 
01. MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA 
Thầy Đặng Việt Hùng 
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 
a) ( )
2 2 2 3
2
2 3
1a b
a b
−
+
−
 b) ( )( )2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
1a a a a
a a
− + +
−
c) 
5 7
2 5 3 7 2 7
3 3 3 3
a b
a a b b
−
+ +
 d) ( )
pi1
2pi pi pi4a b ab
 
+ −  
 
Lời giải: 
a) ( )
( )( )
( ) ( )
2 3 2 32 2 2 3 2 3 2 3 2
2 2 2 32 32 3 2 3
21 1
a b a ba b a b a b a
a ba ba b a b
− +
− + + −
+ = + = =
−
−
− −
b) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )
2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3
3
4 3 3 3 3 3 2 3
1 1 1 1
1
1 1
a a a a a a a a a
a
a a a a a a
− + + − + + +
= = +
−
− + +
c) 
5 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3
5 75 7
3 3
2 5 3 7 2 7 2 5 3 7 2 7
3 3 3 3 3 3 3 3
a b a a b b
a b
a b
a a b b a a b b
  
− + +    
−   
= = −
+ + + +
d) ( ) ( )
pi1
2 2pi pi 2pi 2pi pi pi pi pi pi pi pi pipi4 2 4a b ab a b a b a b a b a b
 
+ − = + + − = − = − 
 
Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau : 
a) 5 32 2 2A = b) ( )
11
16: 0B a a a a a a= > 
c) 24 3C x x= d) ( )5 3 0b aD ab
a b
= > 
Lời giải: 
a) 
1 1
1 1 15 5
3 1 31 3 13 3 5
5 3 2 5 102 2 22 2 2 2 .2 .2 2 .2 2 .2 2 2A
 
             
= = = = = =         
              
b) 
1
1 12
1 151 12 2
11 11 11 7 113 3 12 162 2 11
16 16 6 8 162 4 4
11
16
: . : . : :
aB a a a a a a a a a a a a a a a
a
++
 
             
= = = = = =         
              
Ví dụ 4: [ĐVH]. Rút gọn biểu thức sau : 
a) 
1 1 11 12 2
4 4
3 1 1 1 1
4 2 4 4 4
:
a b a bA a b
a a b a b
− 
 
− − 
= − −  
 + +  
 b) 
3 3 3 3
4 4 4 4
1 1
2 2
a b a b
B ab
a b
   
− +   
   
= − 
 −
 
 
Lời giải: 
a)
1 1 1 1 1 1
1 1 1 12 2 2 2 2 2
4 4 4 4
3 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1
4 2 4 4 4 4 42 4 4 2 4 4 4 4
1
: : .
a b a b a b a b a b a a bA a b a b
a a b a b a ba a b a a b a b
 
  
   
− − − − − − +  
= − − = − − = =              + + +   + + −       
       
1 1 1
2 2 2
1 1 1
2 2 2
b a b b
a
a a b
 
− 
= = 
 
− 
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 
b) 
( )
3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
a b a b a b a b a b a b a b
B ab a b
a b a b a b
         
− + − − − − −         
         
= − = = = −     
   − −
−    
    
Ví dụ 5: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức sau (với giả thiết chúng có nghĩa) 
a) 
3 2 1 13 2
4 4
3 3
:
a b aA a b
b a a b
 
      
= + +         
      
 b) 
2
22
4
4 4
2
aB
a
a
a
+
=
 −
+ 
 
Lời giải: 
a)
3 3 12 1 1 1 1 2 23 2 2 2 3
4 4 4 4
3 1 1 12 3 1 13 3
32 2 4 4 4 4
1
1
: :
a
a b a a b a a bb abA a b a b
a bb a a b b a a b ab a b
     +        +    
= + + = + + = =                           + +      
 
b) 
( )
2 2
2 22 2
2
2 024 4
2 04 44
2 4
aaa aB
aa
a a
a a
a a
⇔ ≥+ +
= = = = 
− ⇔ < − +
+ 
 
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau : 
a) ( ) 2 23 3 33 3a b a b ab + + − 
 
 b) 
1 1
3 3 3 3: 2 a ba b
b a
  
+ + +    
   
Lời giải: 
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3a b a b ab a b a a b b a b a b   + + − = + − + = + = +      
b) 
1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 1 1
1 1 3 3
3 3 3 3
1 1 2 2 2 1 11 1
3 3 3 3 3 33 3
: 2
2
a b a b a b a b
a b a b
a b
b a
a b a b a ba b
   
+ +   
      + + + = = =    
     + + ++ 
 
BÀI TẬP LUYỆN TẬP 
Bài 1: [ĐVH]. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại) 
a) 24 3 .=A x x b) 5 3 .= b aB
a b
 c) 5 32 2 2 .=C 
d) 3 32 3 2 .
3 2 3
=D e) 4 3 8 .=D a f) 
25
3
.=
b bF
b b
Bài 2: [ĐVH]. Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau? 
a) ( ) ( )
2 1
3 31 1 .− −− +a a c) 
0,2
21
.
−
 
< 
 
a
a
d) ( ) ( )
1 1
3 21 1 .− −− > −a a e) ( ) ( )
3 2
42 2 .− > −a a f) 
1 1
2 21 1
.
−
   
>   
   a a
Bài 3: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau: 
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! 
a) ( ) ( )
11 1
2 23 2 3 2 3 2 3 2
−
   
= + − − + + −   
      
A 
b) 4 10 2 5 4 10 2 5 .= + + + − +B 
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số 4( ) .
4 2
=
+
x
x
f x 
a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1. 
b) Tính tổng 1 2 2010... .
2011 2011 2011
     
= + + +     
     
S f f f 
Bài 5: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau 
a) 
5
2pi
2
 
 
 
 và 
10
3pi
2
 
 
 
 b) 
2
pi
2
 
 
 
 và 
3
pi
5
 
 
 
 c) 
10
43
5
 
 
 
 và 
5
24
7
 
 
 
d) 
3
7
6






 và 
2
8
7






 e) 
5
pi
6
 
 
 
 và 
2
pi
5
 
 
 
Bài 6: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau 
a) 3 30 và 5 20 b) 4 5 và 3 7 
c) 17 và 3 28 d) 4 13 và 5 23 
Bài 7: [ĐVH]. Tìm x thỏa mãn các phương trình sau? 
1) 54 1024=x 2) 
15 2 8
2 5 125
+
 
= 
 
x
 3) 1 3 18
32
−
=
x
4) ( )
22 13 3
9
−
 
=  
 
x
x
 5) 2 8 27.
9 27 64
−
   
=   
   
x x
 6) 
2 5 63 1
2
− +
 
= 
 
x x
7) 2 81 0,25.32
0,125 8
−
−
 
=  
 
x
x
 8) 0,2 0,008=x 9) 
3 7 7 39 7
49 3
− −
   
=   
   
x x
10) ( ) ( ) 112 . 3
6
=
x x
 11) 1 1 17 .4
28
− −
=
x x