Hướng dẫn chứng minh Bất đẳng thức (lớp 9)

HD chứng minh BÂT ĐẲNG THƯC (lớp 9)
(Gồm 20 bài hay gặp, bài khó có dấu “µ”)
A.- Dựa vào các hằng đẳng thức (HĐT)
Bài A1/ Chứng minh các bất đẳng thức:
 a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)	b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Giải
 a) Ta có HĐT: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab [1]
 (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab [1’]
 Cộng từng vế [1] & [1’]: (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). 
 Biết luôn có (a – b)2 ≥ 0. è nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Áp dụng H Đ T [1] & [1’] có 
 [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + c2 + 2c(a + b)
 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 
 (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab 
 (a –c)2 = a2 + c2 – 2ac 
 (b – c)2 = c2 + b2 – 2bc 
Công 4 vế phải của 4 đẳng thưc trên, ta có: 3(a2 + b2 + c2). 
Mà biểu thức tổng này chính bằng vế trái BĐT cộng 3 hạng thức dương
 è Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).
Bài A.2
 a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
 b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
Giải
 a) Xét hiệu “vế trái – vế phải” : 
 (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥ 0.
Theo tinh chất của B ĐT: A ³ B Û A – B ³ 0 thì B ĐT (a) đã được CM
 b) Từ B ĐT (a) có : (a + 1)2 ≥ 4a ; 
 (b + 1)2 ≥ 4b ; 
 (c + 1)2 ≥ 4c 
và các bất đẳng thức này có hai vế đều dương, nên : 
[(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82. èVậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
Bài A.3
Chứng minh: (a1 + a2 + .. + an)2 ≤ n(a12 + a22 + .. + an2).
H D: Đây là B ĐT tổng quát; Chứng minh tương tự ý (b) Bài 1 với n sô hạng trong ngoặc
µ Bài A.4 Cho các số x và y cùng dấu và ¹ 0. 
a/ Chứng minh rằng : 
b/ Chứng minh B ĐT : 
c/ CMR: 
Giải: Chuyển vế, chứng minh A – B ³ 0.	
a/ . 
 (Vì x,y cùng dấu nên x.y; x/y; y/x ³ 0 ) è Vậy 
b/ Tương tự ý a/ chuyển vế chứng minh A – B > 0
 (ĐPCM)
c) Từ câu b suy ra : . Vì (câu a). 
Do đó :
Bài A.5
a/ Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : .
b/ Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : .
H D Giải
Câu a/ Đặt . 
Chứng minh tương tự câu a bài 4 có: nên a2 ≥ 4, do đó | a | ≥ 2 (1*). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 – 2 + 4 ≥ 3a
 Û a2 – 3a + 2 ≥ 0 Û (a – 1)(a – 2) ≥ 0 (2*)
Từ (1*) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ – 2. Nếu a ≥ 2 thì (2*) đúng. 
 Nếu a ≤ – 2 thì (2) cũng đúng. Bài toán được chứng minh.
µCâu b/ Bất đẳng thức tương đương với :
.
Cần chứng minh tử không âm, tức là : 
 x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (3*)
Biểu thức không đổi khi hoán vị vòng x à y à z à x nên có thể giả sử x là số lớn nhất. Xét hai trường hợp :
a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x ở (3*) thành – (x – y + y – z),à(3*) tương đương với :
 x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0
 Û z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0 (4*)
Dễ thấy x – y ≥ 0 , x3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên B ĐT (4*) đúng.
b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y ở (1) thành x – z + z – y , (3*) tương đương với :
 x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0
 Û z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0
Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng.
Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
.
µµ Bài A.6
 Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a3 + b3 + a b c ≥ ab(a + b + c)
Giải Đây là bài khó, vừa áp dụng H ĐT vừa phải dùng tính chất nhân hoặc chia 2 vế của đẳng thức với ab > 0 ( theo giả thiết cho trước)
 Lấy hiệu của vế trái và vế phải bằng H; chứng minh H ³ 0
 H = a3 + b3 + a b c – ab(a + b + c) chia 2 vế cho ab (ab >0) để khử c
H/ab = a2/b + b2/a + c – a – b – c = a2/b + b2/a – (a + b) = [(a3 + b3): ab – (a +b)]
Nhân 2 vế với ab 
 à H = (a3 + b3) – ab(a + b) = (a + b)( a2 + b2 – ab) – ab(a +b)
 à H = (a + b)( a2 + b2 - 2ab) = (a+ b)( a – b)2
H là tích của 2 thừa số ³ 0 è H ³ 0 (ĐPCM)
B.- Dựa vào tinh chất của dãy số.
