Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 THPT năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 07 tháng 10 năm 2015
(Đề thi gồm 01 trang)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số cắt trục tại đúng 1 điểm.
2) Cho hàm số . Tìm để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm .
Câu II (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình 
2) Giải bất phương trình 
Câu III (2,0 điểm)
1) Có hai hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang một màu trắng hoặc đen. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng một viên bi.
 a) Biết rằng hộp thứ nhất có 20 viên bi, trong đó có 7 viên bi đen. Hộp thứ hai có 15 viên bi, trong đó có 10 viên bi đen. Tính xác suất để lấy được hai viên bi đen.
 b) Biết tổng số bi ở hai hộp là 20 và xác suất để lấy được hai viên bi đen là . Tính xác suất để lấy được hai viên bi trắng. 
2) Cho dãy số thỏa mãn ; và dãy số thỏa mãn: 
 . Tính và .
Câu IV (3,0 điểm)
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc , , cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng . Điểm K thay đổi trên đoạn SC. 
 a) Tìm các vị trí của K sao cho tam giác BKD lần lượt có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất. 
 b) Khi K là điểm sao cho diện tích tam giác BKD nhỏ nhất. Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện do mặt phẳng (BKD) chia khối chóp S.ABCD.
2) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có . Điểm M thay đổi trên đường thẳng AB’ sao cho mặt phẳng qua M, vuông góc AB cắt đường thẳng BC’ tại điểm N trên đoạn BC’. Xác định vị trí của M để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu V (1,0 điểm) 
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
.
----------------------Hết----------------------
Họ và tên thí sinh:...............................................................Số báo danh:......................................
Chữ ký của giám thị 1:........................................Chữ ký của giám thị 2:.......................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 07 tháng 10 năm 2015
(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
(Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25; thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa)
Câu
Nội dung
Điểm
I.1
Tìm để đồ thị hàm số cắt trục tại đúng 1 điểm
(1,0đ)
TXĐ: . Bài toán thỏa mãn pt có nghiệm duy nhất có nghiệm duy nhất khác 0.
0,25
Xét hàm số , 
0,25
Bảng biến thiên: 
 0 
 0 +
+
 0	
0,25
Từ bảng biến thiên kết luận 
0,25
I.2
Cho hàm số có đồ thị là (Cm). Tìm m để đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm .
(1,0đ)
Tập xác định của hàm số là R. Ta có: 
Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình phải có ba nghiệm phân biệt 
0,25
Các điểm cực trị là 
Vì hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị (Cm) nhận trục Oy làm trục đối xứng, do đó tam giác ABC cân tại A, suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên trục Oy, giả sử tâm là 
0,25
Vì đường tròn đi qua nên . 
0,25
Ta có , 
Do nên các giá trị thỏa mãn là . Vậy .
0,25
II.1
Giải hệ phương trình: 
(1,0đ)
Cộng theo vế hai phương trình trong hệ rồi rút gọn ta được : 
0,25
Xét hàm số trên R ta có : 
0,25
Từ đó và chỉ khi 
Do đó hàm f(t) là hàm số đồng biến trên . Vì vậy (*) 
0,25
 thay vào pt (2) ta được :
Vậy hệ có nghiệm 
0,25
II.2
Giải bất phương trình: 
(1,0đ)
Điều kiện: . Phương trình có dạng 
0,25
0,25
Đặt ta được bất phương trình ( do)
0,25
Với (do ) Vậy bất phương trình có nghiệm 
0,25
III.1
1) Có hai hộp đựng bi, mỗi viên bi chỉ mang một màu trắng hoặc đen. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp đúng một viên bi.
Biết rằng hộp thứ nhất có 20 viên bi, trong đó có 7 viên bi đen. Hộp thứ hai có 15 viên bi, trong đó có 10 viên bi đen Tính xác suất để lấy được hai viên bi đen.
Biết tổng số bi ở hai hộp là 20 và xác suất để lấy được hai viên bi đen là . Tính xác suất để lấy được hai viên bi trắng. 
(1,0đ)
Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp một bi. 
Mỗi phần tử của không gian mẫu được chọn nhờ 2 giai đoạn: 
1) Chọn 1 bi từ 20 bi hộp 1. 
2) Chọn 1 bi từ 15 bi hộp 2 
Suy ra số phần tử không gian mẫu là 
0,25
Gọi A là biến cố: Lấy được hai viên bi đen, lập luận tương tự, ta được 
 nên xác suất để lấy được hai bi đen là 
0,25
Giả sử hộp 1 có x viên bi, trong đó có a viên bi đen, hộp thứ hai có y viên bi, trong đó có b viên bi đen. ( x,y, a,b là các số nguyên dương,, , ).
Theo lập luận trên và giả thiết, ta có và nên . Từ đó xy chia hết cho 84. Mặt khác nên . Ta được 
0,25
Từ đó ab=55 nên a là ước của 55.Do và nên a=11, b=5
Vậy xác suất để được 2 bi trắng là 
0,25
III.2
Cho dãy số thỏa mãn ; và dãy số thỏa mãn: 
 . Tính và 
(1,0đ)
Ta có . Chứng minh được nên 
0,25
 Do đó và 
0,25
 với mọi 
0,25
Mặt khác với mọi nên suy ra . Vậy nên 
0,25
1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc , , cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng (ABCD), góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng . Điểm K thay đổi trên đoạn SC. 
 a) Tìm các vị trí của K sao cho tam giác BKD lần lượt có diện tích nhỏ nhất, lớn nhất. 
 b) Khi K là điểm sao cho diện tích tam giác BKD nhỏ nhất. Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện do mặt phẳng (BKD) chia khối chóp S.ABCD.
(1,5đ)
Hình thoi ABCD có góc A=1200 và tâm O nên tam giác ABC đều : 
 và 
0,25
Đặt I là trung điểm BC thì . Mà . Do đó là góc giữa 2 mp(SBC) và mp(ABCD) vì vuông tại A : 
0,25
Do BD vuông góc AC và SA nên BD vuông góc mặt phẳng (SAC), từ đó với mọi K trên SC thì BD vuông góc OK nên . Gọi I là hình chiếu của O trên BD thì , OI không đổi. Vậy diện tích tam giác BKD nhỏ nhất khi K trùng I
0,25
Mặt khác, K trên đoạn SC khi và chỉ khi với , từ đó nên ( do )
Vậy diện tích tam giác BKD lớn nhất khi K trùng S 
0.25
Từ đó . 
0,25
Lại có : 
mà , nên .
Từ đó nên tỉ lệ thể tích cần tìm là 
0,25
IV.2
2) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có . Điểm M thay đổi trên đường thẳng AB’ sao cho mặt phẳng qua M, vuông góc AB cắt đường thẳng BC’ tại điểm N trên đoạn BC’. Xác định vị trí của M để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
(1,5đ)
Đặt 
Khi đó 
0,25
Do (P) vuông góc AB nên MN vuông góc AB, ta được ( do). Từ đó n=2-2m. 
0,25
Khi đó nên 
0,25
Do N thuộc đoạn BC’ nên , suy ra 
0,25
Đặt thì nên đồng biến trên 
0,25
Từ đó f(m) nhỏ nhất bằng khi . Tức là nhỏ nhất khi M là trung điểm AB’.
0,25
V
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
.
(1,0đ)
Vì a, b, c dương và abc = 1 nên đặt: , với x, y, z > 0.
Khi đó: 
Ta có: 
Suy ra: (1) 
Tương tự: (2) 
 (3) 
Cộng (1), (2), (3) theo vế với vế ta được: 
0,5
Lại có
Suy ra 
0,5