Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán

Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng 
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn 
04. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
Thầy Đặng Việt Hùng 
Kiến thức cơ bản: 
1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = B A B Ax x y y2 2( ) ( )− + − 
2) Khoảng cách từ điểm M x y0 0( ; ) đến đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = : 
ax by c
d M d
a b
0 0
2 2
( , )
+ +
=
+
Đặc biệt: + Nếu ∆: x a= thì d M x a0( , )∆ = − 
 + Nếu ∆: y b= thì d M y b0( , )∆ = − 
 + Tổng các khoảng cách từ M đến các trục toạ độ là: x y0 0+ . 
3) Diện tích tam giác ABC: S = ( )AB AC A AB AC AB AC 22 21 1. .sin . .
2 2
= −



 



4) Các điểm A, B đối xứng nhau qua điểm I ⇔ IA IB 0+ =


 


 ⇔ A B I
A B I
x x x
y y y
2
2
 + =
 + =
5) Các điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ⇔ AB
I
∆
∆
 ⊥

∈
 (I là trung điểm AB). 
Đặc biệt: + A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔ B A
B A
x x
y y
 =

= −
 + A, B đối xứng nhau qua trục Ox ⇔ B A
B A
x x
y y
 =

= −
6) Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ với đường cong (C) bằng khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm M ∈ ∆ 
và một điểm N ∈ (C). 
7) Điểm M x y( ; ) được gọi là có toạ độ nguyên nếu x y, đều là số nguyên. 
Ví dụ 1: Cho hàm số y x x3 3 2= − + + (C). 
Tìm 2 điểm trên đồ thị hàm số sao cho chúng đối xứng nhau qua tâm M(–1; 3). 
 Hướng dẫn giải: 
Gọi ( )A x y0 0; , B là điểm đối xứng với A qua điểm M( 1;3)− ( )B x y0 02 ;6⇒ − − − 
A B C, ( )∈ ⇔ 
y x x
y x x
3
0 0 0
3
0 0 0
3 2
6 ( 2 ) 3( 2 ) 2

= − + +

− = − − − + − − +
( ) ( )x x x x x x33 20 0 0 0 0 06 3 2 2 3 2 2 6 12 6 0⇔ = − + + − − − + − − + ⇔ + + = ⇔ x y0 01 0= − ⇒ = 
Vậy 2 điểm cần tìm là: ( 1;0)− và ( 1;6)− 
Ví dụ 2: Cho hàm số xy x x
3
2 113
3 3
= − + + − . 
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung. 
Hướng dẫn giải: 
Hai điểm M x y N x y C1 1 2 2( ; ), ( ; ) ( )∈ đối xứng nhau qua Oy ⇔ 
x x
y y
2 1
1 2
0 = − ≠

=
⇔ 
x x
x x
x x x x2
2 1
3 3
2 31 2
1 1 2
0
11 113 3
3 3 3 3
 = − ≠


− + + − = − + + −

 ⇔ 
x
x
1
2
3
3
 =

= −
 hoặc x
x
1
2
3
3
 = −

=
Vậy hai điểm thuộc đồ thị (C) và đối xứng qua Oy là: M N16 163; , 3;
3 3
   
−   
   
. 
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng 
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn 
Ví dụ 3: Cho hàm số y x x3 3 2= − + + (C). 
Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: x y2 2 0− + = . 
 Hướng dẫn giải: 
Gọi ( ) ( )M x y N x y1 1 2 2; ; ; thuộc (C) là hai điểm đối xứng qua đường thẳng d 
I là trung điểm của AB nên x x y yI 1 2 1 2;
2 2
 + +
 
