IMO 2015 Shortlist - Nguyễn Trung Tuân

ht
tp
:/
/w
w
w.
m
ol
ym
pi
ad
.b
lo
gs
po
t.c
om
IMO 2015 Shortlist
Nguyễn Trung Tuân
Ngày 2 tháng 9 năm 2016
Tóm tắt nội dung
Trong tài liệu này tôi sẽ dịch các bài toán từ IMO 2015 Shortlist.
Mục lục
1 Đại số 2
2 Tổ hợp 3
3 Hình học 5
4 Lý thuyết số 7
1
ht
tp
:/
/w
w
w.
m
ol
ym
pi
ad
.b
lo
gs
po
t.c
om
IMO 2015 Shortlist Nguyễn Trung Tuân
1 Đại số
A1. Dãy a1, a2, . . . các số thực dương thỏa mãn
ak+1 ≥ kak
a2k + (k − 1)
với mọi số nguyên dương k. Chứng minh rằng a1 +a2 + . . .+an ≥ n với mọi
n ≥ 2.
A2. Tìm tất cả các hàm f : Z→ Z sao cho
f(x− f(y)) = f(f(x))− f(y)− 1 ∀x, y ∈ Z.
A3. Cho số nguyên dương n. Tìm giá trị lớn nhất của∑
1≤r<s≤2n
(s− r − n)xrxs,
ở đây −1 ≤ xi ≤ 1 với mỗi i = 1, · · · 2n.
A4. Tìm tất cả các hàm f : R→ R sao cho
f(x+ f(x+ y)) + f(xy) = x+ f(x+ y) + yf(x) ∀x, y ∈ R.
A5. Kí hiệu 2Z+1 là tập các số nguyên lẻ. Tìm tất cả các hàm f : Z→ 2Z+1
sao cho
f(x+ f(x) + y) + f(x− f(x)− y) = f(x+ y) + f(x− y) ∀x, y ∈ Z.
A6. Cho số nguyên n ≥ 2. Ta nói hai đa thức P , Q với hệ số nguyên là đồng
dạng khối nếu với mỗi i ∈ {1, 2, . . . , n}, hai dãy
P (2015i), P (2015i− 1), . . . , P (2015i− 2014)
và
Q(2015i), Q(2015i− 1), . . . , Q(2015i− 2014)
là hoán vị của nhau.
(a) Chứng minh rằng tồn tại hai đa thức đồng dạng khối, khác nhau và có
bậc n+ 1;
(b) Chứng minh rằng không tồn tại hai đa thức đồng dạng khối, khác nhau
và có bậc n.
2
ht
tp
:/
/w
w
w.
m
ol
ym
pi
ad
.b
lo
gs
po
t.c
om
IMO 2015 Shortlist Nguyễn Trung Tuân
2 Tổ hợp
C1. Ở Lineland có n ≥ 1 thị trấn, được sắp xếp dọc một con đường từ trái
sang phải. Mỗi thị trấn có một xe ủi trái (đặt bên trái của thị trấn và hướng
sang trái) và một xe ủi phải (đặt bên phải của thị trấn và hướng sang phải).
Kích thước của 2n xe ủi là đôi một khác nhau. Tại mỗi thời điểm khi một
xe ủi trái đối diện một xe ủi phải, xe lớn hơn sẽ đẩy xe nhỏ hơn ra khỏi
đường. Mặt khác, các xe ủi sẽ không được bảo vệ đằng sau; vì vậy, nếu một
xe ủi húc vào đuôi của xe khác thì nó sẽ đẩy xe bị húc ra khỏi đường. Cho
A và B là hai thị trấn, với B nằm bên phải A. Ta nói A có thể quét B biến
mất nếu xe ủi phải của A có thể di chuyển đến B và đẩy tất cả xe ủi mà
nó gặp ra khỏi đường. Tương tự, B có thể quét A biến mất nếu xe ủi trái
của B có thể di chuyển tới A và đẩy tất cả xe ủi mà nó gặp ra khỏi đường.
Chứng minh rằng có đúng một thị trấn không bị quét biến mất bởi mỗi thì
trấn còn lại.
C2. Ta nói tập hữu hạn S các điểm trong mặt phẳng là cân bằng nếu
với mỗi hai điểm khác nhau A và B trong S, tồn tại C trong S sao cho
AC = BC. Ta nói S là không tâm nếu với mỗi ba điểm phân biệt A, B và
C của S, không tồn tại P trong S sao cho PA = PB = PC.
(a) Chứng minh rằng với mỗi n ≥ 3, tồn tại tập cân bằng chứa n điểm.
(b) Xác định tất cả n ≥ 3 sao cho tồn tại tập cân bằng và không tâm chứa
n điểm.
