Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 thpt giải toán trên máy tính cầm tay năm học 2011 – 2012 môn: toán đề chính thức thời gian làm bài: 150 phút

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 
 THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011 – 2012 
 MÔN: TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
 Đề thi gồm 04 trang 
 Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này 
 Điểm của bài thi Các giám khảo ( Họ và tên, chữ ký) Số phách 
Bằng số: 1. 
Bằng chữ: 2. 
 Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1) 
 2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 -10 có thêm phần 
tóm tắt lời giải. 
 3)Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm. 
 Đề bài Kết quả 
Bài 1: (2 điểm) 
Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: 
 sin 2 .cos - 2cos 2 sin - 2 0x x x x+ = 
Bài 2: (2 điểm) 
Tính gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết BC 
= 12m, góc B = 23012'34'', góc C = 74023'12'' 
Bài 3: (2 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
3 3
2
( 3 ) 3
2 3 17y x
xy x y x y⎧ − = −⎪⎨⎪ + =⎩
Bài 4: (2 điểm) 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3); B(1;1) và 
đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x. Tính gần đúng tọa độ 
điểm C trên đường thẳng (d) để tam giác ABC cân tại B . 
Bài 5: (2 điểm) 
Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
123
532
2
2
+−
++=
xx
xx
y 
Bài 6: (2 điểm) Cho dãy (un) xác định bởi: 1 2
1 1
1; 3
5 3 2n n n
u u
u u u n+ −
= =⎧⎨ = + −⎩
a) Lập qui trình bấm phím tính nu và tổng nS (tổng n số hạng đầu tiên của dãy). 
b) Tính 8u và 10S . 
Lời giải tóm tắt bài 6 Kết quả 
Bài 7: (2 điểm) An làm bài kiểm tra trắc nghiệm môn Vật lí, đề kiểm tra gồm 40 câu. Mỗi câu 
có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ một phương án đúng. Trả lời đúng mỗi câu được 0,25 điểm. 
An đã làm được 30 câu trong đó đúng 24 câu. Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên 
một phương án trả lời. Tính xác suất để An đạt 8 điểm trở lên. 
 Lời giải tóm tắt bài 7 Kết quả 
Bài 8: (2 điểm) Cho dãy số ( )nu xác định bởi công thức: 2
2006
n
nun += , với mọi n nguyên 
dương. Biết n là giá trị để nu là số hạng nhỏ nhất của dãy số trên. Tính hệ số của số hạng chứa 
8x trong khai triển 52 2
7
n
x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Lời giải tóm tắt bài 8 Kết quả 
Bài 9: (2 điểm) Người ta muốn làm một 
con đường đi từ địa điểm A đến địa điểm B 
ở hai bên bờ một con sông, các số liệu được 
thể hiện trên hình vẽ, con đường được làm 
theo đường gấp khúc AMNB. Biết rằng chi 
phí xây dựng một km đường bên bờ có điểm 
B nhiều gấp 1,3 lần chi phí xây dựng một 
km đường bên bờ có điểm A, chi phí làm 
cầu MN tại địa điểm nào cũng như nhau. 
Hỏi phải xây cầu tại điểm M cách điểm H 
bao nhiêu km để chi phí làm đường là nhỏ 
nhất? 
Lời giải tóm tắt bài 9 Kết quả 
M 
A 
4,1 km 
H 
1,
2 
km
B 
1,5 km
 N 
Bài 10: (2 điểm) 
 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = 2a, hình chiếu 
vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt 
là trung điểm của EC, SC. Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M. Gọi H là hình chiếu vuông 
góc của S trên MC. Tính gần đúng giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện EHIJ với a=5,14233cm. 
Lời giải tóm tắt bài 10 Kết quả 
-----------Hết---------- 
 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 
 THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2011 – 2012 
 MÔN: TOÁN 
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN TOÁN 
 Điểm của bài thi 
 Các giám khảo 
 ( Họ và tên, chữ ký) 
 Số phách 
Bằng số: 
1. 
Bằng chữ: 
2. 
 Chú ý: 1) Kết quả tính chính xác đến 5 chữ số thập phân (trừ kết quả bài 1) 
 2) Thí sinh ghi kết quả vào ô trống bên phải, đối với các bài từ bài 6 -10 có thêm phần 
tóm tắt lời giải. 
