Kỳ thi chọn học sinh giỏi năm học 2001 - 2002 môn Toán 9

 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
 TƯ NGHĨA NĂM HỌC 2001 - 2002
 §Ò CHÝNH THøC
	 MÔN: TOÁN 
 Lớp 9 - THCS
 Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề
 Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2002
Câu I (4đ)
Cho biểu thức P = 
Rút gọn P
Tính giá trị của P khi x = 
Câu II (4đ)
Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P).
Tính độ dài AB.
Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho 
CD = AB.
Câu III (4đ)
Giải hệ phương trình 
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 2015
Câu IV (6đ)
Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng: 
ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
KH AM.
Câu V (2đ) 
Với . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
--------------------------------------
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 27/03/2013
( Đề thi gồm có 01 trang )
Câu 1 (2,0 điểm):
 a) Rút gọn biểu thức: với 
 b) Cho . Tính giá trị của biểu thức: B = x5 – 3x4 – 3x3 + 6x2 – 20x + 2015
Câu 2 (2,0 điểm):
Giải phương trình 
 b) Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau: 
Câu 3 (2,0 điểm):
 a) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu chia hết cho 5 thì chia hết cho 5.
 b) Cho phương trình với a, b là các số hữu tỉ. Tìm a, b biết là nghiệm của phương trình. 
Câu 4 (3,0 điểm):
 Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. 
 a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
 c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Câu 5 (1,0 điểm):
 Cho với n. 
 Chứng minh rằng: .
------------- HẾT ------------
Họ và tên thí sinh:  .. Số báo danh .
Chữ kí giám thị 1 .. Chữ kí giám thị 2 ..
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH. 
ĐỀ CHÍNH THỨC
 (Đề gồm 1 trang)
 NĂM HỌC: 2001 - 2002
 Môn thi: TOÁN 9
 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. Cho biểu thức: 
Rút gọn .
Tính P khi .
Tìm giá trị nguyên của để nhận giá trị nguyên.
Câu 2. Giải phương trình:
Câu 3. 
Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
Cho , chứng minh: 
Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố.
Câu 4. 
Cho hình vuông ABCD, có độ dài cạnh bằng a. E là một điểm di chuyển trên CD ( E khác C, D). Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K.
Chứng minh: không đổi
Chứng minh: 
c. Lấy điểm M là trung điểm đoạn AC. Trình bày cách dựng điểm N trên DM sao cho khoảng cách từ N đến AC bằng tổng khoảng cách từ N đến DC và AD.
Câu 5. 
Cho ABCD là hình bình hành. Đường thẳng d đi qua A không cắt hình bình hành, ba điểm H, I , K lần lượt là hình chiếu của B, C, D trên đường thẳng d. Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn nhất.
Hết./.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 23/03/2012
 (Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1 (2,5 điểm).
Rút gọn biểu thức: 
Phân tích thành nhân tử: 
Tìm x biết: 
Câu 2 (2,0 điểm).
Giải hệ phương trình: 
Giải phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm).
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
.
	b) Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của 2n2. Chứng minh rằng n2 + m không là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm). 
	Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính. Gọi d là đường trung trực của OB. Gọi M và N là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d. Trên các tia OM, ON lấy lần lượt các điểm M’ và N’ sao cho OM’.OM = ON’.ON .
Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn.
b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn cố định.
c) Tìm vị trí điểm M trên d để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất.
 Tìm vị trí điểm M trên d nhưng M không nằm trong đường tròn (O;R) để tổng MO + MA đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5 (0,5 điểm).
	Trong các hình bình hành ngoại tiếp đường tròn (O; r), hãy tìm hình bình hành có diện tích nhỏ nhất.
HẾT
Họ và tên thí sinh:...Số báo danh:
Chữ kí của giám thị 1:..Chữ kí của giám thị 2:....
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3,0 điểm): 
Cho 
a) Tìm điều kiện để M có nghĩa.
b) Rút gọn M (với điều kiện M có nghĩa)
Bài 2 : (4,5 điểm)
 a) Tính : 
 b) Giải phương trình : 
Bài 3. (4,0 điểm)
a) Tìm các số nguyên thỏa mãn: 
b) Tìm số tự nhiên để: là số nguyên tố.
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (O;R), trong đó B, C là các tiếp điểm. Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định.
b) Chứng minh rằng H di động trên một đường tròn cố định.
Bài 5: (5,0 điểm ) 
	Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N. Tia AM cắt đường thẳng CD tại K. Kẻ AI vuông góc với AK cắt CD tại I.
	1. Chứng minh : 
	2. Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm. Tính diện tích tam giác AMN.
