Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT Toán năm 2016 - Sở GD & ĐT Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH QUẢNG NINH 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2016 
Mụn thi : TOÁN – Bảng A 
Ngày thi : 03/12/2016 
Thời gian làm bài : 180 phỳt , khụng kể thời gian giao đề 
(Đề thi này cú 01 trang) 
Bài 1(3 điểm) : 
 Cho hàm số : y = (2 – m)x3 – 6mx2 + 9(2 – m)x – 2 cú đồ thị (Cm), với m là tham số. Tỡm m 
để (Cm) cắt đường thẳng d : y = –2 tại ba điểm phõn biệt sao cho diện tớch tam giỏc tạo bởi gốc tạo độ 
O và hai giao điểm khụng nằm trờn trục tung là 13 
Bài 2(3 điểm) : Chứng minh : tan142030’ = 2 2 3 6   
Bài 3(3 điểm) : Giải phương trỡnh: 
x
x
x
x
x
1
2
1
22
22
2 211


Bài 4(3 điểm) : 
Một học sinh tham dự kỳ thi mụn Toỏn. Học sinh đú phải làm một đề thi trắc nghiệm khỏch 
quan gồm 10 cõu. Mỗi cõu cú 4 đỏp ỏn khỏc nhau, trong đú chỉ cú một đỏp ỏn đỳng. Học sinh sẽ được 
chấm đỗ nếu trả lời đỳng ớt nhất 6 cõu. Vỡ học sinh đú khụng học bài nờn chỉ chọn ngẫu nhiờn đỏp ỏn 
trong cả 10 cõu hỏi. Tớnh xỏc suất để học sinh thi đỗ. 
Bài 5(6 điểm) : 
 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú ba gúc đều nhọn. 
Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B và đường thẳng AC lần lượt cú phương trỡnh : 
3x + 5y – 8 = 0 ; x – y – 4 = 0. Đường thẳng qua B và vuụng gúc với AC cắt đường trũn ngoại tiếp 
tam giỏc ABC tại điểm thứ hai là D(4; –2). Tớnh diện tớch tam giỏc ABC. 
 2. Cho hỡnh chúp đều S.ABCD, cú đỏy là hỡnh vuụng ABCD với độ dài cạnh bằng a và tõm là 
O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết gúc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 
60
0
. Tớnh cosin của gúc giữa MN và mặt phẳng (SBD). 
Bài 6(2 điểm) : 
Cho x, y, z là cỏc số thực khụng õm thỏa món :
2 2 25( ) 6( )x y z xy yz zx     
Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : P = 
2 22( ) ( )x y z y z    
------------------------- Hết -------------------------- 
- Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu và mỏy tớnh cầm tay 
- Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm 
Họ và tờn thớ sinh : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số bỏo danh: . . . . . . . . 
Chữ ký của cỏn bộ coi thi số 1: . . . . . . . . . Chữ ký của cỏn bộ coi thi số 2: . . . . . . 
sở giáo dục và đào tạo quảng ninh 
h-ớng dẫn chấm thi chọn hỌC sINH gIỎI THPT năm 2016 
môn toán bảng A( CHÍNH THỨC) 
Bài Sơ lược lời giải Điểm 
Bài 1 
3 điểm 
Phương trỡnh hoành độ điểm chung của (Cm) và d là : 
 (2 – m)x3 – 6mx2 + 9(2 – m)x – 2 = –2 
 x[(2 – m)x2 – 6mx + 9(2 – m)] = 0 (1) 
0,5 
 
   22 – 
0
( ) 0 (2)– 6 9 2 – m x m
x
g x x m 



(Cm) cắt d tại 3 điểm phõn biệt  (1) cú 3 nghiệm phõn biệt 
 (2) cú 2 nghiệm phõn biệt ≠ 0 
0,5 
 '
2 0 2
2
0 1 (*)
1
(0) 0 9(2 ) 0
g
m m
m
m
m
g m
   
 
      
    
 0,5 
Khi đú gọi 3 giao điểm của (Cm) và d là A(0 ; –2 ), B(x1 ; –2 ), C(x2 ; –2) với x1 , x2 
là nghiệm của phương trỡnh (2) => hai điểm B, C  trục tung 
Ta cú 2 22 1 2 1 2 1 1 2( ;0) ( ) ( ) 4BC x x BC BC x x x x x x         
0,5 
Mà theo Vi-et ta cú : 1 2
2
1 2
6
1
122
(2 )
9
m
x x m
BCm
m
x x