 3)Thí sinh không được có thêm ký hiệu nào khác trong bài làm. 
 Đề bài Kết quả 
Bài 1: (2 điểm) 
Tìm gần đúng các nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình: 
 sin 2 .cos - 2cos 2 sin - 2 0x x x x+ = 
0 0
1 54 14 '45" 360x k≈ + 
0 0
2 125 45'15" 360x k≈ +
Bài 2: (2 điểm) Tính gần đúng diện tích hình tròn ngoại tiếp tam 
giác ABC biết BC = 12m, góc B = 23012'34'', góc C = 74023'12'' 
10874,115≈S m2 
Bài 3: (2 điểm) 
Giải hệ phương trình: 
3 3
2
( 3 ) 3
2 3 17y x
xy x y x y⎧ − = −⎪⎨⎪ + =⎩
⎩⎨
⎧
=
=
3
1
1
1
y
x
⎩⎨
⎧
≈
≈
16993.3
05664,1
2
2
y
x
Bài 4: (2 điểm) 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(-1;3); B(1;1) và 
đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x. Tính gần đúng tọa độ 
điểm C trên đường thẳng (d) để tam giác ABC cân tại B . 
C1 1
1
1,84900
3,69800
x
y
≈⎧⎨ ≈⎩
C2 2
1
0,64900
1,29800
x
y
≈ −⎧⎨ ≈ −⎩
Bài 5: (2 điểm) 
Tính gần đúng khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
123
532
2
2
+−
++=
xx
xx
y 
07298,9≈d 
 2
Bài 6: (2 điểm) Cho dãy (un) xác định bởi: 1 2
1 1
1; 3
5 3 2n n n
u u
u u u n+ −
= =⎧⎨ = + −⎩
a) Lập qui trình bấm phím tính nu và tổng nS (tổng n số hạng đầu tiên của dãy). 
b) Tính 8u và 10S . 
Lời giải tóm tắt bài 6 điểm 
a) Qui trình bấm phím trên máy 570MS: 
2 SHIFT STO X 
1 SHIFT STO A 
3 SHIFT STO B 
4 SHIFT STO C 
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : 
ALPHA A ALPHA = 5 ALPHA B + 3 ALPHA A – 2(ALPHA X – 1) 
ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA A ALPHA : 
ALPHA X ALPHA = ALPHA X + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = 5 
ALPHA A + 3 ALPHA B – 2(ALPHA X – 1) ALPHA : ALPHA C 
ALPHA = ALPHA C + ALPHA B 
Sau đó ấn « = » liên tiếp với X là chỉ số của u 
u8= 67623 
S10=2533657 
0,5 
1,0 
0,5 
Bài 7: (2 điểm) An làm bài kiểm tra trắc nghiệm môn Vật lí, đề kiểm tra gồm 40 câu. Mỗi câu 
có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ một phương án đúng. Trả lời đúng mỗi câu được 0,25 điểm. 
An đã làm được 30 câu trong đó đúng 24 câu. Ở 10 câu còn lại mỗi câu An chọn ngẫu nhiên 
một phương án trả lời. Tính xác suất để An đạt 8 điểm trở lên. 
 Lời giải tóm tắt bài 7 điểm 
Cách1: (Theo đ/n cổ điển) An đã làm đúng 24 câu, tương ứng 6 điểm 
nên để dạt được số điểm là 8 trở lên An cần phải đạt ít nhất 2 điểm 
nữa.Tức An cần phải làm đúng ít nhất 8 câu trong 10 câu còn lại. Số 
cách để trả lời 10 câu còn lại là 410. Gọi A là biến cố: An trả lời đúng ít 
nhất 8 câu trong 10 câu còn lại. 
Gọi Ai là biến cố: An trả lời đúng i câu trong 10 câu còn lại 
(i {8;9;10}∈ ). 
Số cách chọn đúng i câu là 10
iC .Số cách trả lời đúng là 1, sai là 3.Lại 
do các Ai đôi một xung khắc, theo qui tắc nhân thì số kết quả thuận lợi 
cho biến cố A là: 8 2 9 1 10 010 10 10.3 .3 .3 436C C C+ + = . 
