Khảo sát hàm số và ứng dụng trong các kỳ thi tuyển sinh đại học (đề chính thức)

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 -
Khảo sát hàm số và ứng dụng trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức) 
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2013 
Cho hàm số  3 23 3 1 1y x x mx     với m là tham số thực 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0 
b. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng  0;  
Hướng dẫn giải 
Ta có : 2' 3 6 3y x x m    
Hàm số (1) nghịch biến trên khoảng  0;  khi và chỉ khi ' 0,y  với mọi x > 0 
Điều này tương đương 2 2 ,m x x  với mọi x > 0 
Xét hàm số   2 2f x x x  với mọi x > 0. Ta có:    ' 2 2; ' 0 1f x x f x x     
Bảng biến thiên 
Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi 1m   
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2013 
Cho hàm số    3 22 3 1 6 1y x m x mx    với m là tham số thực 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1 
b. Tim m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc 
với đường thẳng 2y x  
Hướng dẫn giải 
Ta có :  2
1
' 6 6 1 6 ; ' 0
x
y x m x m y
x m

       
Vậy điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là 1m  
Ta có:    3 21;3 1 , ; 3A m B m m m   Hệ số góc của đường thẳng AB là  21k m   
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng 2y x  khi và chỉ khi 1k  
0
2
m
m

  
Vậy giá trị m cần tìm là m = 0 hoặc m = 2 
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2013 
Cho hàm số    3 22 3 1 1 1y x mx m x     với m là tham số thực 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 
b. Tìm m để đường thẳng 1y x   cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt 
Hướng dẫn giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) với đường thẳng 1y x   là 
 
 
3 2
2
0
2 3 1 1 1
2 3 0 *
x
x mx m x x
x mx m

        
  
Yêu câu bài toán tương đương với phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
2 09 8 0
8
0
9
m
m m
mm

      
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 -
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng-2013 
Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 
b. Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các trục tọa dộ 
Ox và Oy lần lượt tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB 
Hướng dẫn giải 
Gọi M là điểm thuộc (C) có tung độ bằng 5, suy ra 
     
2 1
;5 5 2 2;5
1
m
M m C m M
m

     

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là     ' 2 2 5 : 3 11y y x d y x       
Do đó: d cắt trục Ox tại 
11
;0
3
A
 
 
 
, cắt trục Oy tại  0;11B . 
Diện tích tam giác OAB là 
1 1 11 121
. . .11
2 2 3 6
S OAOB   
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2012 
Cho hàm số    4 2 22 1 1y x m x m    , với m là tham số thực 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =0 
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông 
Hướng dẫn giải 
Ta có:    3 2' 4 4 1 4 1y x m x x x m      
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi 1 0 1m m     (*) 
Các điểm cực trị của đồ thị hàm số là      20; , 1; 2 1 , 1; 2 1A m B m m C m m       . 
Suy ra   21; 1AB m m    

 và   21; 1AC m m  

Ta có AB AC nên tam giác ABC vuông khi và chỉ khi . 0AB AC 
 
Tương đương    
4
1 1 0.m m    
Kết hợp với điều kiện (*), ta được giá trị m cần tìm là m=0 
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2012 
Cho hàm số  3 2 33 3 1y x mx m   , m là tham số thực 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích 
bằng 48 
Hướng dẫn giải 
Ta có: 2
0
' 3 6 ; ' 0
2
x
y x mx y
x m

     
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi 0m  (*) 
Các điểm cực trị của đồ thị là  30;3A m và  32 ;B m m 
Suy ra 32OA m và   ; 2d B OA m 
Vậy 4 448 3 48 16 2OABS m m m         (thỏa mãn) 
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 -
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012 
Cho hàm số    3 2 22 22 3 1 1
3 3
y x mx m     , m là tham số thực 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 
b. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị 1x và 2x sao cho  1 2 1 22 1x x x x   
Hướng dẫn giải 
Ta có:  2 2' 2 2 2 3 1y x mx m    
Đồ thị có hai điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình ' 0y  
có hai nghiệm phân biệt điều này tương đương 2
2 1 3
3
1 3 4 0
2 1 3
3
m
m
m


  

 

Ta có: 
1 2
2
1 2. 1 3
x x m
x x m
 

 
, do đó   21 2 1 2
0
2 1 1 3 2 1 2
3
m
x x x x m m
m

       
 

So sánh điều kiện ta được 
2
3
m  
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng -2012 
Cho hàm số  
2 3
1
1
x
y
x



