Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Các vấn đề liên quan

	+ Kiến thức cơ bản
	Giới hạn, đạo hàm.
	+ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
	, , , .
	+ Các bài toán liên quan.
	Liên quan đến điểm, hàm số; đạo hàm và ứng dụng; đồ thị hàm số.
A – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
I/ Ôn Tập Giới Hạn Hàm Số.
1. Giới hạn dần tới vô cực.
VD 01. Tính các giới hạn sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) .
	g) ;	h) ;	i) ;
	j) ;	k) ;	l) .
2. Giới hạn một bên.
VD 02. Tính các giới hạn sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) 	h) ;	i) ;	
II/ Ôn tập đạo hàm và ứng dụng.
1. Các đạo hàm cơ bản.
VD 03. Tính đạo hàm các hàm số:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) .
2. Ứng dụng đạo hàm tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
VD 04. Cho hàm số: 	(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
	a) Tiếp điểm là giao điểm của (C) với trục hoành.	b) Tiếp điểm có hoành độ bằng 2.
	c) Tiếp điểm điểm có tung độ bằng 1,5.	d) Tiếp tuyến có hệ số góc .
VD 05. Cho hàm số: 	(C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết:
	a) Tiếp điểm là giao của (C) với đường thẳng .
	b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng .
	c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
	d) Tiếp tuyến đi qua điểm .
	e) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc (phần sau).
3. Chứng minh biểu thức đạo hàm.
VD 06. Chứng minh:
	a) biết ;	b) biết .
III/ KỸ NĂNG
1. Phép chia đa thức – Horner.
VD 07. 
Hay: 
VD 08. 
–3
1
–4
6
1
–3
–2
–6
0 (chia hết)
2
0
–1
–3
–1
2
–2
1
–4 (số dư)
	Hạ xuống,	Phép nhân,	Phép cộng
2. Tam thức bậc 2.
BÀI TẬP
1. Tìm các giới hạn sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
2. Tính đạo hàm của các hàm số:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	j) 	k) 	l) 
	m) 	n) 	o) 
3. Tính đạo hàm đã chỉ ra:
	a) , tính y”	b) , tính y”	c) , tính f”(–8)
4. Cho hàm số: . Chứng minh rằng: .
5. Cho hàm số: . Chứng minh rằng: .
6. Cho hàm số . Tính đạo hàm y’ theo định nghĩa.	(Đề thi ĐH Y Hà Nội 2000)
Chú ý: Với 	; ; ; ().
B – KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I/ TẬP XÁC ĐỊNH: Chú ý các biểu thức dạng: .
II/ TIỆM CẬN của đồ thị hàm số 
Tiệm cận đứng
 là tiệm cận đứng nếu thỏa một trong các điều kiện:
; ; ; .
Tiệm cận ngang
 là tiệm cận ngang nếu thỏa một trong các điều kiện:
; .
Phương pháp:
	Cho đồ thị hàm số 
	+ Nếu a là nghiệm của Q(x) = 0 thì x = a là một tiệm cận đứng.
	+ Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì y = 0 là một tiệm cận ngang.
	+ Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) thì là một tiệm cận ngang.
	+ Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) ta có thể làm như sau:
	Nếu f(x) = ax + b + e(x) với thì y = ax + b là một tiệm cận xiên.
	Ngược lại: nếu 	 và thì là một tiệm cận xiên.
	 và thì là một tiệm cận xiên. 
VD 07. Tìm tiệm cận của các hàm số:
	a) ; 	b) ; 	c) ;
	d) ; 	e) ; 	f) ; 
	g) ; 	h) ; 	i) ; 
BÀI TẬP
1. Tìm các tiệm cận của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 
2. Tìm các tiệm cận của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) (ĐH An ninh 1996)
III/ TÍNH BIẾN THIÊN (ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
1. Tính biến thiên của hàm số.
	Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), khi đó:
	+ f’(x) > 0, x(a;b) f(x) đồng biến trên khoảng (a;b)
	+ f’(x) < 0, x(a;b) f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b)
	Ngược lại:
	+ f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) f’(x) 0, x(a;b)
	+ f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) f’(x) 0, x(a;b)
	Khoảng (a;b) được gọi là khoảng đơn điệu của hàm số.