Vậy xác suất cần tính là: P= 10
436 0,00042
4
≈ 
Cách 2: ( Theo qui tắc xác suất) 
Lập luận như trên, đi đến: 
8 2 9 1 10
8 9 10
9 9 10 10
1 3 1 3 1 436. . . . . 0,00042
4 4 4 4 4 4
P C C C⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
0,5 
1,0 
0,5 
 3
Bài 8: (2 điểm) Cho dãy số ( )nu xác định bởi công thức: 2
2006
n
nun += , với mọi n nguyên 
dương. Biết n là giá trị để nu là số hạng nhỏ nhất của dãy số trên. Tính hệ số của số hạng chứa 
8x trong khai triển 52 2
7
n
x⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Lời giải tóm tắt bài 8 §iÓm 
-Xét hàm số 1;2006)( 2 ≥+= xxxxf 
3
3
' 4012040121)( =⇔=−= x
x
xf 
-Lập bảng biến thiên của f(x), ta được GTNN của f(x) đạt tại 
3 4012=x . 
Ta có 15 < 3 4012 <16. 
- Lại có f(16) < f(15). 
Vậy n = 16 . 
Ta có: 
16 1616
5 5
16
0
2 22 ( 2)
7 7
k
k k k
k
x C x
−
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ 
Số hạng chứa x8 ứng với k =8, nên hệ số của x8 là 
8
8 85
8 16
2 ( 2)
7
a C ⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ 4159,81815≈ . 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
Bài 9: (2 điểm) Người ta muốn làm một con 
đường đi từ địa điểm A đến địa điểm B ở hai 
bên bờ một con sông, các số liệu được thể hiện 
trên hình vẽ, con đường được làm theo đường 
gấp khúc AMNB. Biết rằng chi phí xây dựng 
một km đường bên bờ có điểm B nhiều gấp 1,3 
lần chi phí xây dựng một km đường bên bờ có 
điểm A, chi phí làm cầu MN tại địa điểm nào 
cũng như nhau. Hỏi phải xây cầu tại điểm M 
cách điểm H bao nhiêu km để chi phí làm 
đường là nhỏ nhất? 
Lời giải tóm tắt bài 9 §iÓm 
§Æt 25,2)1,4(,44,1)1,40( 22 +−=+=⇒≤≤= xBNxAMxHMx 
Gäi a lµ sè tiÒn ®Ó lµm 1km ®−êng bªn bê cã ®iÓm A. khi ®ã chi phÝ ®Ó 
lµm hai ®o¹n AM vµ BN lµ 25,2)1,4(3,144,1)( 22 +−++= xaxaxf 
25,2)1,4(
1,4
3,1
44,1
)('
22 +−
−−+= x
x
a
x
x
axf 
Dïng lÖnh SOLVE gi¶i ®−îc ⇔= 0)(' xf 0630356805,2 xx =≈ 
+) TÝnh axf 621108864,5)( 0 ≈ ; af 87550878,6)0( ≈ ; 
 af 22200187,6)1,4( ≈ . Do ®ã )()(min 0
]1,4;0[
xfxf = 
VËy 2,63036≈HM km 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
M 
A 
4,1 km 
H 
1,
2 
km
B 
1,5 km
 N 
 4
Bài 10: (2 điểm) 
 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, BA = BC = 2a, hình chiếu 
vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt 
là trung điểm của EC, SC. Trên tia đối của tia BA lấy một điểm M. Gọi H là hình chiếu vuông 
góc của S trên MC. Tính gần đúng giá trị lớn nhất thể tích khối tứ diện EHIJ với a = 5,14233cm. 
Lời giải tóm tắt bài 10 Kết quả 
Đặt MCE α= 
Ta có EC= 2 2 5BE BC a+ = 
Theo định lý ba đường vuông góc ta có 
EH vuông góc HC suy ra 
EH = EC sin α = 5 sina α 
EI = 1 5
2 2
EC a= 
Diện tích tam giác HEI: 
SHEI = 
1 . .sin
2
HE EI HEI 
 21 5 sin 2
8
a α= IJ = 1
2
SE a= 
Suy ra VJHEI = 
1 IJ
3
. SHEI = 3
5 sin 2
24
a α= 
VJHEI đạt giá trị lớn nhất khi sin 2 1α = hay 
Max VJHEI = 
35 28,32948
24
a ≈ cm3. 
0,5 
0,5 
0,5 
0,5 
-----------Hết---------- 
J
I
E
B
A
C
S
M
H