Kiểm tra học kì I môn Toán học 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH ĐỒNG THÁP 
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề gồm có 01 trang) 
KIỂM TRA HỌC KÌ I 
Năm học: 2014-2015 
Môn thi: TOÁN - Lớp 12 
Ngày thi: 11/12/2014 
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I. (3,0 điểm) Cho hàm số 4 2( 3) 2y x m x m= − + + + (1) ; m là tham số thực. 
 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 
 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 
Câu II. (2,0 điểm) 
 1. Tính giá trị biểu thức 
2 2 2sin cos sin loge ln1( ) 10 (2014)x x xP e e e−= − − + . 
 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2( ) 2014 1f x x x= + − . 
Câu III. (2,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; AB a= và 
5AC a= . Cạnh SA vuông góc mặt phẳng ( ABCD ); cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy một 
góc bằng 060 . 
 1. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD . 
 2. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD . 
II. PHẦN RIÊNG - Tự chọn (3,0 điểm) 
Thí sinh chỉ chọn một trong hai câu (câu IV.a hoặc câu IV.b) 
Câu IV.a. Theo chương trình Chuẩn (3,0 điểm) 
 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
4
2
x
y
x
−
=
+
 tại giao điểm của nó với trục 
tung. 
 2. Giải phương trình 3 3log ( 3) log (2 1) 1x x− + − =
 3. Giải phương trình 1 116.4 29.10 25 0x x x− +− + =
Câu IV.b. Theo chương trình Nâng cao (3,0 điểm) 
 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
4
2
x
y
x
−
=
+
; biết rằng tiếp tuyến này 
song song đường thẳng 6 2014 0x y− + = . 
 2. Cho hàm số 2 .cos3x y e x= . Chứng minh rằng 13 4 ' " 0y y y− + = . 
 3. Tìm m để đồ thị (H) của hàm số 
2
1
x
y
x
+
=
+
 cắt đường thẳng y x m= + tại hai điểm 
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của đồ thị (H) tại các điểm đó song song. 
DANGNHATLONG.COM
 ----- HẾT -----
DANGNHATLONG.COM
Trang 1/4
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH ĐỒNG THÁP 
HƯỚNG DẪN 
CHẤM CHÍNH THỨC
(gồm có 04 trang) 
KIỂM TRA HỌC KÌ I
Năm học: 2014-2015 
Môn thi: TOÁN - Lớp 12 
Ngày thi: 11/12/2014 
Câu Nội dung yêu cầu Điểm 
Câu I
(3,0 đ) 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 2,0đ 
Khi 1m = ; ta có 4 24 3y x x= − +
+ Tập xác định : D = ℝ 0,25 
+Sự biến thiên : 
 3' 4 8y x x= − . Cho 3
0
' 0 4 8 0
2
x
y x x 
x
=
= ⇔ − = ⇔ 
= ±
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2;0)− và ( 2; )+∞
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 2)−∞ − và (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại 0; 3CDx y= = ,đạt cực tiểu tại 2; 1CTx y= ± = −
+ Giới hạn : lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= = +∞
0,25 
0,25 
0,25
0,25 
+ Bảng biến thiên : 
x −∞ 2− 0 2 +∞ 
'y − 0 + 0 − 0 + 
y +∞ 3 +∞
 1− 1−
0,25 
+ Đồ thị: 
0,50 
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. 1,0 đ 
DANGNHATLONG.COM
DANGNHATLONG.COM
Trang 2/4
Phương trình hoành độ giao diểm của đồ thi (1) và trục Ox
4 2( 3) 2 0x m x m− + + + = (*) 
Đặt 2; 0t x t= ≥
Phương trrình (*) trở thành : 2 ( 3) t 2 0t m m− + + + = (**) 
1
2
t
t m
=
⇔  = +
YCBT⇔ (*) có 4 nghiệm phân biệt⇔ (**) có hai nghiệm dương phân biệt 
2 0 2
2 1 1
m m
m m
+ > > − 
⇔ ⇔ 
+ ≠ ≠ − 
0,25 
0,25 
0,25
0,25 
Câu II 
(2,0 đ) 
1. Tính giá trị biểu thức :
2 2 2sin cos sin loge ln1( ) 10 (2014)x x xP e e e−= − − + 1,0 đ 
2 2 2sin cos sin log 0( ) 10 (2014)x x x eP e e e−= − − + 
 =
2 2sin cos 0 1x xe e e+ − − +
 = 1 1 0e e− − + =
( Mỗi cụm tính đúng cho 0,25) 
0,25
0,25
0,25
0,25 
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2( ) 2014 1f x x x= + − 1,0 đ 
Tập xác định : [ ]1,1D = − 
2 2
2
2 2
1 2
'( ) 1
1 1
x x
f x x
x x
−
= − − =
− −
0,25 
2
'( ) 0
2
f x x= ⇔ = ± 
0,25 
2 4029 2 4027
( 1) (1) 2014; ( ) ; ( )
2 2 2 2
f f f f− = = = − = 
0,25 
[ ]1;1
2 4029
( ) ( )
2 2x
Max f x f
∈ −
= = và 
[ ]1;1
2 4027
( ) ( )
2 2x
Min f x f
∈ −
= − = 
0,25 
Câu III
(2,0 đ) 
1. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD 1,0 đ 
DANGNHATLONG.COM
DANGNHATLONG.COM
Trang 3/4
Vì ( )SA ABCD⊥ nên hình chiếu vuông góc của SC trên ( )ABCD là AC
060SCA⇒∠ = 
0,25 
ABCD là hình chữ nhật nên : 2 2 2 24 2BC AC AB a BC a= − = ⇒ = 
⇒ 2. 2ABCDS AB BC a= = 
0,25 
SAC∆ vuông tại A : 0tan 60 15SA AC a= = 0,25 
3
.
1 2 15
.
3 3
SS ABCD ABCDV SA a= = (đvtt) 
0,25 
2. Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD 1,0 đ 
( )SA ABCD⊥ (1)SA AC⇒ ⊥
Mặt khác : ;AB (2)SA BC BC BC SB⊥ ⊥ ⇒ ⊥
Tương tự : (3)CD SD⊥
Từ (1),(2),(3) suy ra 090SAC SBC SDC∠ = ∠ = ∠ = 
, ,A B D⇒ ∈ mặt cầu đường kính SC
⇒ Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là trung diểm của SC
+
2 2
5
2 2
SC SA AC
R a
+
= = = 
+ 2 24 20mcS R api pi= = (đvdt) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
CâuIVa 
(3,0 đ) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
4
2
x
y
x
−
=
+
 tại giao điểm của 
nó với trục tung. 
1,0đ 
Gọi A là giao điểm của đồ thị và trục Oy (0; 2)A⇒ − 0,25 
Phương trình tiếp tuyến ∆ tại A : '( )( )A A Ay y x x x y= − + với 2
6
'
( 2)
y 
x
=
+
 0,25 
'(0) 2
3
2
2
y y x
y x
⇔ = −
⇔ = −
0,25 
0,25 
2. Giải phương trình 3 3log ( 3) log (2 1) 1x x− + − = (1) 1,0đ 
Điều kiện : 3x > 0,25 
(1)⇔ [ ]3log ( 3)(2 1) 1x x− − =
2
2
2 7 3 3
2 7 0
x x
x x
⇔ − + =
⇔ − =
0,25 
0,25 
0 (L)
7
2
x
x
=
⇔
 =