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) 
b. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (1) biết rằng d vuông góc với đường 
thẳng 2y x  
Hướng dẫn giải 
+ (d) vuông góc với đường thẳng 2y x  nên đường thẳng d có hệ số góc bằng -1 
Hoành độ tiếp điểm là 0x :  
 
0
0 2
0
01
' 1 1
21o
x
y x
xx

         
Với 0 0 :x  phương trình tiếp tuyến d là 3y x   
Với 0 2 :x   Phương trình tiếp tuyến d là 1y x   
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 -
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2011 
Cho hàm số 
1
2 1
x
y
x
 


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 
b. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng   :d y x m  luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm 
phân biệt A và B. Gọi 1 2,k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm 
m để tổng 1 2k k đạt giá trị lớn nhất 
Hướng dẫn giải 
Hoành độ giao điểm của   :d y x m  và (C) là nghiệm của phương trình 
  
1
2 1 1
2 1
x
x m x m x x
x
 
       

(Do 
1
2
x  không phải là nghiệm của phương trình) 
 22 2 1 0 *x mx m     
2' 2 2 0,m m m      . 
Suy ta đường thẳng d luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m 
Gọi 1x và 2x là hai nghiệm của (*), khi đó ta có 
   
   
  
2
1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
4 8 4 21 1
2 1 2 1 4 2 1
x x x x x x
k k
x x x x x x
    
     
    
Theo định lý Viet ta suy ra  
22
1 2 4 8 6 4 1 2k k m m m          
Suy ra 1 2k k lớn nhất bằng – 2 , khi và chỉ khi m = -1 
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2011 
Cho hàm số    4 22 1 1y x m x m    , m là tham số 
a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 
b.Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba cực trị A, B,C sao cho ;OA BC trong đó O là gốc tọa 
độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại 
Hướng dẫn giải 
 Ta có:        
 
3 2
2
0
' 4 4 1 4 1 ; ' 0
1 1
x
y x x m x x x m y x
x m

        
 
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi : (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
Điều này tương đương 1m   (*) 
Khi đó:    20; , 1; 1A m B m m m     và  21; 1C m m m    . 
Suy ra  2 24 1 4 4 0 2 2 2;OA BC m m m m m           thỏa mãn (*). 
Vậy giá trị m cần tìm là 
2 2 2
2 2 2
m
m
  

 
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 -
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2011 
Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 
b. Tìm k để đường thẳng 2 1y kx k   cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 
khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. 
Hướng dẫn giải 
Gọi   : 2 1,d y kx k   suy ra hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và đồ thị (C) là 
nghiệm của phương trình 
      2
2 1
2 1 2 1 1 2 1 3 1 2 0 1
1
x
kx k x x kx k kx k x k
x

             

Đường thẳng (d) và đồ thị (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi phương 
trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
Điều này tương đương 
2
0
00
3 2 2
0 6 1 0
3 2 2
k
kk
k
k k
k

  
     
       
 
 (*) 
Khi đó:  1 1; 2 1A x kx k  và  2 2; 2 1B x kx k  trong đó 1x và 2x là hai nghiệm của phương trình (1) 
Ta có :        1 2 1 2 1 2,Ox , 2 1 2 1 4 2 0d A d B Ox kx k kx k k x x k do x x             
Áp dụng định lý Viet đối với phương trình (1) ta suy ra  1 3 4 2 0 3k k k       
thỏa mãn điều kiện (*) 
Vậy giá trị k cần tìm là k= - 3 
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A-2011 
Cho hàm số 3 2
1
2 3 1
3
y x x x     
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. 
Hướng dẫn giải 
Tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với trục tung là  0;1 
Hệ số góc của tiếp tuyến là  ' 0 3k y   
Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm với trục tung là 3 1y x   
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 -
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2010 
Cho hàm số    3 22 1 1y x x m m     với m là tham số thực 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C khi 1m  
b. Xác định m để đồ thị hàm số  1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 
1 2 3; ;x x x thỏa mãn điều kiện 
2 2 2
1 2 3 4x x x   
Hướng dẫn giải 
Phương trình hoành độ giao điểm là: 
    
 
3 2 2
2
1
2 1 0 1 0
0 *
x
x x m m x x x m
x x m

           
  
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai 
nghiệm phân biệt khác 1. 
Ký hiệu   2 1; 1g x x x m x    , 2x và 3x là hai nghiệm của phương trình (*) 
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi  
2 2
2 3
0 1 4 0 1
4
1 0 0 4
01 2 33
m
m
g m
mmx x
    