 
, ta có I d∈ 
Ta có 
( ) ( )x x x xy y x x3 31 1 2 21 2 1 23 2 3 2 2. 2
2 2 2
− + + + − + ++ +
= = + 
( ) ( ) ( ) ( ) x xx x x x x x x x x x
x x x x
3 1 2
2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2
0
3 3 2
1
 + =
⇒ − + + + + + = + ⇒ 
− + =
Mặt khác: ( ) ( )MN d x x y y2 1 2 1.1 .2 0⊥ ⇒ − + − = 
( ) ( )( )x x x x x x x x x x x x2 2 2 22 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 77 2 0 2⇒ − − − + + = ⇒ + + = 
- Xét x x1 2 0+ = x x1 2
7 7
;
2 2
⇒ = ± = ∓ 
- Xét 
x xx x x x
x x x x x x
2 22 2
1 21 1 2 2
2 2
1 1 2 2 1 2
9
1
47 5
2 4
 + =− + =  
⇔ ⇒ 
+ + =  = 
 vô nghiệm 
Vậy 2 điểm cần tìm là: 7 1 7 7 1 7;2 ; ;2
2 2 2 2 2 2
   
− − +   
   
   
Ví dụ 4: Cho hàm số y x x x3 21 53
3 3
= + − + . 
Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục Ox. Chứng minh rằng trên đồ thị (C) tồn tại hai điểm cùng nhìn 
đoạn AB dưới một góc vuông. 
 Hướng dẫn giải: 
 PT hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành: xx x x
x
3 21 5 13 0
53 3
 =+ − + = ⇔ 
= −
⇒ A B( 5;0), (1;0)− . Gọi M a a a a C M A B3 21 5; 3 ( ), ,
3 3
 
+ − + ∈ ≠ 
 
⇒ AM a a a a3 2
1 55; 3
3 3
 
= + + − + 
 




, BM a a a a3 2
1 51; 3
3 3
 
= − + − + 
 




AM BM AM BM. 0⊥ ⇔ =



 



 ⇔ a a a a2 4
1( 5)( 1) ( 5) ( 1) 0
9
+ − + + − = 
⇔ a a3
11 ( 1) ( 5) 0
9
+ − + = ⇔ a a a a4 3 22 12 14 4 0 (*)+ − + + = 
Đặt y a a a a4 3 22 12 14 4 0= + − + + = , có tập xác định D = R. 
y a a a3 24 6 12 14′ = + − + ; y 0′ = có 1 nghiệm thực a y0 0
7 2043
2 16
≈ − ⇒ ≈ − 
Dựa vào BBT ta suy ra (*) luôn có 2 nghiệm khác 1 và –5. 
Vậy luôn tồn tại 2 điểm thuộc (C) cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. 
Ví dụ 5: Cho hàm số y x x4 22 1= − + . 
Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) sao cho đường thẳng PQ song song với trục hoành và khoảng cách từ 
điểm cực đại của (C) đến đường thẳng PQ bằng 8. 
Hướng dẫn giải: 
Điểm cực đại của (C) là A(0;1) . PT đường thẳng PQ có dạng: y m m( 0)= ≥ . 
Vì d A PQ( , ) 8= nên m 9= . Khi đó hoành độ các điểm P, Q là nghiệm của phương trình: 
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng 
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn 
x x x4 22 8 0 2− − = ⇔ = ± . 
Vậy: P Q( 2;9), (2;9)− hoặc P Q(2;9), ( 2;9)− . 
Ví dụ 6: Cho hàm số y x mx m4 2 1= + − − (Cm). 
Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Tìm m để các tiếp tuyến 
tại A và B vuông góc với nhau. 
 Hướng dẫn giải: 
 Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y x mx34 2′ = + . 
Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau ⇔ y y(1). ( 1) 1′ ′ − = − ⇔ m 2(4 2 ) 1+ = ⇔ m m3 5;
2 2
= − = − . 
Ví dụ 7: Cho hàm số xy
x
2
2 1
+
=
−
. 
Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2; 0) và B(0; 2). 
 Hướng dẫn giải: 
PT đường trung trực đọan AB: y x= . 
Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của PT: 
x
x
x
2
2 1
+
=
−
 ⇔ x x x x2
1 5 1 5
1 0 ;
2 2
− +
− − = ⇔ = = 
Hai điểm cần tìm là: 1 5 1 5 1 5 1 5, ; ,
2 2 2 2
   