C3. Với tập hữu hạn các số nguyên dương A, một phân hoạch của A thành
hai tập con khác rỗng A1, A2 được gọi là tốt nếu bội chung nhỏ nhất của các
phần tử trong A1 bằng ước chung lớn nhất của các phần tử trong A2. Tìm
số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại tập gồm n số nguyên dương với
đúng 2015 phân hoạch tốt.
C4. Cho số nguyên dương n. Hai người chơi A và B chơi một trò chơi
chọn các số nguyên dương k ≤ n. Luật chơi là:
(i) Người chơi không được chọn số đã được chọn ở các bước trước.
(ii) Người chơi không được chọn số liên tiếp với các số đã được người đó
chọn ở các bước trước.
(iii) Trò chơi sẽ kết thúc với kết quả hòa nếu không còn số nào để chọn;
trong trường hợp còn lại, ai không chọn được sẽ thua.
A đi trước. Xác định kết quả của trò chơi, giả sử rằng cả hai cùng chơi giỏi.
C5. Cho dãy các số nguyên a1, a2, . . . thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
(i) 1 ≤ aj ≤ 2015 với mỗi j ≥ 1,
(ii) k + ak 6= `+ a` với mỗi 1 ≤ k < `.
3
ht
tp
:/
/w
w
w.
m
ol
ym
pi
ad
.b
lo
gs
po
t.c
om
IMO 2015 Shortlist Nguyễn Trung Tuân
Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên dương b và N sao cho∣∣∣∣∣∣
n∑
j=m+1
(aj − b)
∣∣∣∣∣∣ ≤ 10072
với mỗi hai số m và n thỏa mãn n > m ≥ N .
C6. Cho S là tập khác rỗng các số nguyên dương. Một số nguyên dương
được gọi là dọn dẹp nếu nó có thể biểu diễn duy nhất thành tổng của một số
lẻ các phần tử khác nhau của S. Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên
dương không dọn dẹp.
C7. Trong một công ty có một số cặp là kẻ thù của nhau. Một nhóm người
được gọi là không ưa giao tiếp nếu số thành viên trong nhóm là số lẻ lớn hơn
1, và có thể sắp xếp tất cả các thành viên của nhóm xung quanh một bàn
tròn sao cho mỗi cặp ngồi cạnh nhau đều là kẻ thù của nhau. Biết có nhiều
nhất 2015 nhóm không ưa giao tiếp, chứng minh rằng có thể chia công ty
thành 11 phần sao cho trong mỗi phần không có hai người nào là kẻ thù của
nhau.
4
ht
tp
:/
/w
w
w.
m
ol
ym
pi
ad
.b
lo
gs
po
t.c
om
IMO 2015 Shortlist Nguyễn Trung Tuân
3 Hình học
G1. Cho tam giác nhọn ABC với trực tâm H. Gọi G là điểm sao cho ABGH
là một hình bình hành. Gọi I là điểm trên đường thẳng GH sao cho AC
chia đôi HI. Giả sử đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
GCI tại C và J . Chứng minh IJ = AH.
G2. Tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp Ω và tâm đường tròn ngoại
tiếp O. Một đường tròn Γ tâm A cắt đoạn BC tại D và E sao cho B, D,
E, và C khác nhau và nằm trên BC theo thứ tự này. Cho F và G là giao
điểm của Γ và Ω sao cho A, F , B, C, và G nằm trên Ω theo thứ tự này. Gọi
K là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDF và đoạn
AB. Gọi L là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác CGE và
đoạn CA. Giả sử FK và GL cắt nhau tại X. Chứng minh rằng X thuộc AO.
G3. Cho tam giác ABC với ∠C = 90◦, và H là chân đường cao qua C.
Chọn điểm D bên trong tam giác CBH sao cho CH chia đôi AD. Gọi P là
giao điểm của hai đường thẳng BD và CH. Gọi ω là nửa đường tròn đường
kính BD cắt đoạn CB tại một điểm nằm trong. Một đường thẳng qua P
tiếp xúc với ω tại Q. Chứng minh CQ và AD cắt nhau trên ω.
G4. Cho tam giác nhọn ABC và M là trung điểm của AC. Một đường
tròn ω qua B và M cắt các cạnh AB và BC lần lượt tại P và Q. Gọi T là
điểm sao cho BPTQ là một hình bình hành. Giả sử rằng T nằm trên đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính
BT
BM
.
G5. Cho tam giác ABC với CA 6= CB. Gọi D, F , và G lần lượt là trung
điểm của AB, AC, và BC. Một đường tròn Γ qua C và tiếp xúc với AB
tại D cắt đoạn AF và đoạn BG lần lượt tại H và I. Các điểm H ′ và I ′ đối
xứng với H và I qua F và G, tương ứng. Đường thẳng H ′I ′ cắt CD và FG
lần lượt tại Q và M . Đường thẳng CM cắt Γ lần hai tại P . Chứng minh
CQ = QP .
