Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 phổ thông năm 2015 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 PHỔ THÔNG NĂM 2015
Môn thi: TOÁN (Dành cho mọi thí sinh)
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi này có 01 trang)
Câu 1. (2,0 điểm)
1. Tìm 𝑥 biết:
a) 𝑥 − 2015 = 0
b) 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0
c) 2√𝑥 − 3 = 0 với 𝑥 ≥ 0
2. Cho 𝑥 > 0; 𝑥 ≠ 3, hãy rút gọn biểu thức:
𝐴 = 1 ∶ √𝑥 + 1 + 2
√𝑥 + 1 − 2 𝑥√𝑥 − 3√𝑥
Câu 2. (2,0 điểm)
Cho phương trình chứa tham số 𝑚:
𝑥 2 − 2(𝑚 + 1)𝑥 + 2𝑚 + 1 = 0
Tìm 𝑚 để phương trình trên có hai nghiệm 𝑥1; 𝑥2 và hai nghiệm đó thỏa mãn điều kiện:
(𝑥1 + 𝑥2)2 − 𝑥12𝑥2 2 − 6𝑚 > 4
Câu 3. (2,0 điểm)
Hằng ngày, Nam đạp xe đi học với vận tốc không đổi trên quãng đường dài 10𝑘𝑚. Nam tính
toán và thấy rằng nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất thì thời gian đi học sẽ rút ngắn 10 phút so với đạp
xe với vận tốc hằng ngày. Tuy nhiên, thực tế sáng nay lại khác dự kiến! Nam chỉ đạp xe với vận tốc
lớn nhất trên nửa đầu quãng đường (dài 5𝑘𝑚), nửa quãng đường còn lại đường phố đông đúc nên
Nam đã đạp xe với vận tốc hằng ngày. Vì vậy, thời gian đạp xe đi học sáng nay của Nam là 35 phút.
Hãy tính vận tốc đạp xe hằng ngày và vận tốc đạp xe lớn nhất của Nam (lấy đơn vị vận tốc là 𝑘𝑚/ℎ).
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính OA. Điểm C thuộc đoạn thẳng AO (C khác A và O). Đường
thẳng vuông góc với AO tại C cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và K. Tiếp tuyến tại D của đường
tròn (O) cắt đường thẳng AO tại E. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng DE tại F.
Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng FO và DK.
1. Chứng minh các tứ giác AFDO và AHOK là các tứ giác nội tiếp
2. Chứng minh đường thẳng AH song song với đường thẳng ED
3. Chứng minh đẳng thức DH2 = EF. CH
Câu 5. (0,5 điểm)
Cho các số thực dương 𝑎 và 𝑏 thỏa mãn 2𝑎 + 𝑏 ≥ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
𝑎 +
1
𝑏 +9
............................ Hết ...........................
Họ và tên thí sinh: ................................................................... Số báo danh: ....................
Chữ kí của giám thị 1:................................... Chữ kí của giám thị 2:..........................................𝑆 = 𝑎2 − 𝑎 + 3𝑏 + 9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH QUẢNG NINH
ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI TUYỂN SINH
LỚP 10 PHỔ THÔNG NĂM 2015
Môn thi : TOÁN (Dành cho mọi thí sinh)
(Hướng dẫn này có 02 trang)
1Câu
Sơ lược lời giải
Điểm
Câu 1
(2,0
điểm)
2
1. Tìm 𝑥 biết: a) 𝑥 − 2015 = 0; b) 𝑥 − 5𝑥 + 6 = 0; c) 2√𝑥 − 3 = 0 với 𝑥 ≥ 0.
1,25
Tính được 𝑥 = 2015
0,25
Tính được 𝑥 = 2; 𝑥 = 3
0,5
3 9
Biến đổi thành √𝑥 = ⟺ 𝑥 =
2 4
0,5
1 √𝑥+1+2
2. Cho 𝑥 > 0; 𝑥 ≠ 3, hãy rút gọn biểu thức: 𝐴 = :
√𝑥+1−2 𝑥√𝑥−3√𝑥
0,75
1 𝑥√𝑥 − 3√𝑥
𝐴 = ∙
√𝑥 + 1 − 2 √𝑥 + 1 + 2
√𝑥(𝑥 − 3)
= = √𝑥
𝑥 − 3
0,25
0,5
Câu 2
(2,0
điểm)
2
Cho phương trình (chứa tham số 𝑚): 𝑥 − 2(𝑚 + 1)𝑥 + 2𝑚 + 1 = 0. Tìm 𝑚 để phương
trình trên có hai nghiệm 𝑥1; 𝑥2 và hai nghiệm đó thỏa mãn điều kiện:
2 2 2
(𝑥1 + 𝑥2) − 𝑥1 𝑥2 − 6𝑚 > 4
2,0
′ 2 2
· Tính Δ = (𝑚 + 1) − (2𝑚 + 1) = 𝑚
′ 2
· Do Δ = 𝑚 ≥ 0, ∀𝑚 nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm 𝑥1 và 𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑚 + 2
· Theo định lý Vi-et: {
𝑥1𝑥2 = 2𝑚 + 1
(Để chứng minh phương trình có nghiệm, nếu học sinh không tính D mà tính trực tiếp các
nghiệm: 1 và 2𝑚 + 1, không dùng định lý Vi-et để tìm 𝑚 thì cho tối đa đến 1,25 điểm)
2 2 2 2 2
· (𝑥1 + 𝑥2) − 𝑥1 𝑥2 − 6𝑚 > 4 ⟺ (2𝑚 + 2) − (2𝑚 + 1) − 6𝑚 > 4 ⟺ −2𝑚 > 1
−1
⟺ 𝑚 <
2
1
Vậy khi 𝑚 thỏa mãn điều kiện 𝑚 < − thì 𝑚 là giá trị cần tìm.
2
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
Câu 3
(2,0
điểm)
·
Hằng ngày, Nam đạp xe đi học với vận tốc không đổi trên quãng đường dài 10𝑘𝑚. Nam tính
toán và thấy rằng nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất thì thời gian đi học sẽ rút ngắn 10 phút so
với đạp xe với vận tốc hằng ngày. Tuy nhiên, thực tế sáng nay lại khác dự kiến! Nam chỉ đạp
xe với vận tốc lớn nhất trên nửa đầu quãng đường (dài 5𝑘𝑚), nửa quãng đường còn lại đường
phố đông đúc nên Nam đã đạp xe với vận tốc hằng ngày. Vì vậy, thời gian đạp xe đi học sáng
nay của Nam là 35 phút. Hãy tính vận tốc đạp xe hằng ngày và vận tốc đạp xe lớn nhất của
Nam (lấy đơn vị vận tốc là 𝑘𝑚/ℎ).
2,0
𝑘𝑚
· Gọi vận tốc đạp xe hằng ngày của Nam là 𝑥 ( ) , 𝑥 > 0;
ℎ
𝑘𝑚
vận tốc đạp xe lớn nhất của Nam là 𝑦 ( ) , 𝑦 > 0.
ℎ
10
· Thời gian Nam đi học khi đạp xe với vận tốc hằng ngày là: (ℎ);
𝑥
10
Thời gian Nam đi học nếu đạp xe với vận tốc lớn nhất (thời gian dự kiến) là: (ℎ);
𝑦
Thời gian đạp xe đến trường theo dự kiến ít hơn thời gian đạp xe đến trường hằng ngày
1 10 10 1
là 10 phút (tương ứng (ℎ)) nên ta có: − = ;
6 𝑥 𝑦 6
7 5 5 7
Thời gian đạp xe thực tế hôm nay là 35 phút (tương ứng (ℎ)) nên: + =
12 𝑥 𝑦 12
10 10 1 1 1 1 1 1
− = − = =
𝑥 𝑦 6 𝑥 𝑦 60 𝑥 15 𝑥 = 15
· Giải hệ phương trình: { 𝑥5 + 𝑦5 = 127 ⟺ {𝑥1 + 𝑦1 = 607 ⟺ {𝑦1 = 201 ⟺{𝑦 = 20
𝑘𝑚 𝑘𝑚
Vậy vận tốc đạp xe hàng ngày và lớn nhất của Nam lần lượt là: 15 ( ) ; 20( ).
ℎ ℎ
0,5
0,5
0,75
0,25
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết,
lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết.
3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ
chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn.
............................. Hết ...........................
