Hướng dẫn ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chương trình học kỳ 1

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
 HƯỚNG DẪN ÔN TẬP MÔN TOÁN 
 LỚP: 9 - HỌC KÌ I 
A. LÝ THUYẾT: 
 I. Đại số: - Các kiến thức về căn bậc hai, căn bậc ba: định nghĩa, tính chất, hằng đẳng thức,.. 
 - Hàm số bậc nhất: định nghĩa và tính chất 
 - Đồ thị của hàm số y = ax + b 
 - Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau. 
 - Hệ số góc của đường thẳng. 
 II. Hình học: - Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. 
- Tỉ số lượng giác của góc nhọn. 
- Các công thức lượng giác. 
- Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông. 
- Các kiến thức về đường tròn: đường kính và dây, dây và khoảng cách đến 
tâm, các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, của hai đường 
tròn, tính chất tiếp tuyến 
B. BÀI TẬP: 
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. 
a) Hãy viết hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh 
huyền 
b) Tính AH biết BH = 4cm; HC = 9cm 
Bài 2: 
a) Tính: 20 45 3 80  
b) Tìm x để 2 1x  có nghĩa? 
Bài 3: 
 a) Tính: ( 12 2 27 3 3) 3  
 b) Tính: 20 45 3 18 72   
 c) Tìm x biết:  
2
2 1 3x   
Bài 4: Cho biểu thức: 1 . 1
1 1
x x x x
A
x x
    
            
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A. 
b) Rút gọn A. 
c) Tìm giá trị lớn nhất của A. 
Bài 5: Cho biểu thức: 
x 1 x 2 x 1
A
x 1 x 1
  
 
 
 với x 0, x 1  
a) Rút gọn biểu thức A. 
 b) Tìm x để A có giá trị bằng 6. 
B i 6: Cho biểu thức: 2 2
1 1
a a a a
P
a a
   
         
a) Tìm điều kiện xác định của P. 
b) Rút gọn biểu thức P 
c) ới giá trị nào của a thì P có giá trị bằng
2 1
1 2


. 
Bài 7: 
 Cho biểu thức: P = )1(3
42
8
x
xx
xx



 , với x  0 
a) Rút gọn biểu thức P. 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
b) Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q = 
P
P
1
2
 nhận giá trị nguyên. 
Bài 8: 
 Cho biểu thức: P(x) = 
2 1
. 1
1 1
x x x x
x x
   
    
 , với x  0 và x  1 
a) Rút gọn biểu thức P(x). 
b) Tìm x để: 2x2 + P(x)  0 
B i 9: Cho hàm số y = -2x + 3. 
a) đồ thị của hàm số trên. 
b) Gọi A và B là giao điểm của đồ thị với các tr c tọa độ.Tính diện tích tam giác OAB ( với O là 
gốc tọa độ và đơn vị trên các tr c tọa độ là centimet ). 
c) Tính góc tạo b i đường thẳng y = -2x + .với tr c Ox. 
Bài 10: Cho hai hàm số: 1y x  và 3y x   
a) đồ thị hai hàm số trên cùng hệ tr c toạ độ Oxy. 
b) Bằng đồ thi xác định toạ độ giao điểm A của hai đường thẳng trên. 
c) Tìm giá trị của m để đường thẳng ( 1)y mx m   đồng qui với hai đường thẳng trên. 
Bài 11: Cho hàm số y = (4 – 2a)x + 3 – a (1) 
a) Tìm các giá trị của a để hàm số (1) đồng biến. 
b) Tìm a để đồ thị của hàm số ( ) song song với đường thẳng y = x – 2. 
c) đồ thị của hàm số ( ) khi a = 
Bài 12: iết phương trình của đường thằng (d) có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm M(2;-1) 
Bài 13: Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m + 1 (*) 
a) ới giá trị nào của m thì hàm số đồng biến. 
b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 2x – 1. 
Bài 14: a) Trên cùng hệ tr c tọa độ v đồ thị của các hàm số sau: 
 (d1): y = x + 2 và (d2) : y = –2x + 5 
 b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) bằng phép tính.. 
 c) Tính góc tạo b i đường thẳng (d1) với tr c Ox. 
Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết 9 ; 12AB cm AC cm  . 
a) Tính số đo góc B (làm tròn đến độ) và độ dài BH. 
b) Gọi E; F là hình chiếu của H trên AB; AC.Chứng minh: AE.AB = AF.AC. 
Bài 16: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R. đường tròn tâm K đường kính OB. 
a) Chứng tỏ hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc nhau. 
b) dây BD của đường tròn (O) ( BD khác đường kính), dây BD cắt đường tròn (K) tại 
M.Chứng minh: KM // OD 
Bài 17: Cho tam giác ABC vuông A có 060ABC  và 8AB cm .Kẻ đường cao AH 
(H thuộc cạnh BC). Tính AH; AC; BC. 
Bài 18: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi Ax; By là các tia vuông góc với AB.(Ax ; By và 
nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A 
và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax tại C và cắt By tại D. 
a) Chứng minh CD AC BD  và 090COD  
b) AD cắt BC tại N. Chứng minh: / /MN BD 
c) Tích AC.BD không đ i khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. 
 d) Gọi H là trung điểm của AM. Chứng minh: ba điểm O, H , C thẳng hàng. 
B i 17: 
 Cho hình vuông ABCD. Qua điểm A v một đường thẳng cắt cạnh BC tại E và cắt đường thẳng 
CD tại F. Chứng minh rằng: 
222
111
FA 




Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
---------Hết---------- 
 MÔN: TOÁN - LỚP: 9 
Bài HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU ĐIỂM 
Bài 1 a) AH
2
 = BH.CH 0,5 
b) AH
2
 = 4.9 = 36 => AH = 6 (cm) 0,5 
Bài 2 a) 
20 45 3 80
4.5 9.5 3 16.5
2 5 3 5 3.4 5
11 5
 
  
  

0,25 
0,25 
b) 2 1x  có nghĩa khi: 2x – 1  0  x 
1
2
 0,5 
Bài 3 a) ( 12 2 27 3 3) 3  = 6 + 2. 9 – 3.3 = 15 
a) 
20 45 3 18 72
4.5 9.5 3 9.2 36.2
2 5 3 5 9 2 6 2
5 15 2
  
   
   
  
 
2
2 1 3
2 1 3
2 1 3
2 1 3
2 4
2 2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
 
  
 
    

   

   
 ậy: tập nghiệm của phương trình là  2; 1S   
Bài 4 a) Điều kiện xác định của biểu thức A là 0 ; 1x x  
b) 
   
  
1 . 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
x x x x
A
x x
x x x x
x x
x x
x
    
            
   
    
   
  
  
 
c) 
0 0 1 1x x x       
Giá trị lớn nhất của A là khi x = 0 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
Bài 5 
a) 
2( x 1)( x 1) ( x 1)
A
x 1 x 1
  
 
 
 ( x 0, x 1  ) 
 = x 1 x 1   = 2( x 1) 
0,5 
0,5 
b) A = 6 2( x 1) 6   ( x 0, x 1  ) 
x 1 3   
x 2  x 4  (TMĐK) 
 ậy: A = 6 thì x = 4 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Bài 6 
a) Điều kiện:  0 01 0 1a aa a    
b) 2 2
1 1
a a a a
P
a a
   
         
( 1) ( 1)
2 2
1 1
(2 )(2 )
4
a a a a
a a
a a
a
   
         
  
 
c) 
22 1 ( 2 1) 2 1
1 2
2 1 4
5 2
P
a
a

    

   
  
Bài 7 
a) Rút gọn biểu thức P. 
P = )1(3
42
8
x
xx
xx



 , với x  0 
 = xxx 21332  
b)Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q = 
P
P
1
2
 nhận giá trị 
nguyên. 
Q = 
P
P
1
2
 = 2
121
)21(1
)21(2





xx
x
x
x
Q 1
1
 x
x
Bài 8 
a) Rút gọn biểu thức P. 
P = 
2 1
. 1
1 1
x x x x
x x
   
    
 , với x  0 và x  1 
 = 
2( 1) ( 1)
. 1 ( 1).( 1) 1
1 1
x x x
x x x
x x
  
         
b) 2x
2
 + P(x)  0 
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
22 1 0
(2 1)( 1) 0
1
2 1 0 2
1 0 1 1
1
22 1 0 1
21 0
1
x x
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x
   
   

                  
 
  
Kết hợp điều kiện, suy ra: 
1
0
2
x  
Bài 9 
Bài 2: 
 a) V đồ thị hàm số: 
x 0 1,5 
y = -2x+3 3 0 
 ( 0,25) (0,75) 
 b) 
1 3 9
.3.
2 2 4
OABS   
 c) Ta có : Tg ABO = 03:1,5 2 63 26'ABO   
 0 0 0180 63 26' 116 34'ABx    
 ậy: góc tạo b i đường thẳng y = -2x + với tr c Ox là 0116 34' 
Bài 10 
a) đồ thị của hai hàm số: 
x -1 0 
y = x +1 0 1 
x 0 3 
y=-x+3 3 0 
b) Nhìn trên đồ thị ta có tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là A( ; 2) 
c) Đường thẳng ( 1)y mx m   đồng qui với hai đường thẳng trên khi nó 
đi qua điểm A( ; 2). 
Ta có: 
2 .1 1
3
2
m m
m
  
 
 ậy: 
3
2
m  thì đường thẳng ( 1)y mx m   đồng qui với hai đường thẳng 
trên 
x
y
-1
y=x+1y=-x+3
Hide Luoi
1
2
3O 1
A
3
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
Bài 11 a) Hàm số ( ) đồng biến khi: 4 – 2a > 0 a < 2 0,5 
b) Đồ thị của hàm số ( ) song song với đường thẳng y = x – 2 khi: 
4 2 1
3 2
a
a
 

  
3 / 2
5
3 / 2
a
a
a

 

 
0,25 
0,25 
c) Khi a = ta có hàm số y = x + 2 0,25 
x 0 -2 
y = x + 2 2 0 
Bảng giá trị: 0,25 điểm 
 đúng đồ thị: 0,5 điểm 
0,25 
0,5 
Bài 12 iết phương trình của đường thằng (d) có hệ số góc bằng 7 và đi qua điểm 
M(2;-1) 
Bài 13 Cho hàm số y = (m – 2)x + 2m + 1 (*) 
a) ới giá trị nào của m thì hàm số đồng biến. 
b) Tìm m để đồ thị hàm số (*) song song với đường thẳng y = 2x – 1 
Bài 14 a) Trên cùng hệ tr c tọa độ v đồ thị của các hàm số sau: 
 (d1): y = x + 2 và (d2) : y = –2x + 5 
b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) bằng phép tính.. 
c) Tính góc tạo b i đường thẳng (d1) với tr c Ox. 
Bài 15 
E
F
CB
A
H
0,25 
a) Tính độ dài BH và số đo góc B (làm tròn đến độ). 
BC = 2 2 2 29 12 15AB AC    (cm) 0,25 
AB
2
 = BC.BH 
2 29
15
AB
BH
BC
   = 5,4 (cm) 0,25 
x
Y
y=x+2
B
A
-1
O
1
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
Tan B = 
12 4
9 3
AC
AB
     53
0
 0,25 
b) Chứng minh: AE.AB = AF.AC 
ABH vuông tại H, đường cao HE  AH
2
 = AB. AE 0,25 
ACH vuông tại H, đường cao HF  AH
2
 = AC. AF 0,25 
 ậy: AE.AB = AF.AC 0,5 
Bài 16 
M
K
O
A B
D
0,25 
a) Chứng tỏ hai đường tròn (O) v (K) tiếp xúc nhau. 
Ta có: K là tâm đường tròn đường kính OB 
Nên: K là trung điểm của OB 
0,25 
 OK + KB = OB 
 OK = OB – KB 
0,25 
Hay: OK = R – r 
 ậy: hai đường tròn (O) và (K) tiếp xúc trong tại B 
0,25 
b) Chứng minh: KM // OD 
Ta có: OMB nội tiếp đường tròn đường kính OB 
Nên: OMB vuông tại M OM MB   MD = MB 0,25 
Mà: OK = KB (Bán kính đường tròn tâm O) 0,25 
Do đó: MK là đường trung bình của tam giác ODB 0,25 
 KM // OD 0,25 
Bài 17 a) Tính AH: 
Tam giác ABH vuông tại H có: 
3
.cos 8. 4 3
2
AH AB B   (cm). 
b) Tính AC: 
 Tam giác ABC vuông tại A có: 
 . tan 8. 3AC AB B  (cm) 
c) Tính BC: 
Ta có: 
. .
. 8.8 3
16 ( )
4 3
AH BC AB AC
AB AC
AH cm
BC