G6. Cho tam giác nhọn ABC với AB > AC. Gọi Γ là đường tròn ngoại
tiếp, H là trực tâm, và F là chân đường cao qua A của tam giác ABC. Gọi
M là trung điểm của BC. Gọi Q là điểm trên Γ sao cho ∠HQA = 90◦ và K
là điểm trên Γ sao cho ∠HKQ = 90◦. Giả sử rằng A, B, C, K và Q khác
nhau và nằm trên Γ theo thứ tự này. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp
tam giác KQH tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác FKM .
G7. Cho ABCD là một tứ giác lồi, và P , Q, R, S là các điểm nằm trên các
cạnh AB, BC, CD, DA, tương ứng. Cho các đoạn PR, QS cắt nhau tại O.
Giả sử mỗi tứ giác APOS, BQOP , CROQ, DSOR là tứ giác ngoại tiếp.
5
ht
tp
:/
/w
w
w.
m
ol
ym
pi
ad
.b
lo
gs
po
t.c
om
IMO 2015 Shortlist Nguyễn Trung Tuân
Chứng minh AC, PQ, RS đồng quy hoặc song song đôi một.
G8. Một tam giác hóa của một đa giác lồi Π là một phân hoạch của Π
thành các tam giác bởi các đường chéo không có điểm trong chung. Ta nói
một tam giác hóa là một tam giác hóa Thái Lan nếu tất cả các tam giác
có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng mỗi hai tam giác hóa Thái Lan
phân biệt của một đa giác lồi Π khác nhau đúng hai tam giác.
6
ht
tp
:/
/w
w
w.
m
ol
ym
pi
ad
.b
lo
gs
po
t.c
om
IMO 2015 Shortlist Nguyễn Trung Tuân
4 Lý thuyết số
N1. Tìm tất cả các số nguyên dương M sao cho dãy a0, a1, a2, · · · xác định
bởi a0 = M +
1
2
và ak+1 = akbakc với k = 0, 1, 2, · · · chứa ít nhất một số
nguyên.
N2. Cho các số nguyên dương a và b sao cho a! + b! chia hết a!b!. Chứng
minh 3a ≥ 2b+ 2.
N3. Cho m và n là các số nguyên dương sao cho m > n. Định nghĩa
xk =
m+ k
n+ k
với k = 1, 2, . . . , n + 1. Chứng minh rằng nếu x1, x2, . . . , xn+1
là các số nguyên thì x1x2 . . . xn+1 − 1 chia hết cho một số nguyên tố lẻ.
N4. Cho a0, a1, · · · và b0, b1, · · · là hai dãy các số nguyên dương thỏa mãn
a0, b0 ≥ 2 và
an+1 = gcd (an, bn) + 1, bn+1 = lcm (an, bn)− 1.
Chứng minh dãy an là hằng kể từ lúc nào đó.
N5. Tìm tất cả các bộ ba (a, b, c) các số nguyên dương sao cho
ab− c, bc− a, ca− b
là các lũy thừa của 2.
N6. Cho Z>0 là tập các số nguyên dương. Xét hàm số f : Z>0 → Z>0.
Với mỗi m,n ∈ Z>0 ta viết fn(m) = f(f(. . . f︸ ︷︷ ︸
n
(m) . . .)). Biết f có các tính
chất:
(i) Nếu m,n ∈ Z>0 thì f
n(m)−m
n ∈ Z>0;
(ii) Tập Z>0 \ {f(n) | n ∈ Z>0} là hữu hạn.
Chứng minh rằng dãy f(1)− 1, f(2)− 2, f(3)− 3, . . . là dãy tuần hoàn.
N7. Cho Z>0 là tập các số nguyên dương. Với mỗi số nguyên dương k, một
hàm số f : Z>0 → Z>0 được gọi là k-tốt nếu gcd(f(m) + n, f(n) + m) ≤ k
với mỗi m 6= n. Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho tồn tại hàm k-tốt.
N8. Với mỗi số nguyên dương n với phân tích nguyên tố n =
k∏
i=1
pαii , định
nghĩa
0(n) =
∑
i: pi>10100
αi.
7
ht
tp
:/
/w
w
w.
m
ol
ym
pi
ad
.b
lo
gs
po
t.c
om
IMO 2015 Shortlist Nguyễn Trung Tuân
Tìm tất cả các hàm tăng ngặt f : Z→ Z sao cho
0(f(a)− f(b)) ≤ 0(a− b)
với mỗi hai số nguyên a > b.
Nguyễn Trung Tuân
Email: tuan.nguyentrung@gmail.com
Điện thoại: 0984995888
8