Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2009 - 2010 môn thi: Toán

Phòng giáo dục và đào tạo
 Huyện nga sơn 
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8
 năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán 
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề bài:
Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức A= 
a. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b. Rút gọn biểu thức A.
c. Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị dương.
Câu 2 (4 điểm): Giải các phương trình:
a. (x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2) x2
b. 
Câu 3 (4 điểm): Bình thường, bạn An đi học từ nhà đến trường với vận tốc 5km/h thì đến lớp sớm hơn giờ vào học 5 phút. Nhưng hôm nay, do dậy muộn so với bình thường 29 phút nên bạn An phải chạy với vận tốc 7,5 km/h và đến lớp vừa kịp giờ vào học. Tính quãng đường từ nhà bạn An đến trường.
Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD và các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu của A trên DE.
a. Chứng minh AD2 = DH.DE.
b. Chứng minh hai tam giác AHF và DHC đồng dạng.
c. Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện tích tam giác AFH.
Câu 5 (2 điểm): Cho M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y – 3. 
	Tính giá trị của M biết xy = 1 và đạt giá trị nhỏ nhất.
 Hết 
Đề thi gồm 01 trang
hướng dẫn chấm
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8
năm học 2009 – 2010
Môn thi: Toán
Câu
ý
Nội dung
Điểm
1(4đ)
a
1.5đ
A = 
= 
ĐK: x 
0.5
1đ
b
1.5đ
Với điều kiện ở câu a ta có:
A = 
 = 
 = 
 = 
0.5
0.5
0.5
c
1đ
A > 0 
0.5
0.5
2
a
2đ
(x + 2)(x2 – 3x + 5) = (x + 2) x2
 (x + 2)(x2 – 3x + 5 – x2) = 0
 (x + 2)(-3x + 5) = 0
0.5
0.5
1
b
2đ
 (1) 
 ĐK: x 
(1) (1 – 2x)
 26x + 3 = 0
 x = 
0.5
0.5
0.5
0.5
3
4đ
Gọi quãng đường từ nhà bạn An đến trường là x (km). ĐK x > 0
Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 5km/h là 
Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 7.5 km/h là 
Thời gian đi quãng đường x với vận tốc 7.5 km/h ít hơn thời gian đi với vận tốc 5 km/h là 24 phút hay 0.4 giờ. Ta có phương trình: - = 0.4
Giải ra được x = 6.
x = 6 thoả mãn đk x > 0. Vậy quãng đường cần tìm là 6 km
0.25
0.5
0.5
0.5
1
0.25
4
6đ
a
2đ
A
C
B
D
F
H
E
Xét hai tam giác vuông ADE 
Và HAD có chung góc nhọn
 ADH nên chúng đồng dạng.
Suy ra 
1
0.5
0.5
b
2đ
Từ hai tam giác ADE và HAD đồng dạng ta có:
 (1) ( Do AD = DC; AF = AE theo bài cho )
Mặt khác HDC = HAD (2) ( cùng phụ với HAD )
Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác AHF và DHC đồng dạng (Trường hợp c - g - c)
0.5
0.5
0.5
0.5
c
2đ
Theo chứng minh câu (b) ta có hai tam giác CDH và AFH đồng dạng nên ta có:
 CD = 3 AF.
Vậy, để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện tích tam giác AFH thì E, F thuộc AB và AD sao cho AE = AF = .
0.5
0.5
0.5
0.5
5
2đ
Biến đổi M = 2x2 + 2y2 + 3xy – x – y – 3
= 2(x + y)2 -(x + y) - xy - 3
Ta có (x - y)2 0 (x + y)2 4xy
Mà xy = 1 nên (x + y)2 4
 2.
 min = 2.
Khi = 2 ta có x + y = 2 hoặc -2
+ Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M = 2
+ Thay x + y = -2 và xy = 1 vào biểu thức M ta được M =8 
	Vậy M = 2 hoặc M = 8
0.5
0.5
0.5
0.5