    
      
      
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010 
Cho hàm số 
2 1
1
x
y
x



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C 
b. Xác định m để đường thẳng 2y x m   cắt đồ thị hàm số  C tại hai điểm phân biệt A,B 
sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 (với O là gốc tọa độ) 
Hướng dẫn giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là 
        2
2 1
2 2 1 1 2 2 4 1 0 1
1
x
x m x x x m x m x m
x

              

Ta có: 2 8 0,m    với mọi gía trị m, suy ra đường thẳng 2y x m   luôn cắt đồ thị (C) 
tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m. 
Gọi  1 1;A x y và  2 2;B x y trong đó 1x , 2x là các nghiệm của phương trình (1); 
1 1 2 22 ; 2y x m y x m      
Ta có:  ;
5
m
d O AB  và      
 22 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
5 8
5 20
2
m
AB x x y y x x x x

        
 
2 28 81
. ; 3 2
2 4 4
OAB
m m m m
S AB d O AB m
 
       
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 7 -
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2010 
Cho hàm số 4 2 6y x x    
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C 
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C , biết rằng tiếp tuyến vuông góc với 
đường thẳng 
1
1
6
y x  
Hướng dẫn giải 
Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
1
1
6
y x  nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 6. 
Do đó, hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình 34 2 6 1x x x      , suy ra tọa độ 
của tiếp điểm là  1;4 
Vậy phương trình tiếp tuyến là  6 1 4 6 10y x y x        
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao Đẳng -2010 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 23 1y x x   
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ bằng - 1 
Hướng dẫn giải 
Tung độ của tiếp điểm là  1 1y   
Hệ số góc của tiếp tuyến là  ' 1 3k y    
Phương trình tiếp tuyến là  1 1 3 2y k x y x       
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2009 
Cho hàm số  
2
1
2 3
x
y
x



a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 , biết rằng tiếp tuyến đó cắt trục 
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O 
Hướng dẫn giải 
Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là 1 
Gọi tọa độ của tiếp điểm là  0 0;x y , ta có  
0
00
21
1
12 3
x
xx
 
   
  
Với 0 01, 1x y    : Phương trình tiếp tuyến là y x  (loại) 
Với 0 02, 0x y   : Phương trình tiếp tuyến là 2y x   (thỏa mãn) 
Vậy tiếp tuyến cần tìm là 2y x   
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 8 -
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2009 
 Cho hàm số  4 22 4 1y x x  
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 
b. Với giá trị nào của tham số m, phương trình 2 2 2x x m  có 6 nghiệm thực phân biệt ? 
Hướng dẫn giải 
Ta có biến đổi: 
2 2 4 22 2 4 2x x m x x m     
Phương trình có 6 nghiệm thực phân biệt khi 
và chỉ khi đường thẳng 2,y  cắt đồ thị hàm 
số 4 22 4y x x  tại 6 điểm phân biệt 
Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị hàm số 
4 22 4y x x  là 
Dựa vào đồ thị, yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi 0 2 2 0 1m m     
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2009 
 Cho hàm số  4 23 2 3y x m x m    có đồ thị là  mC , m là tham số 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  C khi 0m  
b. Xác định m để đường thẳng 1y   cắt đồ thị hàm số  mC tại 4 điểm phân biệt có hoành 
độ nhỏ hơn 2 
Hướng dẫn giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị  mC và đường thẳng 1y   là 
 4 23 2 3 1x m x m     
Đặt 2 , 0t x t  , phương trình trở thành:  2
1
3 2 3 1 0
3 1
t
t m t m
t m

        
Yêu cầu bài toán tương đương 
0 3 1 4 1
1, 0
3 1 1 3
m
m m
m
  
    
 
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 9 -
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng -2009 
 Cho hàm số      3 22 1 2 2 1y x m x m x      
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m= 2 
b. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị 
hàm số có hoành độ dương 
Hướng dẫn giải 
Ta có :  2' 3 2 2 1 2y x m x m     
Giá trị của m thỏa mãn yêu cần bài toán khi và chỉ khi phương trình 
' 0y  có hai nghiệm phân biệt dương. Điều này tương đương 
   
 
2
' 2 1 3 2 0
2 2 1 5
0 2
3 4
2
0
3
m m
m
S m
m
P

     


    


