Lớp bồi dưỡng kiến thức và luyện thi đại học môn Toán

ĐỀ SỐ 1
Câu I (2,0 điểm)
a) Cho sin α = –3/5 và –π/2 < α < 0. Tính cos α và tan α.
b) Chứng minh đẳng thức sau: cos4 x – cos4 (π/2 – x) = 2cos² (π + x) – 1.
Câu II (2,0 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) ≥ 3	b) 
Câu III (3,0 điểm)
	Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 2), B(3; 1) và C(5; 4).
a) Viết phương trình đường thẳng BC và đường thẳng chứa đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu IV.a (1,0 điểm):	Chứng minh rằng: 
Câu V.a (2,0 điểm):
a) Chứng minh rằng: 
b) Cho phương trình: (m² – 4)x² + 2(m – 2)x + 1 = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
2. Theo chương trình nâng cao:
Câu IV.b (1,0 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất nếu có của hàm số f(x) = sinx + cosx.
Câu V.b (2,0 điểm): a) Cho tan α – cot α = 2. Tính giá trị của biểu thức: A = 
b) Tìm m để bất phương trình x² + (2m – 1)x + m – 1 < 0 có nghiệm
ĐỀ SỐ 2
Câu 1. (2,0 điểm): Cho hàm số f(x) = mx² – 2mx + 3m + 4
a) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu
b) Tìm m để f(x) ≥ 0 với mọi số thực x.
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Tính giá trị lượng giác của cung 75°
b) Chứng minh rằng tan 30° + tan 40° + tan 50° + tan 60° = cos 20°
c) Giải bất phương trình 2x² + > 10x + 15.
Câu 3. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(–1; 2) và 
hai đường thẳng (d1): x + y – 3 = 0 và (d2): .
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc với d2.
b) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC có hai cạnh AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1, d2 và cạnh BC nhận I làm trung điểm.
c) Tìm tọa độ điểm M thuộc d2 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc tới đường tròn (C): 
(x + 1)² + (y – 4)² = 4
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1. Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn
a) Giải bất phương trình: < 2x – 5
b) Chứng minh (giả thiết biểu thức luôn có nghĩa) 
c) Viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có A(–1; 3), B(3; –1), C(–1; –1).
2. Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao
a) Giải bất phương trình: 
b) Chứng minh rằng: cos² x – sin (π/6 + x) cos (π/3 + x) = 3/4
c) Viết phương trình chính tắc của elip biết trục nhỏ bằng 4 và tiêu cự là 
ĐỀ SỐ 3
Câu I. (1,0 điểm) Giải bất phương trình: 
Câu II. (2,0 điểm)
a. Giải phương trình sau: x² – |3x – 2| = 0.
b. Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn không âm: f(x) = mx² – 4x + m.
Câu III. (2,0 điểm)
a. Cho 90° < x < 180° và sin x = 1/3. Tính giá trị biểu thức M = 
b. Cho a, b, c lần lượt là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
Câu IV. (1,0 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(9; 1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A; B sao cho diện tích nhỏ nhất.
Câu V. (1,0 điểm)
Tìm các giá trị của m để phương trình (m + 2)x² + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
Câu VI. (3,0 điểm)
Cho đường thẳng (d): x – 2y – 2 = 0 và A(0; 6); B(2; 5)
a. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
b. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng AB và d. Tính khoảng cách từ A đến d.
c. Tìm tọa độ C thuộc d sao cho ΔABC cân tại C.
ĐỀ SỐ 4
Câu 1. (2,0 điểm). Giải bất phương trình:
a. x² – 3x + 1 ≥ 0;	b. 
Câu 2. (1,0 điểm) Cho sin a = –2/3 và π < a < 3π/2. Tính tan a, cos a.
Câu 3. (4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 1), B(1; –3), C(3; 0).
a. Viết phương trình đường thẳng AC.
b. Viết phương trình đường cao BH của ΔABC. Tìm tọa độ chân đường cao H.
c. Viết phương trình đường tròn tâm B đồng thời tiếp xúc với cạnh AC.
Câu 4. (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A = 
Câu 5. (1,0 điểm) Cho f(x) = mx² + 2(m + 2)x – 1. Tìm m để f(x) ≤ 0 với mọi số thực x.
Câu 6. (1,0 điểm) Giải bất phương trình sau: |x² + x – 2| + 3x² – 3 > 0.
ĐỀ SỐ 5
Câu 1: (2,0 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a. ≥ 0	b. ≤ 0
Câu 2. (1,0 điểm) Biết tan α = 3/4. Tính M = .
Câu 3. (2,0 điểm)
a. Tính A = tan (α + π/4), biết sin α = 1/2 và 0 < α < π/2
b. Rút gọn biểu thức B = 
Câu 4. (2,0 điểm) Cho ΔABC có góc A = 60°, AC = 5cm, AB = 8cm. Xác định
a. Độ dài cạnh BC
b. Diện tích của ΔABC
c. Độ dài đường trung tuyến hạ từ B
d. Khoảng cách từ điểm A đến BC
Câu 5. (2,0 điểm) Cho đường thẳng d: 2x – y + 10 = 0 và điểm M(1; –3).
a. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.
b. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với d.
c. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C): (x – 2)² + (y – 3)² = 9 sao cho tiếp tuyến song song với đường thẳng d.