2Câu
Sơ lược lời giải
Điểm
Câu 4
(3,5
điểm)
Cho đường tròn tâm 𝑂 bán kính 𝑂𝐴. Điểm 𝐶 thuộc đoạn thẳng 𝐴𝑂 (𝐶 khác 𝐴 và 𝑂). Đường
thẳng vuông góc với 𝐴𝑂 tại 𝐶 cắt đường tròn (𝑂) tại hai điểm 𝐷 và 𝐾. Tiếp tuyến tại 𝐷 của
đường tròn (𝑂) cắt đường thẳng 𝐴𝑂 tại 𝐸. Tiếp tuyến tại 𝐴 của đường tròn (𝑂) cắt đường
thẳng 𝐷𝐸 tại 𝐹. Gọi 𝐻 là giao điểm của hai đường thẳng 𝐹𝑂 và 𝐷𝐾.
1. Chứng minh các tứ giác 𝐴𝐹𝐷𝑂 và 𝐴𝐻𝑂𝐾 là các tứ giác nội tiếp
1,75
D
F
H
E
A C O
K
· Vẽ hình đủ để làm phần 1 - Câu 4.
0 0
· Chỉ ra 𝐹𝐷𝑂̂ = 90 ; 𝐹𝐴𝑂̂ = 90
Suy ra tứ giác 𝐴𝐹𝐷𝑂 là tứ giác nội tiếp.
· Chứng minh được 𝐴𝑂𝐹̂ = 𝐴𝐾𝐷̂
(Chứng minh hai góc bằng nhau qua góc trung gian hoặc sử dụng định lý về góc nội tiếp và
góc ở tâm cùng chắn một cung)
Suy ra tứ giác 𝐴𝐻𝑂𝐾 là tứ giác nội tiếp.
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
2. Chứng minh đường thẳng 𝐴𝐻 song song với đường thẳng 𝐸𝐷
1,0
· Chứng minh 𝐴̂𝐻𝐾 = 𝐴̂𝑂𝐾; 𝐴̂𝑂𝐾 = 𝐸̂𝐷𝐾.
· Chỉ ra 𝐴̂𝐻𝐾 = 𝐸̂𝐷𝐾
Từ đó suy ra 𝐴𝐻 ∥ 𝐸𝐷.
(Học sinh có thể làm nhiều cách, chẳng hạn chứng minh 𝐴𝐻 ⊥ 𝐷𝑂, suy ra 𝐴𝐻 ∥ 𝐸𝐷)
0,5
0,25
0,25
2
3. Chứng minh đẳng thức 𝐷𝐻 = 𝐸𝐹. 𝐶𝐻
0,75
· Tứ giác 𝐴𝐹𝐷𝐻 là hình bình hành có 𝐹𝐴 = 𝐹𝐷 nên là hình thoi.
𝐷𝐻=𝐴𝐻
𝐶𝐻 𝐷𝐻 𝐶𝐻 𝐴𝐻
2
· Biến đổi 𝐷𝐻 = 𝐸𝐹. 𝐶𝐻 ⟺ = ⇔ =
𝐷𝐻 𝐸𝐹 𝐷𝐻 𝐸𝐹
𝐴𝐻=𝐹𝐷
𝐶𝐻 𝐴𝐻 𝐶𝐻 𝐴𝐻
⟺ = ⇔ = . Đẳng thức này có được theo định lý Ta-let.
𝐷𝐻+𝐶𝐻 𝐸𝐹+𝐴𝐻 𝐶𝐷 𝐸𝐷
0,25
0,5
Câu 5
(0,5
điểm)
Cho các số thực dương 𝑎 và 𝑏 thỏa mãn 2𝑎 + 𝑏 ≥ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
9 1
2
𝑆 = 𝑎 − 𝑎 + 3𝑏 + + +9
𝑎 𝑏
0,5
9 1
2
· Biến đổi được 𝑆 = (𝑎 − 3) + 2(2𝑎 + 𝑏) + (𝑎 + ) + (𝑏 + )
𝑎 𝑏
9 1
2
· Đánh giá: (𝑎 − 3) ≥ 0; (𝑎 + ) ≥ 6; (𝑏 + ) ≥ 2. Do đó 𝑆 ≥ 22.
𝑎 𝑏
Giá trị nhỏ nhất của 𝑆 là 22 tại 𝑎 = 3; 𝑏 = 1.
0,25
0,25