− − + +
   
   
   
Ví dụ 8: Cho hàm số xy
x
3 4
2
−
=
−
 (C). 
Tìm các điểm thuộc (C) cách đều 2 tiệm cận. 
Hướng dẫn giải: 
Gọi M x y( ; )∈ (C) và cách đều 2 tiệm cận x = 2 và y = 3. 
Ta có: x xx y x x
x x
3 42 3 2 2 2
2 2
−
− = − ⇔ − = − ⇔ − =
− −
x x
x
xx
1( 2)
42
 =⇔ = ± − ⇔ 
=
− 
Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6) 
Ví dụ 9: Cho hàm số xy
x
2 1
1
+
=
+
 (C). 
Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất. 
 Hướng dẫn giải: 
Gọi M x y0 0( ; )∈ (C), ( x0 1≠ − ) thì 
x
y
x x
0
0
0 0
2 1 1
2
1 1
+
= = −
+ +
Gọi A, B lần lượt là hình chiếu của M trên TCĐ và TCN thì: MA x MB y
x0 0 0
1
1 , 2
1
= + = − =
+
Áp dụng BĐT Cô-si ta có: MA MB MA MB x
x0 0
12 . 2 1 . 2
1
+ ≥ = + =
+
⇒ MA + MB nhỏ nhất bằng 2 khi xx
xx
0
0
00
01
1
21
 =
+ = ⇔ 
= −+ 
. 
Vậy ta có hai điểm cần tìm là (0; 1) và (–2; 3). 
Ví dụ 10: Cho hàm số xy
x
2 1
1
−
=
+
. 
Tìm tọa độ điểm M ∈ (C) sao cho khoảng cách từ điểm I( 1; 2)− tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất. 
Hướng dẫn giải: 
Giả sử M x C
x0 0
3
; 2 ( )
1
 
− ∈  + 
. PTTT ∆ của (C) tại M là: 
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng 
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn 
y x x
x x
02
0 0
3 32 ( )
1 ( 1)
− + = −
+ +
 ⇔ x x x y x20 0 03( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0− − + − − + = 
Khoảng cách từ I( 1;2)− tới tiếp tuyến ∆ là: 
( )
x x x
d
xx x
x
0 0 0
4 4 200 02
0
3( 1 ) 3( 1) 6 1 6
99 ( 1)9 1 ( 1)
( 1)
− − − + +
= = =
+ ++ + + +
+
. 
Theo BĐT Cô–si: x
x
2
02
0
9 ( 1) 2 9 6
( 1)
+ + ≥ =
+
 ⇒ d 6≤ . 
Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi x x x
x
2 2
0 0 02
0
9 ( 1) ( 1) 3 1 3
( 1)
= + ⇔ + = ⇔ = − ±
+
. 
Vậy có hai điểm cần tìm là: ( )M 1 3;2 3− + − hoặc ( )M 1 3;2 3− − + 
Ví dụ 11: Cho hàm số xy
x
2 4
1
−
=
+
. 
Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) và N(–1; –1). 
Hướng dẫn giải: 
MN (2; 1)= −





 ⇒ Phương trình MN: x y2 3 0+ + = . 
Phương trình đường thẳng (d) ⊥ MN có dạng: y x m2= + . 
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x x m
x
2 4 2
1
−
= +
+
 ⇔ x mx m x22 4 0 ( 1)+ + + = ≠ − (1) 
(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ m m2 8 32 0∆ = − − > (2) 
Khi đó A x x m B x x m1 1 2 2( ;2 ), ( ;2 )+ + với x x1 2, là các nghiệm của (1) 
Trung điểm của AB là x xI x x m1 2 1 2;2
 +
+ + 
 
≡
m m
I ;
4 2
 
− 
 
 (theo định lý Vi-et) 
A, B đối xứng nhau qua MN ⇔ I ∈ MN ⇔ m 4= − 
Suy ra (1) ⇔ xx x
x
2 02 4 0
2
 =
− = ⇔ 
=
 ⇒ A(0; –4), B(2; 0). 
Ví dụ 12: Cho hàm số xy
x
2
1
=
−
. 
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với A(2; 0). 
Hướng dẫn giải: 
Ta có C y
x
2
( ) : 2
1
= +
−
. Gọi B b C c
b c
2 2
;2 , ;2
1 1
+ +
− −
   
   
   
 với b c1< < . 
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox. 
Ta có:       AB AC BAC CAK BAH CAK ACK BAH ACK0 0; 90 90+ = + ⇒= = ⇒ = = 
và:   {AH CKBHA CKA ABH CAK HB AK090 ∆ ∆ == = ⇒ = ⇒ = 
Hay: {b bc c
c
b
2
2 2
11
2 32 2
1
− = +
= −
− ⇔
=
+ = −
−





 . 
Vậy B C( 1;1), (3;3)− 
Ví dụ 13: Cho hàm số xy
x
3
1
−
=
+
 . 
Tìm trên hai nhánh của đồ thị (C) hai điểm A và B sao cho AB ngắn nhất. 
Hướng dẫn giải: 
Tập xác định D = R {\ 1}− . Tiệm cận đứng x 1= − . 
Giả sử A a B b
a b
4 41 ;1 , 1 ;1
   
− − + − + −   
   
 (với a b0, 0> > ) là 2 điểm thuộc 2 nhánh của (C) 
H K
B
A
C
Luyện thi Đại học cấp tốc môn Toán Thầy Đặng Việt Hùng 
Khóa học Luyện thi đại học – Luyện giải đề – Luyện thi cấp tốc www.moon.vn 
AB a b a b ab ab
a b aba b a b
2
2 2 2
2 2 2 2
1 1 16 16 64( ) 16 ( ) 1 4 1 4 32
     
= + + + = + + ≥ + = + ≥          
AB nhỏ nhất ⇔ 
a b a b
AB a b
ab a
ab
4
44 2 4164 4
 =  =
= ⇔ ⇔ ⇔ = = 
= =
Khi đó: ( ) ( )A B4 44 41 4;1 64 , 1 4;1 64− − + − + − . 
Ví dụ 14: Cho hàm số xy
x
1
2
− +
=
−
. 
Tìm trên đồ thị (C), các điểm A, B sao cho độ dài đoạn AB bằng 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường 
thẳng d y x: = . 
Hướng dẫn giải: 
PT đường thẳng AB có dạng: y x m= − + . PT hoành độ giao điểm của (C) và AB: 
x
x m
x
1
2
− +
= − +
−
 ⇔ g x x m x m x2( ) ( 3) 2 1 0 (1) ( 2)= − + + + = ≠ 
Để có 2 điểm A, B thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ⇔ g
g
0
(2) 0
∆ >

≠
⇔ m m
m m
2( 3) 4(2 1) 0
4 ( 3).2 2 1 0
 + − + >

− + + + ≠
 ⇔ m∀ . 
Ta có: A B
A B
x x m
x x m
3
. 2 1
 + = +

= +
. Mặt khác A A B By x m y x m;= − + = − + 
Do đó: AB = 4 ⇔ B A B Ax x y y
2 2( ) ( ) 16− + − = ⇔ m m2 2 3 0− − = ⇔ m
m
1
3
 = −

=
. 
+ Với m 3= , thay vào (1) ta được: x yx x
x y
2 3 2 26 7 0
3 2 2
 = + ⇒ = −
− + = ⇔ 
= − ⇒ =
⇒ A B(3 2; 2), (3 2; 2)+ − − hoặc A B(3 2; 2), (3 2; 2)− + − 
+ Với m 1= − , thay vào (1) ta được: x yx x
x y
2 1 2 2 22 1 0
1 2 2 2
 = + ⇒ = − −
− − = ⇔ 
= − ⇒ = − +
⇒ A B(1 2; 2 2); (1 2; 2 2)+ − − − − + hoặc A B(1 2; 2 2); (1 2; 2 2)− − + + − −