	* Bảng biến thiên: là bảng xét dấu của f’(x) và thể hiện chiều biến thiên của hàm số.
VD 08. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
	a) ; 	b) ; 	c) ; 
	d) ; 	e) ;	f) .
2. Cực trị của hàm số.
	f(x) xác định trên khoảng (a;b) và , h là lân cận của . Khi đó:
	+ là điểm cực đại của hàm số.
	+ là điểm cực tiểu của hàm số.
	Chúng ta thường thể hiện tính đơn điệu và cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên.
	Để xét cực trị chúng ta có thể dùng tính chất sau:
	+ 	 là cực tiểu của f(x).
	+ 	 là cực đại của f(x).
	Hàm số chỉ có thể có cực trị tại những điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc những điểm không có đạo hàm
VD 09. Tìm cực trị của các hàm số:
	a) ;	b) 	c) ;
	d) ;	e) ;	f) .
BÀI TẬP
1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 	
	j) 	k) 	l) 
2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	j) 	k) 	l) 
3. Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	j) 	k) 	l) 
	m) 	n) 	o) 
	p) 	q) 	r) 
	s) 	t) 	u) 
4. Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	j) 	k) 	l) 
	m) 	n) 
IV/ LỒI, LÕM, ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
	Sử dụng đạo hàm cấp 2 (Đọc thêm SGK/24 hoặc SGK nâng cao/59).
VD 10. Xét tính lồi lõm và tìm điểm uốn của các đồ thị hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
V/ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
	Các bước khảo sát hàm số:
	+ TXĐ.
	+ Giới hạn / Tiệm cận .
	+ Tính đơn điệu (y’)
	Bảng biến thiên (kết luận).
	+ Điểm uốn (y” đối với hàm ).
	+ Vẽ đồ thị hàm số.
	Nhận xét.
	Chúng ta khảo sát một số hàm cơ bản sau:
1. Hàm đa thức.
a) Hàm bậc 3: 
VD 11. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
	a) ;	b);	c) .
b) Hàm trùng phương: .
VD 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
	a) ;	b) 	c) 
2. Hàm phân thức hữu tỉ.
a) Hàm nhất thức: 
VD 13. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
	a) ;	b) ;	c) .
b) Hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc một: 
VD 14. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
	a) ;	b) ;	c) .
* Chú ý: Đồ thị của các hàm số thường gặp
	+ Hàm bậc 3: 
a>0
a<0
y’=0
có 2 nghiệm phân biệt
y’=0
có 1 nghiệm kép
(Uốn theo nghiệm kép)
y’=0
vô nghiệm
(Uốn theo điểm uốn)
	+ Hàm trùng phương: 
a>0
a<0
y’=0
có 3 nghiệm phân biệt
y’=0
có 1 nghiệm
	+ Hàm nhất thức: 
y’ < 0
y’ > 0
	+ Hàm hữu tỉ bậc hai trên bậc một: 
y’=0
có 2 nghiệm phân biệt
a.e>0
a.e<0
y’ = 0
Vô nghiệm
y’>0
y’<0
LUYỆN TẬP
1. Tìm tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) .
2. Biện luận số tiệm cận của các đồ thị hàm số:
	a) 	b) 	c) 
	d) 
3. Xác định hàm số , , biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm và có giao điểm hai tiệm cận là .
4. Xác định a để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua .
5. Cho hàm số: .
	a) Khảo sát hàm số với m = 1.
	b) Xác định m để đồ thị hàm số có giao điểm 2 tiệm cận nằm trên (P): .
6. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) ;
	j) ;	k) ;	l) ;
	m) ;	n) ;	o) ;
	p) ;	q) ;	r) .
7. Tùy theo m, hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số: .
8. Tìm tập xác định và xét dấu y’ của hàm số:
	a) ;	b) 
9. Cho hàm số: .
	a) Khảo sát hàm số khi m = –2.
	b) Định m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định.
10. Tìm cực trị của các hàm số sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) ;
	j) ;	k) ;	l) ;
	m) .
11. Định a, b để hàm số đạt cực trị bằng –2 tại .