Câu 6: (1,0 điểm) Chứng minh rằng trong tam giác ta có
cos A + cos B + cos C – 1 = 4	
ĐỀ SỐ 6
Câu I (2,0 điểm) Giải bất phương trình sau
a. –2x² + |x + 2| – 2 ≥ 0
b. < 3x + 2
Câu II (2,0 điểm) Cho tam thức bậc hai f(x) = x² – 2(m + 1)x + 6m – 2.
a. Tìm m để f(x) > 0 với mọi số thực x.
b. Tìm m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt
Câu III (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 1), hai đường cao BH và CK có phương trình lần lượt là 3x – 4y + 6 = 0 và 3x + y – 9 = 0.
a. Viết phương các cạnh AB, AC.
b. Viết phương trình đường thẳng BC và tính diện tích tam giác ABC.
Câu IV. (3,0 điểm)
a. Cho tam giác ABC có a = 5 cm, b = 8 cm, c = 7 cm. Tính số đo góc C, diện tích S và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.
b. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC có A(–1; 2) , B(6; 1) , C(–2; –5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tiếp tuyến của đường tròn tại A.
c. Cho sin x = 3/5 với π/2 < α < π. Hãy tính giá trị lượng giác còn lại của góc x.
ĐỀ SỐ 7
Câu I (2,0 điểm)
a. Cho cot α = 4tan α với π/2 < α < π. Tính tất cả các giá trị lượng giác của α.
b. Tính giá trị biểu thức A = cos (17° – x) cos (13° + x) – sin (17° + x) sin (13° – x)
Câu II (2,0 điểm) Giải các bất phương trình sau
a. |3x – 5| > 2x² + x – 3	b. > x
Câu III (3,0 điểm)
a. Cho tam giác ABC có góc A = 60°, AC = 8 (cm), AB = 5 (cm). Tính diện tích của tam giác.
b. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Gọi A, B là giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (C). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔIAB với I là tâm của đường tròn (C).
Câu IV. (1,0 điểm) Chứng minh rằng: = 2sin x
Câu V. (2,0 điểm)
a. Chứng minh 3sin x + 4cos x ≤ 5 với mọi số thực x.
b. Tìm các giá trị của m để bất phương trình mx² – 10 x – 5 < 0 nghiệm đúng với mọi x.
ĐỀ SỐ 8
Câu I (2,0 điểm)
a. Cho tan² x = 3 với π < x < 3π/2. Tính các giá trị lượng giác của góc x.
b. Tính giá trị biểu thức sau: A = cos α + cos (α + 120°) + cos (α – 120°)
Câu II (2,0 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a. |2x – 1| < x + 2	b. ≤ 1
Câu III (3,0 điểm)
	Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 2) và đường thẳng (d): x + 2y – 1 = 0.
a. Tìm điểm B là đểm đối xứng của A qua đường thẳng (d).
b. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng (d).
Câu IV. (1,0 điểm) Chứng minh: tan 50° – tan 40° = 2tan 10°.
Câu V. (2,0 điểm)
a. Giải bất phương trình: x + 1 ≤ 3
b. Tìm các giá trị của m để bất phương trình (m – 1)x² – 2(m + 1)x + 3(m – 2) > 0 có tập nghiệm là R.
ĐỀ SỐ 9
Câu 1. (3,0 điểm) Giải các bất phương trình sau
a. ≤ 0	b. 3 ≥ 5 – 3x – x².
Câu 2. (1,0 điểm) Xác định m để bất phương trình sau vô nghiệm x² – 2mx – m + 2 ≤ 0
Câu 3. (2,0 điểm)
a. Tính sin 2x biết rằng sin x = và π/2 < x < π.
b. Chứng minh giá trị của biểu thức sau độc lập với x: A = (sin x + cos x)² – (sin x – cos x)² – 2sin 2x.
Câu 4. (4,0 điểm)
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(–6; –3) và đường thẳng d: x – 2y – 3 = 0.
a. Viết phương trình đường thẳng AB.
b. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm A, tiếp xúc với d.
c. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d.
d. Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oy cách đều điểm A và đường thẳng d.
ĐỀ SỐ 10
Câu 1. (3,0 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a. 	b. < 4 – x
Câu 2. (2,0 điểm)
	Cho phương trình (m – 2)x² + 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0	(1) 
a. Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
b. Tìm giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 trên thỏa mãn |x1 + x2 + x1.x2| > 1/2.
Câu 3. (3,0 điểm)
	Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ΔABC có A(1; 2), B(2; –3), C(3; 5).
a. Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.
b. Viết phương trình đường tròn tâm B và tiếp xúc với đường thẳng AC.
c. Tính góc giữa hai đường thẳng AB, AC.
Câu 4. (1,0 điểm) Chứng minh đẳng thức 	(sin x ≠ 0)
Câu 5. (1,0 điểm) Giải bất phương trình