  
 
 
2
1 1
( ; ). 12 13
2 (2 )
OBC
m
S d O d BC
m


  

0,5 
2
14 ( *)
13 196 196 0 14
( *)
13
m tm
m m
m tm

    
 

Vậy cú 2 giỏ trị của m thỏa món đề bài là : m =14 và m = 14/13 
0,5 
Bài 2 
3 điểm 
Đặt x = 142030’ thỡ 2x = 2850 = 3600 - 750 0,5 
tan2x = - tan75
0
 = - tan(45
0
 + 30
0
) = – 
0
0
1 tan 30 1 3
1 tan 30 1 3
 

 
 0,5 
Mà 
2
2 tan
tan 2
1 tan
x
x
x


 Đặt t = tanx 
2
2
tan 2
1
t
x
t


 0,5 
 Do đú 
2
2 1 3
1 1 3
t
t


 
22(1 3) ( 3 1) 3 1t t       
0,5 
2( 3 1) 2(1 3) ( 3 1) 0t t      
3 1 2 2
3 1
t
 
 

 0,5 
Vỡ t < 0 nờn 
3 1 2 2 ( 3 1 2 2)( 3 1)
23 1
t
    
  

1
(3 3 2 6 3 1 2 2) 2 2 3 6
2
          
0,5 
Bài 3 
3 điểm 
Điều kiện: x  0 
Nhận xột: 
2
2
2
2
2
2121
x
xx
x
x
x
x 




= 1 - 
x
2
= 2( )
1
2
1
x
 
0,5 
Viết phương trỡnh ra dạng: 
2
2 2
1 1 2 2
2 2
1 1 2 1
2 2
2
x x
x x
x x
x x
 
  
   
 
 0,5 
. 
2
2 2
1 1 22
2 2
1 1 1 1 2
2 . 2 .
2 2
x x
x x
x x
x x
 
 
   (*) 
0,5 
 Xột hàm số: f(t) = 2t + 
2
1
t => 
1
'( ) 2 ln 2 0
2
tf t    
Nhận xột: f(t) là hàm số đồng biến 
0,5 
Mà phương trỡnh * dạng: f(
2
21
x
x
)= f(
2
21
x
x
) 
2
21
x
x
= 
2
21
x
x
 0,5 
 x
2
 – 2x = 0 




2
0
x
x
Vậy pt cú nghiệm x = 2 
0,5 
Bài 4 
3điểm 
Trong một cõu xỏc suất trả lời đỳng là :
1
4
Trong một cõu xỏc suất trả lời sai là :
3
4
Học sinh đú thi đỗ trong cỏc trường hợp sau: 
0,5 
+) Trường hợp 1: đỳng 6 cõu và sai 4 cõu 
 Số cỏch chọn 6 cõu đỳng trong 10 cõu là 610C 
 Xỏc suất để 6 cõu đỳng đồng thời 4 cõu cũn lại đều sai là : 
6 4
1 3
.
4 4
   
   
   
 => Trường hợp 1cú xỏc suất là:
6 4
6
1 10
1 3
. .
4 4
P C
   
    
   
0,5 
Tương tự : 
+) Trường hợp 2: đỳng 7 cõu và sai 3 cõu cú xỏc suất là: 
7 3
7
2 10
1 3
. .
4 4
P C
   
    
   
+) Trường hợp 3: đỳng 8 cõu và sai 2 cõu cú xỏc suất là: 
8 2
8
3 10
1 3
. .
4 4
P C
   
    
   
0,5 
+) Trường hợp 4: đỳng 9 cõu và sai 1 cõu cú xỏc suất là: 
9
9
4 10
1 3
. .
4 4
P C
   
    
   
+) Trường hợp 5: đỳng 10 cõu cú xỏc suất là: 
10
10
5 10
1
.
4
P C
 
  
 
0,5 
Do mỗi trường hợp trờn là 1 biến cố thỡ cỏc biến cố đú xung khắc nờn xỏc suất để 
học sinh thi đỗ là: 
1 2 3 4 5P P P P P P     
6 4 7 3 8 2 9 10
6 7 8 9 10
10 10 10 10 10
1 3 1 3 1 3 1 3 1
. . . . . . . . .
4 4 4 4 4 4 4 4 4
C C C C C
                 
                     
                 
10
20686
4
 
1 
Bài 5 
6 điểm 
1. Gọi M là trung điểm AC; H là trực tõm tam giỏc ABC; E là chõn đường cao hạ từ 
A 
Do M là giao của BM và AC nờn tọa độ M là nghiệm của hệ: 
7
3 5 8 0 2
4 0 1
2
x
x y
x y
y