Bài B.1: Chứng minh : . với n ÎN
Giải:
 Vì nên dễ dàng có :
Bài B.2: 
Chứng minh rằng, "n Î Z+ , ta luôn có :
Giải Ta có:
 .
Vậy : 
 = (đpcm).
Bài B.3: 
Chứng minh rằng vớí "n ≥ 1 , n Î N ta luôn có : 
Giải: So sánh với dãy số trung gian
 < < 2 (ĐPCM)
C. Dựa và BĐT Cauchy và/ hoặc B ĐT Bunhiacôpxki: .
*Bất đẳng thưc Cauchy (Trung bình cộng ³ Trung bình nhân)
*Bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
Bài C1:
Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : 
Giải
Theo BĐT Cauchy cho các cặp số dương 
, ta lần lượt có: 
;
cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài C.2:
 Chứng minh : (a, b ≥ 0).
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số a + b ≥ 0 và 2 ≥ 0, ta có :
 .
Dấu “ = “ xảy ra khi a = b.
Bài C.3:
 Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có : . 
Khi nào có đẳng thức?
Giải
 Ta có : . 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
. è Vậy . 
Đẳng thức xảy ra khi :.
Bài C 4 :
Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì . (*)
Giải:
 Biến đổi tương đương : 
 è Vậy B ĐT ban đầu (*) đúng.
µ Bài C.5 : Cho a, b, c, d > 0. 
Chứng minh: 
Giải: (đây là bài khó, phải biến đổi B ĐT Cau chy ) Với a,b >0
Từ BĐT Cauchy Û [] 2 ³ ab Û [*]
Áp dụng [*] vào bài ta có:
 (1)
Tương tự (2)
 Cộng (1) với (2)
 (3)
Đặt vế trái của B ĐT (3) =4B àcần chứng minh 2B ≥ 1 để thoả mãn Đề
bất đẳng thức này tương đương với :
2B ≥ 1 Û 2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) ≥ (a + b + c + d)2
Û a2 + b2 + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 Û (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng
Bài C.6 
Cho a, b, c > 0. Chứng minh : .
Giải
* Cách 1 : Theo bất đẳng thức Cauchy :
.
Tương tự : .
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên có : 
 (ĐPCM)
*Cách 2 : 
Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2. Ta có :
 ≥
≥ 
Þ .
 (ĐPCM)
Bài C.7 . Chứng minh [*] với a, b, c, d > 0.
H D giải
 Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được bất đẳng thức tương đương : 
(ad – bc)2 ≥ 0. Chú ý : Cũng có thể chứng minh bằng bất đẳng thức Bunhiacôpxki.
D. Theo hình học
Bài D.1. 
Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c. 
Chứng minh rằng ta luôn có : .
Giải: 
Với mọi a, b ta luôn có : a2 + b2 ≥ 2ab. Với a,b,c là 3 cạnh tam giác vuông thì:
 a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab Û 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab
 Û 2c2 ≥ (a + b)2 Û c ≥ a + b Û c ≥ .
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
µ Bài D.2. 
Chứng minh rằng, nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì :
	abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
Giải Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b. [**]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số dương
 = b [1]
 [2]
 [3]
Nhân từng về của 3 B ĐT trên [1]; [2]; [3] ta có B ĐT phải chứng mnh
Bài D.3
Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :
	 với a, b, c > 0.
Giải
124. Đặt các đoạn thẳng BH = a, HC = c trên một đường thẳng. 
Kẻ HA ^ BC với AH = b. 
Dễ thấy:
 AB2 = a2 + b2
 AC2 = b2 + c2
 b(a + c) = 2SABC
Vì AB.AC ≥ 2SABC nên
PHH sưu tầm , biên chỉnh bài giải 12/ 2015