Kỳ thi học sinh giỏi cấp quận vòng 3 môn Toán năm học 2014 - 2015

PHÒNG GD&ĐT
QUẬN LONG BIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 3
Môn : TOÁN
Năm học 2014-2015
Ngày thi: 05/02/2015
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1.(3 điểm) Cho biểu thức : 
Rút gọn A. 	b) Biết rằng , Tìm giá trị lớn nhất của A 
Bài 2.(6 điểm)
 1. Giải các phương trình, hệ phương trình sau: 
 a) b) 
 2. Tìm các số nguyên x y, z thoả mãn: .
Bài 3.(3 điểm) 
Cho a,b,c là 3 số thực dương có tổng a + b + c =2015. Chứng minh rằng : 
Mỗi ô vuông đơn vị của một bảng có kích thước 10 × 10 ( 10 dòng , 10 cột) được ghi một số nguyên dương không vượt quá 10 bất kì . Hai số nào được ghi trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh của bảng là hai số trùng nhau. Chứng minh rằng có số được ghi ít nhất 17 lần.
Bài 4: (3,0 điểm) 
Tìm các số tự nhiên a sao cho có giá trị là số chính phương
Tìm các số nguyên tố p sao cho 2p+1 và 4p+1 cũng là số nguyên tố.
Bài 5: (5điểm ) Cho đường tròn (O; R) và một dây cung BC cố định. A là điểm di động trên cung lớn BC. Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Từ D vẽ DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC (E Î AB; FÎ AC )
Chứng minh tứ giác AEDF và tứ giác BEFC nội tiếp.
Từ A vẽ đường thẳng vuông góc với EF cắt BC tại I. Chứng minh AI luôn đi qua một điểm cố định.
Từ I vẽ IK; IH lần lượt vuông góc với AB, AC chứng minh KH//BC
Từ B và C vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AI lần lượt tại M và N. Chứng minh 3 đường thẳng AD; EF, KH đồng quy và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNM là một điểm cố định.
----------Hết---------
Họ tên thí sinh:............................................................................SBD.....................................
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM HSG TOÁN VÒNG 3 NĂM HỌC 2014-2015
2	Bài
Câ
Câu
Nội dung
Điểm
1
a
Điều kiện xác định : x > 0; y>0; xy ¹ 1.
Rút gọn được 
1.5đ
b) 
Áp dụng BĐT Cô Si cho hai số dương , ta có 
Suy được A ≤ 9 dấu “=” xảy ra khi x = y =1/9
1.5đ
2
2
1
 Giải các phương trình, hệ phương trình sau: 
a) b) 
a) Lập luận được tập nghiệm S={2}
b) Suy luận được tập nghiệm (x,y) = (3;4)
2.0đ
2.0đ
2
Tìm các số nguyên x y, z thoả mãn: .
Biến đổi được (2x-y)2+3(y-2)2+4(z-1)2<4
Suy ra 4(z-1)2 (z-1)2 ≤ 1
z=1 do đó (2x-y)2+3(y-2)2 <4
suy được 3(y-2)2 < 4 
Kiểm tra các điều kiện tương ứng với 3 giá trị của y kết luận được y=2 thì x=1 thỏa mãn đk
2.0đ
2Bài Bài
Câu
Nội dung
Điểm
3
a
Cho a,b,c là 3 số thực dương có tổng a + b + c =2015. Chứng minh rằng : 
 ta có 
Suy được 
Biến đổi được (1)
Tương tự suy luận được (2) 
Cộng các vế (1) ; (2) ; (3) ta được :
 vì a+b+c=2015
0.5đ
0.5đ
0.5đ
b
Trên hình vuông con kích thước 2x2 có không quá 1 số chia hết cho 2, có không quá một số chia hết cho 3.
- Lát kín bảng bởi 25 hình vuông , kích thước 2x2 có nhiều nhất 25 số chia hết cho 2, có nhiều nhất 25 số chia hết cho 3. Do đó có ít nhất 50 số còn lại không chia hết cho 2, cũng không chia hết cho 3, vì vậy chúng phải là một trong các số 1; 5; 7.
Theo nguyên lý Đich-Le có một số xuất hiện ít nhất 17 lần .
0.5
0.5
0.5
4
a
Tìm các số tự nhiên a sao cho có giá trị là số chính phương
Đặt 
Biến đổi được : 
Lập luận để suy luận được a = 12; 50 thì A là số chính phương.
1.5
b
 Tìm các số nguyên tố p sao cho 2p+1 và 4p+1 cũng là số nguyên tố.
Có 4p; 4p+1; 4p+2 là 3 số nguyên liên tiếp có một số chia hết cho 3. Mà 4p+1 và 2p+1 là 2 sô nguyên tố lớn hơn 3 nên 4p chia hết cho 3 => p=3
Khi đó 2p+1=7; 4p+1=13 là các số nguyên tố.
1.5
5
a)
Chứng minh được tứ giác AEDF; BEFC nội tiếp được
1.5đ
b)
Kẻ tiếp tuyến Ax tại A của (O) chứng minh được 
Ax//EF
Suy luận được OA vuông góc với EF => A, O, I thẳng hàng
=> AI đi qua một điểm cố định O
0.5đ
1.0đ
c)
Kẻ đường kính AA’ của (O) 
Chứng minh góc ABD = góc AA’C
Tứ giác AKHI nội tiếp suy ra góc IKH=góc A’AC 
Từ đó suy luận được DE//IK
Chứng minh => KH//BC
1.0đ
d)
Gọi giao điểm AD và EF là J
Chứng minh được tứ giác KJDE nội tiếp 
Suy luận được KJ vuông góc AD= KH đi qua J
Vậy AD; EF; KH đồng quy tại J.
Gọi S, P, Q lần lượt là trung điểm của BC; AB, AC
Chứng minh SP//AC và suy luận được PS vuông góc MD.
Suy luận được P là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác (AMDB) mà PS vuông góc MD suy ra S nằm trên đường trung trực của NM
Suy luận được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại S là trung điểm của BC.
1.0đ
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tương đương.
Giám khảo có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không là thay đổi tổng điểm.