12. Cho hàm số: . Với giá trị nào của m thì hàm số có 2 cực trị.
13. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau (hàm bậc 3):
 (y’=0 có 2 nghiệm phân biệt)
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
 (y’=0 có 1 nghiệm kép)
	j) 	k) 	l) 
 (y’=0 vô nghiệm)
	m) 	n) 	o) 
14. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau (hàm trùng phương):
 (y’=0 có 3 nghiệm phân biệt)
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
 (y’=0 có 1 nghiệm x=0)
	g) 	h) 	i) 
15. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau (hàm bậc nhất/ bậc nhất):
 (ad–bc>0 hay y’>0)
	a) 	b) 	c) 
 (ad–bc<0 hay y’<0)
	d) 	e) 	f) 
16. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau (bậc hai trên bậc một):
	a) 	b) 	c) 
17. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
	a) ;	b) ;	c) ;
	d) ;	e) ;	f) ;
	g) ;	h) ;	i) 
	j) ;	k) ;	l) ;
	m) ;	n) ;	o) ;
	p) 	q) 	r) 
18. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 
	j) 	k) 	l) 
	m) 	n) 	o) 
	p) 	q) 	r) 
	s) 	t) 	u) 
19. Cho hàm số: 	(C).
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
	b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm .
20. Cho hàm số: 	(Cm).
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C0) khi m = 0.
	b) Với giá trị nào của m thì hàm số luôn đồng biến trên tập xác định của nó?
C – CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ.
I/ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỌA ĐỘ VÀ ĐIỂM.
1. Điểm thuộc đồ thị.
VD 15. Cho hàm số 
	a) Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số đi qua điểm ?
	b) Khảo sát hàm số với m = 1.
VD 16. Cho hàm số 
	a) Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ?
	b) Khảo sát hàm số với giá trị m vừa tìm được.
VD 17. Cho hàm số 
	a) Với giá trị nào của m, đồ thị hàm số đi qua điểm ?
	b) Khảo sát hàm số với giá trị m vừa tìm được.
2. Tọa độ nguyên (hàm phân thức hữu tỉ).
Phương pháp:
 	Cho hàm số .
	Để x, y là các giá trị nguyên khi và chỉ khi c chia hết cho .
VD 18. Cho hàm số (C)
	a) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ nguyên.
	b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
VD 19. Cho hàm số (C)
	a) Tìm trên (C) những điểm có tọa độ nguyên.
	b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
3. Điểm cố định.
Phương pháp:
	Biến đổi hàm số về dạng (1) hoặc (2).
+ Tìm điểm cố định: Để x, y không phụ thuộc vào m khi và chỉ khi
	 đối với dạng (1)	 đối với dạng (2)
+ Điểm mà đồ thị hàm số đều không đi qua:
	 đối với dạng (1)	đối với dạng (2)
VD 20. Cho hàm số . Xác định điểm cố định mà họ luôn đi qua.
VD 21. Cho hàm số . Xác định điểm cố định mà họ luôn đi qua.
VD 22. Cho hàm số . Xác định điểm cố định.
VD 23. Cho hàm số 
Xác định những điểm mà họ không đi qua với mọi giá trị của m.
4. Tâm đối xứng.
* Tính chẵn – lẻ của hàm số y = f(x) trong hệ trục tọa độ Oxy
	Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số là hàm chẵn, khi đó hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
	Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số là hàm lẻ, khi đó hàm số nhận tâm O làm tâm đối xứng.
* Phép tịnh tiến hệ tọa độ từ hệ tọa độ Oxy sang hệ tọa độ IXY với là phép tịnh tiến theo vectơ . Công thức đổi trục:
Chú ý:	+ Hàm bậc 2 nhận đường thẳng làm trục đối xứng.
	+ Hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
	+ Hàm trùng phương nhận trục Oy làm trục đối xứng (hàm chẵn).
	+ Hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.
	 + Hàm hữu tỉ nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
Bài toán 1. Chứng minh điểm là tâm đối xứng:
	Cách 1:	+ Đổi hệ trục Oxy sang hệ IXY.
	+ Viết phương trình của (C) trong hệ IXY: Y = F(X).
	+ Chứng minh: Y = F(X) là hàm lẻ.
	Cách 2:	Ta chứng minh 
VD 24. Tìm tâm đối xứng của .
VD 25. Chứng minh hàm số có tâm đối xứng.
