Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 THANH HOÁ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1 (4 điểm).
a) Rút gọn biểu thức với .
b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và .
Tính giá trị của biểu thức .
Câu 2 (4 điểm).
a) Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình .
Câu 3 (4 điểm).
a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình .
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng p=a2+b2 +c2 với a; b; c là các số nguyên dương sao cho a4+b4 +c4 chia hết cho p 
Câu 4 (6 điểm).
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB. 
a) Chứng minh 
b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE.
c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R.
Câu 5 (2 điểm). Cho x;y;z >0 chứng minh rằng
----------------------Hết---------------------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
---------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9
MÔN THI: TOÁN
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà kết quả đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1a:
(1,0 đ)
0.5
0.5
0.5
 = 
0.5
Câu 1b:
(1,0 đ)
0.5
Vì a > b > 0 nên từ (*) ta có a = 2 b 
0.5
Vậy biểu thức 
0.5
0.5
Câu 2a:
(1,0 đ)
Đặt 
0.5
ta được phương trình 
0.5
Với t = -4 ta có 
0.5
Với t =2 ta có 
. Kết luận nghiệm của phương trình.
0.5
Câu 2b:
(1,0 đ)
Đặt 2x+y =a; x-y=b biểu diễn hệ 
0.5
tìm được 
0.5
Giải 2 hệ trên cuối cùng tìm được(x;y) 
05
Câu 3a:
(1,0 đ)
Do y nguyên dương 
0.5
Vì 
0.25
mà và (Do )
0.5
*Nếu 
*Nếu 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là:
 và 
0.5
Câu 3b:
(1,0 đ)
Vai trò a; b; c bình đẳng giả sử a 
P= a2+b2+c2 nên (a4+b4+c4+ 2a2b2+2b2c2 +2c2a2 ) p
Suy ra 2a2b2+2b2c2 +2c2a2 p
do a,b,c nguyên dương nên p vậy (2;3)=1vậy a2b2 +b2c2+c2a2 p
0.5
 Suy ra (a2b2 + c2p –c4) p suy ra (ab-c2) (ab+c2) 
 ab < 2ab a2+ b2 nên 1<ab+c2< a2+b2+c2=p suy ra ( p; ab+c2) =1
 buộc c2 –ab mà anên 0 c2 –ab <p buộc c2-ab =0. 
0.5
vậy c2=ab nên a=b=c suy ra p =3a2 mà p nguyên tố nên p=3
0.5
Câu 4a:
(1,0 đ)
Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O). Ta có sđ (1)
0.5
Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA) (2)
0.5
Tứ giác MHOK nội tiếp (cùng chắn ) (3)
0.5
Từ (1), (2), (3) ta có hay 
0.5
Câu 4b:
(1,0 đ)
Có tứ giác AOMD nội tiếp (4)
0.5
sđ;sđ 
 tứ giác AMGO nội tiếp (5)
0.5
Từ (4), (5) ta có 5 điểm A, D, M, G, O cùng nằm trên một đường tròn
0.5
 và đồng dạng
 hay OD.GF = OG.DE.
0.5
Câu 4c:
(1,0 đ)
Trên đoạn MC lấy điểm A’ sao cho 
MA’ = MA đều
0.5
Chu vi tam giác MAB là 
0.5
Đẳng thức xảy ra khi MC là đường kính của (O) => M là điểm chính giữa cung AM => H là trung điểm đoạn AO
Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB
0.5
Gọi I là giao điểm của AO và BC 
Giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB = 
0.5
Câu 5:
(1,0 đ)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz ta được 
0.5
Ta có : = 
Áp dụng BĐT cauchy-schwarz 
0.5
0,5
Nên 3- 
 từ đó suy ra đpcm
dấu “=” xảy ra khi : x=y=z
0.5