   
 
     

 vậy 
7 1
;
2 2
M
 
 
 
0,5 
Đường thẳng BD qua D và nhận vộc tơ chỉ phương của AC là ACu (1; 1) làm vộc tơ 
phỏp tuyến cú phương trỡnh: 2 0x y   
0,5 
Do B là giao của hai đường thẳng BD và BM nờn tọa độ B là nghiệm của hệ: 
2 0 1
3 5 8 0 1
x y x
x y y
    
 
    
 vậy  1;1B 
Gọi K là giao của BD và AC nờn tọa độ K là nghiệm của hệ: 
2 0 3
4 0 1
x y x
x y y
    
 
     
 vậy  3; 1K  
0,5 
Tứ giỏc KHEC nội tiếp nờn AHD BCA 
Mặt khỏc BCA BDA ( gúc nội tiếp cựng chắn cung AB ) 
AHD HDA  nờn tam giỏc AHD cõn tại A, vậy K là trung điểm DH  2;0H 
0,5 
Gọi  ; 4C t t  do M là trung điểm AC nờn (7 ;3 )A t t  . Do 
5
. 0
2
t
AH BC
t

   
 0,5 
Với 5t  ta cú  5;1 ; A(2;-2)C 
Với 2t  ta cú  2; 2 ; A(5;1)C  
Do 2 trường hợp cú diện tớch như nhau: 
Vậy 6ABCS  (đvdt) 
0,5 
2. Gọi H là trung điểm AO; F là 
trung điểm BO; E là giao điểm của 
HN và BD. 
Qua E dựng đường thẳng song 
song với HM cắt MN tại K 
0,5 
E
N
M
C
D
A
B
O
S
H
K
F
Ta cú gúc tạo bởi MN và (ABCD) là gúc 060MNH  
Xỏc định được gúc tạo bởi MN và (SBD) là gúc NKF 
0,5 
+)
3 3 2
2
4 4
a
AC a CH AC    +) 2 2 2 2 . . osHN CH CN CH CN c NCH   0,5 
+) 
10
4
a
HN  +) 
10
2
HN a
MN MN
cosMNH
   
0,5 
+) HOE NFE EH EN     Vậy K là trung điểm MN =>
1 10
2 4
a
KN MN  0,5 
+) 
1
5
FN
cosFNK
KN
   
+) Vậy 2
2 5
sin 1
5
cosFKN FNK cos FNK    
0,5 
Bài 6 
2 điểm 
Ta cú : 2 2 2
1
( )
2
y z y z   và 2( ) 4y z yz  
Nờn 5x
2
 + 
5
2
 (y + z)
2
 ≤ 5x2 + 5( y2 + z2) = 6(xy+ yz + zx) ≤ 6x(y + z) + 
6
4
 (y + z)
2
0,5 
Do đú : 5x2 – 6x(y + z) + (y + z)2 ≤ 0 => 
5
y z
x y z

   => x + y + z ≤ 2(y + z) 
Khi đú P 2 2 2
1 1 1
2( ) ( ) 4( ) ( ) 2 ( )
2 2 2
x y z y z y z y z y z y z             
0,5 
Đặt y z t  khi đú t ≥ 0 và P ≤ 
4
2
2
t
t  
Xột hàm số 
4
( ) 2
2
t
f t t  với t ≥ 0 => f’(t) = 2 – 2t3 => f’(t) = 0  t = 1 
0,5 
Lập bảng biến thiờn => 
3
( )
2
f t  => 
3
2
P  
Dấu “ = “ xảy ra 
1
1
1 2
x y z x
y z
y z
y z
  
 
  
    
0,5 
 Cỏc chỳ ý khi chấm: 
 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trỡnh bày sơ lược bài giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận 
chặt chẽ, tớnh toỏn chớnh xỏc mới được điểm tối đa. 
2. Cỏc cỏch giải khỏc nếu đỳng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thụng nhất chi tiết nhưng khụng 
được quỏ số điểm dành cho cõu, phần đú. 
3.Cú thể chia điểm thành từng phần nhưng khụng dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ 
chấm. 
4. Điểm toàn bài là tổng số điểm cỏc phần đó chấm. Khụng làm trũn điểm. 
5. Mọi vấn đề phỏt sinh trong quỏ trỡnh chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo 
sự thống nhất của cả tổ.