VD 26. Chứng minh là trục đối xứng của .
VD 27. Cho hàm số (Cm). Xác định m để (Cm) nhận làm tâm đối xứng.
	Lưu ý: đối với hàm bậc 3, để làm tâm đối xứng khi hay là điểm uốn
VD 28. Cho (C). Định m để làm tâm đối xứng.
VD 29. Cho (C). Tìm trên (C) những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc O.
VD 30. Cho (C). Tìm tên (C) những cặp điểm đối xứng nhau qua .
VD 31. Cho (C). Tìm cặp điểm thuộc (C) đối xứng nhau qua đường thẳng .
VD 32. Cho (C). Tìm cặp điểm trên (C) đối xứng nhau qua đường thẳng:
	a) .	ĐS: , .
	b) .
Bài toán 2. Đường thẳng là trục đối xứng của (C).
	Cách 1:	+ Đổi hệ trục Oxy sang hệ IXY: .
	+ Viết phương trình của (C) trong IXY: Y = F(X).
	+ Chứng minh Y = F(X) là hàm số chẵn
	Cách 2:	Chứng minh 
VD 33. Cho hàm số (Ca). Xác định a để (Ca) có trục đối xứng song song Oy.
Chú ý: 	+ Hàm số bậc 2 () nhận đường thẳng là trục đối xứng.
	+ Hàm số bậc 3 () nhận điểm uốn làm tâm đối đứng.
	+ Hàm trùng phương () nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
	+ Hàm hữu tỉ nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
5. Phép suy đồ thị
	Cho hàm số 	(C). Phép suy đồ thị từ đồ thị (C) sang các đồ thị:
* 	(C1)
	+ Giữ nguyên phần bên phải trục Oy (phần ).
	+ Bỏ phần bên trái trục Oy (phần x < 0)
	+ Đối xứng phần bên phải trục Oy (phần ) qua trục Oy.
	Ta được đồ thị hàm số (C1).
* 	(C2)
	+ Giữ nguyên phần phía trên trục Ox (phần ).
	+ Bỏ phần phía dưới trục Ox (phần y < 0).
	+ Đối xứng phần phía trên trục Ox (phần ) qua trục Ox.
	Ta được đồ thị hàm số (C2).
* 	(C3)
	+ Giữ nguyên phần phía trên trục Ox (phần ).
	+ Đối xứng phần dưới trục Ox (phần ) qua trục Ox.
	+ Bỏ phần phía dưới trục Ox (phần y < 0).
	Ta được đồ thị hàm số (C3).
* 	(C4)
	+ Giữ nguyên phần .
	+ Đối xứng phần qua trục Ox.
	+ Bỏ phần đã lấy làm đối xứng (không tính phần mới tạo thành khi đối xứng)
	Ta được đồ thị hàm số (C4).
VD 34. Cho hàm số 	(C).
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
	b) Từ (C) suy ra đồ thị của các hàm số .
VD 35. Cho hàm số 	(C).
	a) Tìm các điểm có tọa độ nguyên của (C).
	b) Tìm tâm đối xứng của (C).
	c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C). Từ (C) suy ra đồ thị hàm số .
VD 36. Cho hàm số 	(C).
	a) Tìm các điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số (C).
	b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: .
VD 37. Cho hàm số 	(C).
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
	b) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị hàm số .
	c) Với giá trị nào của m thì phương trình có 8 nghiệm phân biệt.
II/ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ, ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
1. GTLN – GTNN
Định nghĩa:	Nếu trên D ta xác định thì m là GTNN, M là GTLN của hàm số trên D. 	Ta kí hiệu : , 
Phương pháp:	Để xác định (hay chứng minh) ta dùng một trong các cách sau:
	+ Dùng miền giá trị (tam thức bậc 2, áp dụng với D=R)
	+ Dùng phương pháp chứng minh bất đẳng thức
	+ Dùng tính biến thiên của hàm số.
	Sau đây là phương pháp sử dụng tính biến thiên của hàm số:
	+ Tìm các điểm tới hạn (các điểm có đạo hàm bằng 0, không xác định, không có 	đạo hàm)
	+ Tính giá trị của chúng: , , (hoặc lập bảng biến thiên)
	+ So sánh kết quả và kết luận GTNN, GTLN.