Vậy 
7
2
x = là nghiệm phương trình 
0,25 
3. Giải phương trình 1 116.4 29.10 25 0x x x− +− + = (1) 1,0đ 
DANGNHATLONG.COM
Trang 4/4
(1) 4.4 29.10 25.25 0x x x⇔ − + = 0,25 
2
2 2
4. 29. 25 0
5 5
x x    ⇔ − + =    
     
2
1
5
2 25
5 4
x
x
  = 
 ⇔ 
  =  
0
2
x
x
=
⇔  = −
0,25 
0,25 
0,25 
CâuIVb 
(3,0 đ) 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 
4
2
x
y
x
−
=
+
; biết tiếp tuyến 
này song song đường thẳng 6 2014 0x y− + =
1,0đ 
Gọi 0 0( ; )M x y là tiếp điểm 
Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M : 0 0 0'( )( )y y x x x y= − + với 2
6
'
( 2)
y 
x
=
+
0,25 
Vì ∆ song song đường thẳng 6 2014y x= + nên 6k∆ =
⇔ 0'( ) 6y x = ⇔
0 0
2 
0 00
1 56 
6
3 7( 2)
x y
x yx
= − ⇒ = −
= ⇔  = − ⇒ =+ 
0,25 
0,25 
Phương trình tiếp tuyến 1 : 6 1y x∆ = +
Phương trình tiếp tuyến 2 : 6 25y x∆ = + 0,25 
2. Cho hàm số 2 .cos3x y e x= . Chứng minh rằng 13 4 ' " 0y y y− + = . 1,0đ 
2 2 2' 2 .cos3 3 .s in3 .(2cos3 3sin3 )x x xy e x e x e x x= − = − 
2 2
2
" 2 .(2cos3 3s in3 ) ( 6s in3 9cos3 ).
.(12s in3 5cos3 )
x x
x
y e x x x x e
e x x
= − + − −
= − +
Ta có : 
2 2 213 .cos3 4 (2cos3 3sin3 ) .(12sin3 5cos3 ) 0x x xVT e x e x x e x x VP= − − − + = =
0,25 
0,25
0,25 
0,25 
3. Tìm m để đồ thị (H) của hàm số 
2
1
x
y
x
+
=
+
 cắt đường thẳng y x m= + tại 
hai điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại các điểm đó song song 
1,0đ 
PTHĐGĐ của (H) và đường thẳng y x m= + : 
2
 ( 1)
1
x 
x m x
x
+
= + ≠ −
+
2 22 2 0x x mx x m x mx m⇔ + = + + + ⇔ + + − = (1) 
0,25 
Số giao điểm của (H) và đường thẳng d bằng số nghiệm phương trình (1)
YCBT ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x khác 1− thỏa 1 2'( ) '( )y x y x=
 ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt 1 2;x x khác 1− thỏa 1 2 2x x+ = − 0,25 
 ⇔
0
1 2 0
2
m m
S
∆ >

− + − ≠
 = −
2 4( 2) 0
2
2
m m 
m
m
 − − >
⇔ ⇔ =
− = −
0,25 
0,25 
DANGNHATLONG.COM