	3. Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lượt vuông góc với IK, AK, AI (P IK, QAK, R AI). Xác định vị trí điểm O để nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
___________________________
Hä vµ tªn thÝ sinh:................................................... Sè b¸o danh :..............Phßng thi......
Chó ý: C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm
 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề này gồm 5 câu,01 trang)
Câu 1 (2 điểm)
a) Cho biểu thức: .	
	+ Rút gọn biểu thức P.
	+ Tìm giá trị nhỏ nhất của P.	
b) Giải phương trình: 
Câu 2 (2 điểm) 	
1.Cho hàm số: ; với tham số.
a) Tính theo tọa độ các giao điểm A; B của đồ thị hàm số với các trục Ox; Oy. H là hình chiếu của O trên AB. Xác định giá trị của để 
b) Tìm quỹ tích (tập hợp) trung điểm I của đoạn thẳng AB.
2. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh hai Èn x, y sau:
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) tho¶ m·n P = xy+2015 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt	
Câu 3 (2 điểm)
a) Cho các số thực a,b,c > 0 thoả mãn . Chứng minh rằng : 
b) Cho (x +).(y +)=2015. Chứng minh x2015+ y2016=0
c) Giải hệ phương trình sau:
Câu 4 (3 điểm):
	Cho đường tròn tâm O, bán kính R không đổi, AB và CD là hai đường kính bất kỳ của (O) (AB khác CD). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt các đường thẳng BC, BD lần lượt tại M và N. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AM và AN, H là trực tâm của tam giác BPQ.
a) Chứng minh hai tam giác BCD và BNM đồng dạng.
b) Chứng minh rằng khi hai đường kính AB và CD thay đổi thì độ dài đoạn thẳng AH luôn không đổi.
	c) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác BPQ.
Câu 5 (1điểm): Cho với . Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
= = = = = = = Hết = = = = = =
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2007-2008
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (3,0 điểm).
1. 	Cho . Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
2. 	Cho biểu thức 
Tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.
Câu 2 (1,5 điểm).
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương thỏa mãn .
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho là các số thực thỏa mãn điều kiện: 
Chứng minh rằng: .
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho ba đường tròn và (kí hiệu chỉ đường tròn có tâm là điểm X). Giả sử tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm I và lần lượt tiếp xúc trong với tại . Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm I cắt đường tròn lần lượt tại các điểm . Đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm , đường thẳng cắt lại đường tròn tại điểm .
1. 	Chứng minh rằng tứ giác nội tiếp và đường thẳng vuông góc với đường thẳng .
2. 	Kẻ đường kính của đường tròn sao cho vuông góc với (điểm nằm trên cung không chứa điểm ). Chứng minh rằng nếu không song song thì các đường thẳng và đồng quy.
Câu 5 (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh rằng khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó cùng màu hoặc đôi một khác màu.
—Hết— 
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......; Số báo danh.
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học: 2011-2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 03/04/2012
Câu 1: (2,0 điểm)
	Thực hiện tính:
Câu 2: (4,0 điểm)
Chứng minh: 
Tìm a, b thuộc N* sao cho:
Câu 3: (6,0 điểm)
Giải phương trình: 
Tìm k để phương trình: x2 - (2 + k)x + 3k = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10.
Cho biểu thức: A, với .
Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Câu 4: (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại I.
Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Giả sử góc BAC=600. Tính diện tích tứ giác AEOF theo R.
Câu 5: (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC của tam giác ABC theo thứ tự ở P và Q.
	Chứng minh rằng:
PQ2+AP.AQ=AP2+AQ2
---------------------- Hết ------------------------
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Năm học 2013 – 2014
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1: (3,0 điểm)
 Tính giá trị của biểu thức: 
 với 
Bài 2: (5,0 điểm)
 a) Giải phương trình:
 b) Giải hệ phương trình:
Bài 3: (2,5 điểm)
 Chứng minh rằng không thể biểu diễn bất kì một số nguyên tố nào thành tổng bình phương của hai số tự nhiên theo các cách khác nhau.
Bài 4: (7,0 điểm)
 a) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Một điểm C chạy trên dường tròn (O; R) sao cho AC > BC. Kẻ CD vuông góc với AB tại D. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt BC tại E. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O; R) cắt AE tại M. Gọi I là giao điểm của MO và CK; K là giao điểm của MB và CD.
Tính diện tích tam giác MIK biết MO = AB.
 b) Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh rằng: AB.CD + AD.BC AC.BD.
Bài 5: (2,5 điểm)
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 với 
Hết
èChú ý: Thí sinh không được mang máy tính cầm tay
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM