Hướng dân giải các bài toán về Tứ giác nội tiép và liên quan TGNT

HD giải các bài toán về Tứ giác nội tiép và liên quan TGNT
Dấu hiệu một tứ giác nội tiếp trong đường tròn :
Tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 1800
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó.
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm.
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
Bài 1 (Bài 53 trang 89 sgk toán lớp 9 tập 2)
Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống (?) trong bẳng sau (nếu có thể)
Trương hợp
1
2
3
4
5
6
góc A
80o
?
60o
?
 ?
95o
Góc B
70o 
 ? 
 ? 
40o
65o
 ?
Góc C
?
105o
 ?
?
74o
 ?
Góc D
?
 75o
 ?
?
 ?
98o 
Hướng dẫn giải: (Áp dụng tính chất 1)
- Trường hợp 1:
Ta có  +  = 180o =>  = 180o – 80o = 100o
          +  =  180o =>  = 180o – 70o = 110o
 è Vậy   = 100o ,   = 110o
- Trường hợp 2:
Ta có   +  = 180o =>  = 180o  - = 180o – 105o = 75o
          +  =  180o =>  = 180o  - = 180o – 75o = 105o
- Trường hợp 3:
 +  = 180o =>  = 180o  - = 180o – 60o = 120o
  +  =  180o  Vì không cho điều kiện khác nên có nhiều đáp án.
 Chẳng hạn nếu chọn = 70o  Þ =  110o ;
 = 100o  Þ =  80o ; = 150o  Þ =  30o .
Trường hợp 4:   = 180o  - = 180o – 40o = 140o 
Còn lại  +  = 180o  Vì không cho lđiều kiện khác nên có nhiều đap án
Chẳng hạn chọn =  100o , = 80o
-   Trường hợp 5:   = 180o  - = 180o – 74o = 106o
                          = 180o  - = 180o – 65o = 115o
-  Trường hợp 6:  = 180o  - = 180o – 95o = 85o
                         = 180o  - =180o – 98o = 82o
Vậy điền vào ô trống ta được bảng sau: (màu đỏ là Đáp án)
Trương hợp
1
2
3
4
5
6
góc A
80o
75o
60o
 * 100o
 106o
95o
Góc B
70o 
 105o
 *70o 
40o
65o
 82o
Góc C
100o
 105o
 120o
 * 80o
 74o
 85o
Góc D
110o
 75o
 * 110o
 140o
 115o
 98o 
BÀI 2 :Bài 56 trang 89 sgk toán lớp 9 tập 2
 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O và có 2 cặp cạnh đối diện kéo dài tạo thành góc 200; 400. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác nội tiếp (TGNT) đó
Hướng dẫn giải: 
Cách 1 ( Theo Trần Thanh Phong)
Đặt x =  =  (hai góc đối đỉnh). Theo tính chất góc ngoài tam giác, ta có:
        = x +  40o         (1)
       =  x + 20o          (2)
Theo hai góc đối diện tứ giác nội tiếp ta có  + = 180o       (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra:  180o = 2x + 60o =>  x = 60o   
Từ (1), ta có:   = 60o  + 40o = 100o  
Từ (2), ta có:  = 60o  + 20o = 80o 
 = 180o –  x (hai góc kề bù) =>  = 120o
 = 180o -  (hai góc đối diện của tứ giác nội tiếp) =>  = 180o – 120o = 60o  
Cách 2 Áp dụng tính chất 1 và 2 gọn và tổng quát hơn
Gọi 2 góc đối đỉnh tại C là a; 
Góc C của TGNT kề bù a 
Þ ÐC = 180 - a
Theo tính chất 2 của TGNT thì 
Þ ÐA = a 
Góc D của TGNT là góc ngoài của ∆DCF mà ÐCDF = 160o - a ÞÐD = 200 + a
Đến đây ta có 2 cách tính a :
* Tính theo TGNT (tính chất 1) có 1800 = (40 + a) + (20 +a ) ÞÐa = 600
* Tính theo tổng 3 góc của ∆EDB có: 1800 = 400 + 200 + 2a ÞÐa = 600
BÀI 3 (Bài 55 SGK). 
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết
  = 80o,  = 30o,  = 70o.
Hãy tính số đo các góc , , , , ,  và .