VD 38. Tìm GTLN của hàm số trên R.
VD 39. Tìm GTNN của hàm số trên R.
VD 40. Tìm GTNN của hàm số trên .
VD 41. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên .
VD 42. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên TXĐ.
VD 43. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên .
VD 44. Chứng minh rằng: với .
VD 45. Cho chu vi HCN là . Dựng HCN có diện tích lớn nhất.
VD 46. Trong tất cả HCN có diện tích hãy xác định HCN có chu vi nhỏ nhất.
* Bài toán: 
	nghiệm đúng 
	nghiệm đúng 
	có nghiệm 
	có nghiệm 
VD 47. Xác định m để phương trình đúng với mọi x.
VD 48. Cho hàm số: .
	a) Xác định m để phương trình có nghiệm.
	b) Giả sử phương trình có hai nghiệm . Khi đó hãy tìm GTLN, GTNN của biểu thức:
	 và 
VD 49. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức biết .
2. Tiệm cận.
VD 50. Cho hàm số có đồ thị ()
	a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với 
	b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số () không có tiệm cận đứng?
VD 51. Cho hàm số có đồ thị ()
	a) Xác định m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên đi qua điểm 
	b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với giá trị m vừa tìm được.
VD 52. Biện luận theo m các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 
3. Tính biến thiên.
Định lý:	+ thì f(x) là hàm hằng trên (a;b).
	+ thì f(x) tăng trên (a;b).
	+ thì f(x) giảm trên (a;b).
Đảo lại:	+ chỉ sảy ra tại một số điểm hữu hạn thuộc (a;b).
	+ tăng trên (a;b) 
	+ giảm trên (a;b) 
Bài toán. Xác định m để hàm số tăng (giảm) trên D.
	+ Tìm tập xác định có chứa D.
	+ Định m để () 
VD 53. Cho hàm số 	.
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
	b) Tìm m để hàm số tăng trên D.
	c) Tìm m để hàm số tăng trên .
	d) Tìm m để hàm số giảm trên 
VD 54. Cho hàm số 	(Cm).
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
	b) Xác định m để hàm số tăng trên D.
	c) Xác định m để hàm số giảm trên .
	d) Xác định m để hàm số giảm trên .
VD 55. Cho hàm số 	(C)
	a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
	b) Xác định m để hàm số tăng trên R.
	c) Xác định m để hàm số tăng trên .
4. Cực trị
	f(x) xác định trên khoảng (a;b) và , h là lân cận của . Khi đó:
	+ là điểm cực đại của hàm số.
	+ là điểm cực tiểu của hàm số.
	Chúng ta thường thể hiện tính đơn điệu và cực trị của hàm số thông qua bảng biến thiên.
	Để xét cực trị chúng ta có thể dùng tính chất sau:
	+ 	 là cực tiểu của f(x).
	+ 	 là cực đại của f(x).
VD 56. Xác định m để hàm số có cự trị.
VD 57. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
VD 58. Cho hàm số 
	a) Xác định m để hàm số không có cực trị.
	b) Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực đại, cực tiểu thỏa .
BÀI TẬP
1. Cho hàm số: có đồ thị ()
	a) Tìm m để góc giữa hai đường tiệm cận của () có số đo bằng .
	b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với giá trị m vừa tìm được.
2. Cho hàm số: có đồ thị ().
	a) Tìm m để tiệm cận xiên của () đi qua điểm .
	b) Tìm m để tiệm cận xiên của () tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8.
3. Biện luận theo tham số m các đường tiệm cận của các hàm số sau:
	a) 	b) 
4. Tìm m để hàm số:
	a) giảm trên R.	b) tăng trên R.
	c) giảm trên TXĐ.	d) tăng .
	e) tăng trên R.	f) giảm trên TXĐ.
	g) giảm trên R.	h) giảm trên TXĐ.
	i) tăng trên .
5. Chứng minh rằng: hàm số tăng trên TXĐ.
6. Xác định m để hàm số:
	a) có cực trị.	b) có cực đại, cực tiểu.
	c) đạt cực trị tại x = 2.	d) đạt cực tiểu tại x = –2.
7. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau trên khảng đã cho:
	a) trên TXĐ, .	b) trên TXĐ, , .
	c) trên 	d) 
	e) 	f) trên 
	g) 	h) 
	i) 	j) 
	k) 	l) 
	m) trên , .	n) trên 
	o) trên 	p) trên R.
	q) trên 	r) trên 
	s) trên 	t) 
	u) treen 	v) trên 
8. Tùy theo giá trị của m tìm GTLN, GTNN của hàm số: trên đoạn .
9. Từ một tấm tôn hình vuông cạnh a. Người ta cắt bỏ bốn hình vuông ở bốn góc rồi làm thành một thùng không có nắp. Cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để cái thùng có thể tích lớn nhất. Biết .
10. Người ta dùng tấm tôn để làm một hình trụ tròn xoay có hai đáy với thể tích cho trước. Xác định bán kính đáy và chiều cao của hình trụ để tốn ít vật liệu nhất. Biết: .
11. Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm và
	a) đạt giá trị lớn nhất.	b) đạt giá trị nhỏ nhất.
12. Cho phương trình: .
	a) Tìm để phương trình có nghiệm.
	b) Giả sử phương trình có hai nghiệm . Tìm để biểu thức đạt 	GTLN, GTNN.
13. Cho và điểm . Xác định điểm sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất. Tìm khoảng cách ngắn nhất đó.
14. Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là nhỏ nhất.
15. Một chất điểm chuyển động theo phương trình: . Tính thời điểm t tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.
16. Tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a.
III/ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ
1. Biện luận số giao điểm của hai đường cong.
Cho hai họ đường cong và 
+ Điểm M khi và chỉ khi tọa độ của M là nghiệm của hệ 
+ Phương trình hoành độ giao điểm (phương trình tương giao): (*)
	Số nghiệm của (*) là số giao điểm của và .
+ tiếp xúc với (Điều kiện tiếp xúc)
Bài toán: Biện luận phương trình bằng đồ thị.
	Biến đổi phương trình về dạng: (1), (2), (3)
	(đường thẳng quay quanh điểm )
	Biện luận theo đồ thị.
VD 59
VD 60
VD 61
2. Tiếp tuyến.
Ø Tiếp tuyến tại điểm A(xo;yo) có phương trình: , với 
Ø Điều kiện tiếp xúc:	
Bài toán 1. Tiếp tuyến với hệ số góc k
	Cách 1:	+ Ta có xo vào yo 04
	+ Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm (xo;yo)
	Cách 2:	+ Pt đt có hệ số góc k: ()
	+ Dùng điều kiện tiếp xúc “hệ có nghệm” để suy ra b.
	+ Thay b vào () ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
	Chú ý: Hai đt song song k1 = k2, hai đt vuông góc k1.k2 = –1 (hay k1 = – 1/k2)
VD 62: Cho hàm số (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến:
	a) Có hoành độ tiếp điểm là: 	b) Có tung độ tiếp điểm là: 
	c) Có hệ số góc 	d) Song song với đường thẳng 
	e) Vuông góc với đường thẳng 	f) Đi qua điểm 
Bài toán 2. Tiếp tuyến đi qua điểm 
	Cách 1:	+ Pt đt qua điểm có dạng: (d)
	+ Nếu (d) là tiếp tuyến của (C) hệ có nghiệm
	+ Giải hệ tìm xB k rồi thay vào (d) ta được tiếp tuyến cần tìm.
	Cách 2:	+ Gọi M(xo;yo) là tiếp điểm phương trình tiếp tuyến: (d’)
	+ (d’) qua B nên xo
	+ Viết phương trình tiếp tuyến tại xo (hoặc thay vào (d’) ta được tiếp tuyến cần tìm.
VD 63: Cho hàm số 	(C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến:
	a) Có tiếp điểm là điểm uốn của (C)	b) Vuông góc với đường thẳng 
	c) Đi qua điểm 	d) Có tiếp điểm là giao của (C) với 
VD 64: Cho hàm số 	(C). Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến:
	a) Có tung độ tiếp điểm là 	b) Song song với đường thẳng 
	c) Đi qua điểm 	d) Có tiếp điểm là giao của (C) với 
VD 65: Cho hàm số 	(C)
	a) Tìm trên (C) các điểm mà tiếp