 
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2008 
 Cho hàm số 
 
 
2 23 2 2
1 ,
3
mx m x
y
x m
  


 với m là tham số thực. 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 khi 1m  
b. Xác định giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số  1 
bằng 045 . 
Hướng dẫn giải 
Ta có biến đổi: 
 2 23 2 2 6 2
2
3 3
mx m x m
mx
x m x m
   
  
 
+ Khi 
1
3
m  thì đồ thị hàm số không tồn tại hai đường tiệm cận 
+ Khi 
1
3
m  đồ thị hàm số có hai tiệm cận: 
1 2: 3 3 0, 2 2 0d x m x m d mx mx y           
Vector pháp tuyến của 1d và 2d lần lượt là    1 21;0 , ; 1n n m 
 
Góc giữa hai đường thẳng 1d và 2d bằng 
045 khi và chỉ khi 
1 2
0
2
1 2
. 2
cos 45 1
21
n n m
m
mn n
     

 
  
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2008 
Cho hàm số  3 24 6 1 1y x x   
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 10 - 
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 , biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm 
 1; 9M   . 
Hướng dẫn giải 
Đường thẳng  với hệ số góc k và đi qua điểm  1; 9M   có phương trình 9y kx k   
 là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm 
 3 2
2
4 6 1 1 9
12 12
x x k x
x x k
     

 
Thay k vào phương trình trên ta được 
      23 2 2
1
4 6 1 12 12 1 9 1 4 5 0 5
4
x
x x x x x x x
x
 
          
 

Với 1x   thì k = 24, phương trình tiếp tuyến là 24 15y x  
Với 
5
4
x  thì 
15
4
k  , phương trình tiếp tuyến là 
15 21
4 4
y x  
Vậy các tiếp tuyến cần tìm là 24 15y x  và 
15 21
4 4
y x  
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2009 
 Cho hàm số  3 23 4 1y x x   
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đia qua điểm  1;2I với hệ số góc  3k k   đều cắt 
đồ thị hàm số  1 tại ba điểm phân biệt I,A,B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. 
Hướng dẫn giải 
Gọi (C) là đồ thị của hàm số (1), ta thấy  1;2I thuộc (C). Đường thẳng d đi qua  1;2I với 
hệ số góc k 3k   có phương trình 2y kx k   
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng d là nghiệm của phương trình 
   
   
3 2 2
2
1
3 4 2 1 2 2 0
2 2 0 *
x
x x kx k x x x k
x x k

                  
Do 3k   nên phương trình (*) có biệt thức ' 3 0k    và x= 1 không phải là nghiệm của 
phương trình (*) 
Suy ra đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt      ; , ; , ;I I A A B BI x y A x y B x y 
với ;A Bx x là hai nghiệm của phương trình (*) 
Vì 2 2A B Ix x x   và I,A,B cùng thuộc đường thẳng d nên I là trung điểm của đoạn thẳng 
AB. (đccm) 
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A-2008 
 Cho hàm số 
1
x
y
x


a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) 
b. Tìm m để đường thẳng   :d y x m   cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt 
Hướng dẫn giải 
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là 
 2 0 1
1
x
x m x mx m
x
      

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932 
  E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 11 - 
Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương 
trình (1) có hai nghiệm phân biệt 
Điều kiện là 2
4
4 0
0
m
m m
m

      
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2007 
 Cho hàm số 
 
 
2 22 1 4
1
2
x m x m m
y
x
   


, với m là tham số. 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1 khi 1m   
b. Xác định m để hàm số  1 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị 
hàm số cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O. 
Hướng dẫn giải 
Ta có 
 
2 2
2
4 4
'
2
x x m
y
x
  


Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi   2 24 4g x x x m    có hai nghiệm phân 
biệt 2x  . Điều này tương đương 
 
2
2
' 4 4 0
0
2 4 8 4 0
m
m
g m
    
 
     
Gọi A và B là hai điểm cực trị    2 ; 2 , 2 ;4 2A m B m m      
Do    2; 2 0, 2;4 2 0OA m OB m m       
   
 nên ba điểm O,A,B tạo thành tam giác vuông 
tại O khi và chỉ khi 2. 0 8 8 0 4 2 6OAOB m m m         
 
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2007 
 Cho hàm số  3 2 2 23 3 1 3 1y x x m x m         mC , với m là tham số 
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số  1C khi m 1m  
b. Xác định m để hàm số  mC có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số 
 mC cách đều góc tọa độ O. 
Hướng dẫn giải 
Ta có:    2 2 2 2' 3 6 3 1 , ' 0 2 1 0 2y x x m y x x m           
Hàm số (1) có cực trị khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt điều này 
tương đương