Hướng dẫn giải:  (Áp dụng tính chất 1 &
Cách 1 (Theo Trần Thanh Phong)
Ta có:  =  -  = 80o – 30o = 50o   (1)
- ∆MBC là tam giác cân (MB= MC) nên  =  = 55o  (2)
- ∆MAB là tam giác cân (MA=MB) nên  = 50o (theo (1))
Vậy  = 180o – 2. 50o = 80o   
 =  sđ (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn)
=> sđ = 2  =  2. 80o = 160o    
Mà sđ =  = 70o  (số đo ở tâm bằng số đo cung bị chắn)
Vậy  = 160o – 70o = 90o  (vì C nằm trên cung nhỏ )
Suy ra  = 90o                     (4)
∆MAD là tam giác cân (MA= MD)
Suy ra  = 180o – 2.30o = 120o   (5)
∆MCD là tam giác vuông cân:
 (MC= MD) và   = 90o
Suy ra  =  = 45o  (6)
 = 100o   theo (2) và (6) và vì CM là tia nằm giữa hai tia CB, CD
Cách 2 (Áp dụng tính chất 3)
Theo tính chất 3, TGNT có các đỉnh cách đều tâm M nên 4 tam giác ∆MBC; ∆MCD; ∆MAD; ∆MAB đều là tam giác cân. Từ đó 
- 2 góc ở đáy của ∆MBC bằng nhau = 45 0
- 2 góc ở đáy của ∆MAD bằng nhau = 30 0
- 2 góc ở đáy của ∆MBA bằng nhau = 800 - 300 = 500
Các góc ở tâm suy ra từ tam giác cân đã biét góc ở đáy
Bài 4 (Bài 58.SGK)
 Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và   =  1/2.
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C.
Hướng dẫn giải: 
a) Theo giả thiết,  =1/2  = 1/2 .60o = 30o   
  =  +  (tia CB nằm giữa hai tia CA, CD)
=>  = 60o + 30o = 90o  (1)
Do DB = CD nên ∆BDC cân =>  =  =  30o 
Từ đó  = 60o + 30o = 90o  (2)
Từ (1) và (2) có  +  = 180o nên tứ giác ABDC nội tiếp được.
b) Vì   = 90o nên AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC, do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC là trung điểm AD.
Bài 5 
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. H là trực tâm tam giác ABC. Kẻ đường hính OI vuông góc BC tại I. Chứng minh :
a/ BHCD là hình bình hành.
b/ I, H, D thẳng hàng.
c/ AH = 2OI
HD GIẢI
a/ Chứng minh BHCD là hình bình hành :
 (góc nội tiếp chắn ½ đường tròn (O))
 => CD  AC Mà: BH  AC (H là trực tâm)
 =>CD//BH (cùng vuông góc AC)
Cmtt, ta được : BD // CH; Xét tứ giác BHCD , ta có :
CD // BH (cmt) và BD // CH (cmt) è tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Chứng minh I, H, D thẳng hàng.
đường kính OI  BC tại I => IB = IC
Mà : hai đường chéo HD và BC của hình bình hành BHCD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
=> IH = ID (Hay I, H, D thẳng hàng)
c/ Xét ∆ABC có H là trực tâm => AH  BC
Mà : OI  BC => OI // AH
Xét ∆ AHD, ta có : OA = OD (AD là  đường kính của (O)) àOI // AH (cmt)
=> OI là đường trung bình trong ∆AHD è AH = 2OI (ĐPCM)
BÀI 6 :
Cho ∆ABC vuông tại A. M thuộc AC. Đường tròn (O) đường kính MC cắt BM kéo dài tại D và cắt AD tại S. 
Chứng minh rằng :
a/ ABCD là tứ giác nội tiếp.
 b/ CA là tia phân giác của 
HD GIẢI.
a/ Ta có :
 (góc nội tiếp chắn ½ (O))
=> 
è ABCD là tứ giác nội tiếp (I) (hai góc cùng nhìn BC dưới goc vuông) - ĐPCM 
b/ Ta có : 
 (gnt cùng chắn cung AB của (I))
 (MDSC là tứ giác nội tiếp (O))
=> 
è CA là tia phân giác của  (ĐPCM )
 PHH sưu tầm, BS & Chỉnh lí bài giải 10/2015 – Nguồn TK TL của Trần Thanh Phong