Hướng dẫn 10 bài Đường trung tuyến của tam giác

HD Giải 10 bài toán đường trung tuyến 
Định nghĩa :
Đường trung tuyến là đường nối từ một đỉnh và trung điểm cạnh đối diện.
Trong một tam giác, có ba đường trung tuyến.
Định lí :
Trong một tam giác, có ba đường trung tuyến cùng nhau tại một điểm. điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng  độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
BÀI TẬP SGK – SBT :
BÀI 28 TRANG 67 :
Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến DI.
a)      Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI.
b)      Các góc DIE và góc DIF là góc gì ?
c)      DE = DF = 13cm, EF = 10cm. tính DI.
Giải.
a)      Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI.
Xét ΔDEI và ΔDFI, ta có :
DE = DF (gt)
IE = IF ( DI là trung tuyến)
DI cạnh chung.
=> ΔDEI = ΔDFI (c – c – c)
b) Các góc DIE và góc DIF :
  (ΔDEI = ΔDFI)
Mà :   (E, I,F thẳng hàng )
=> 
c) tính DI :
IE = EF : 2 = 10 : 2 = 5cm
Xét ΔDEI vuông tại I, ta có :
DE2 = DI2 + IE2
=> DI2 = DE2 – IE2 =132 – 52 = 144
=> DI = 12cm.
—————————————————————————————–
BÀI 38* TRANG 43 SBT  :
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a)      Tính số đo góc ABD
b)      Chứng minh : ABC = BAD.
c)      So sánh độ dài AM và  BC.
Giải.
a)      Tính số đo góc ABD
Xét ΔAMC và ΔDMB, ta có :
MA = MD (gt)
  (đối đỉnh)
MC = MB (gt) => ΔAMC = ΔDMB
=>   (góc tương ứng);
Mà :   (ΔABC vuông tại A)
=> 
Hay 
b)Chứng minh : ABC = BAD
Xét ABC và BAD, ta có :
AB cạnh chung.
AC = BD (AMC = ΔDMB) => ΔABC =Δ BAD
c)So sánh độ dài AM và  BC :
AM = AD : 2 (gt).
Mà : AD = BC (ΔABC =Δ BAD) => AM = BC : 2
***
Bài toán tổng hợp :
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a)      Chứng minh : ΔAMB =ΔDMC và AB // CD.
b)      Gọi F là trung điểm CD. tia FM cắt AB tại K. Chứng minh : M là trung điểm KF.
c)      Gọi E là trung điểm của AC. BE cắt AM tại G. Chứng minh : 3 điểm K, G và I là trung điểm của AF thẳng hàng.
GIẢI.
Xét ΔAMB và ΔDMC, ta có :
MA = MD (gt)
  (đối đỉnh)
MC = MB (AM là đường trung tuyến) => ΔAMB =ΔDMC (c – g – c)
=>   (góc tương ứng); mà :   ở vị trí so le trong.
=> AB // CD
b)Xét ΔKMB và ΔFMC, ta có :
  (đối đỉnh)
MC = MB (AM là đường trung tuyến)
  (so le trong)
=> ΔKMB =ΔFMC (g – c – g) => MK = MF hay M là trung điểm KF.
c) Ta có : CF = FD = DC : 2 (gt)
AB = CD (ΔAMB =ΔDMC)
AK + KB = CF + FD
Mà : KB = CF (ΔKMB =ΔFMC) => AK = KB = FD = AB : 2
Xét ΔABC, ta có :
AM là đường trung tuyến thứ 1 (gt)
FA = FC (gt) => BF là đường trung tuyến thứ 2.
mà : AM căt BF tại G. => G là trọng tâm của ΔABC. => CG là đường trung tuyến thứ 3. mà : KA = KB (cmt) => K, G nằm trên đường thẳng KC (I).
gọi AF cắt CK tại O. Xét ΔKAO và ΔCFO, ta có :
  (so le trong)
AK = CF (cmt)
  (so le trong) => ΔKAO và ΔCFO (g – c – g) => OA = OF
hay : O là trung điểm của AF. mà : I là trung điểm của AF. => O trùng I
vậy : AF cắt CK tại I. => I nằm trên đường thẳng KC
mà : K, G nằm trên đường thẳng KC (cmt). => K, G, I nằm trên đường thẳng KC.
 è vậy : K, G, I thẳng hàng.
 * * *
BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
BÀI 1 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8cm, BC = 10cm.trung tuyến AD cắt trung tuyến BE ở G.
Tính AC, AE.
Tính BE, BG.
BÀI 2 :
Giả sử hai đường trung tuyến BD và CE của tam giác ABC có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại G.
Tam giác BGC là tam giác gì ?
So sánh tam giác BCD và tam giác CBE.
Tam giác ABC là tam giác gì ?
BÀI 3 :
Cho tam giác ABC có BC = 2BA. BD là đường phân giác. Chứng minh : CD = 2DA.
BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :
BÀI 1 :
Hai đường trung tuyến AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại G. kéo dài GD thêm một đoạn DI = DG. Chứng minh : G là trung điểm của AI.
BÀI 2 :
Trên  đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.
Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE.
CI cắt GE tại O. điểm O là gì của tam giác ABC. chứng minh BE = 9OE.
 BÀI 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.
Tính AB.
Điểm M là gì của tam giác BCD.
Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng.
 BÀI 4
: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM và CN. Biết BM<CN, chứng minh rằng AB<AC
PHH sưu tầm GT Nguồn GV Thanh Phong