   
Bài 18 a)Chứng minh: CD = AC+BD 
Ta có: 
60
8
H
B
CA
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
CM = CA ( CM; CA là 2 tiếp tuyến) 
DM = DB ( DM; DB là 2 tiếp tuyến) 
Cộng theo vế ta được: CM + DM = CA + DB 
 Hay CD = CA +BD. 
 b) Chứng minh 090COD  
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì : 
OC là phân giác của góc AOM 
OD là phân giác của góc BOM 
Mà Góc AOM và góc BOM là hai góc kề bù nên OC OD hay 090COD  . 
c) Chứng minh MN song song với BD 
Ta có / /AC BD ( cùng vuông góc với AB) 
CN CA
NB BD
  mà ;CA CM BD MD  (cmt) 
/ /
CN CM
MN BD
NB MD
   (định lí đảo Talet) 
Bài 19 
 a)Chứng minh COD = 090 
Ta có: OC là tia phân giác của AOM ( CA,CM là tiếp tuyến) 
 OD là tia phân giác của MOB ( DM, DB là tiếp tuyến) 
 Mà AOM và MOB là hai góc kề bù nên COD = 090 
b)Chứng minh CD = AC+ BD: 
Ta có CA = CM (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau) 
 BD = DM (tính chất hai tiếp tuyến giao nhau) 
 CA + BD = CM + DM = CD 
 V : CD = CA + BD. 
c) Tích AC.BD không đ i khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn 
Ta có : Tam giác COD vuông; có OM là đường cao nên: 
 CM.MD = 2OM = 2R ( không đ i) 
Mà CA = CM và BD = DM (cmt) 
Nên CA.BD = 2R ( không đ i) khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn 
Bài 20 
Chứng minh : 
222
111
FA 




x
y
N
C
D
OA
M
B
Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 
E
D
M
B
A
C
F
Qua A, dựng đường thẳng vuông góc với AF, đường thẳng này cắt 
đường thẳng CD tại M 
Ta có: Tứ giác AECM nội tiếp ( vì EAM = ECM = 90
0
) 
AME = ACE = 45
0
 (ACE = 45
0
 : Tính chất hình vuông) 
 Tam giác AME vuông cân tại A 
 AE = AM 
 AMF vuông tại A có AD là đường cao, nên: 
222
111
FAMD 


 ì : AD = AB (cạnh hình vuông) ; AM = AE (cmt) 
 ậy: 
222
111
FA 




CHÚC CÁC EM THÀNH CÔNG! 
GV:Phạm Minh Sơn