Hình học - Thể tích khối đa diện

Thể tích khối đa diện
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Tính thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC trong các trường hợp: 
 a) Biết AB = a và SA = l.
 b) Biết SA = l và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng a.
 c) Biết AB = a và các cạnh bên tạo với đáy một góc . 
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là một tam giác vuông tại A, AC = b, . Đường chéo BC' của mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) một góc . Tính độ dài đoạn AC' và thể tích khối lăng trụ.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, điểm A' cách đều các điểm A, B, C; cạnh bên AA' tạo với đáy một góc .
 a) Tính thể tích khối lăng trụ.
 b) Chứng minh mặt bên BB'C'C là hình chữ nhật.
 c) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lăng trụ.
Tính thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết AB = a và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng .
Tính thể tích khối chóp cụt tam giác đều biết cạnh đáy lớn bằng 2a; cạnh đáy nhỏ bằng a và góc giữa đường cao và mặt bên bằng .
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, AC = 7a; Các mặt bên tạo với đáy một góc . Tính thể tích khối chóp biết hình chiếu của đỉnh S nằm trong tam giác ABC.
Cho hình chóp tam gics S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng . Tính thể tích khối chóp S.ADE và khoảng cách từ E đến (SAB) biết AB = a, BC = b, SA = c.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = 2a, AA' = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD. Tính thể tích khối chóp M.AB'C và khoảng cách từ M đến (AB'C).
 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A'B' và B'C'.
 a) Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D'.DMN với thể tích hộp ABCD.A'B'C'D'.
b) Mặt phẳng (DMN) chia khối hộp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối đa diện này
 Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc chung của chúng. Biết AC = h, AB = a, CD = b và góc giữa hai đường thẳng A và CD bằng . Tính thể tích tứ diện ABCD.
 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tính tỉ số giữa thể tích của khối hộp và khối tứ diện ACB'D'.
 Cho hình chóp tam giác S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác S. Chứng minh rằng: 
 . 
 Kết quả này còn đúng cho hình chóp tứ giác không?
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD = b và SA = c. Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho . Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.
Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc . Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM song song với BD cắt SB tại E cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có các cạnh đều bằng a.
 a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C.
 b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích khối chóp C.A'B'FE.
Cho hình chóp S.ABC, đường cao SA = a, đáy là tam giác vuông, AB = a, B' là trung điểm của SB, C' là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.
 a) Tính thể tích khối tứ diện S.ABC.
 b) Chứng minh và tính thể tích khối chóp S.AB'C'.
 Cho chóp S. ABC, đường cao SA = 2a, đáy là tam giác vuông tại C có AB = 2a, . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SC và SB.
 a) Tính thể tích khối chóp H.ABC.
 b) Chứng minh và tính thể tích khối chóp S.AHK.
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, 
 BC = 2a, AA' = 3a. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA' lần lượt cắt các đoạn thẳng CC' và BB' tại M và N.
 a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB. Chứng minh 
 b) Tính thể tích khối tứ diện A'.AMN. Tính diện tích tam giác AMN.
 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy là tam giác vuông tại A và AB = a, AC = , hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC.Tính thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA' và B'C'.
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' = . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh: và tính thể tích khối tứ diện CMNP.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh: và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, , BA = BC = a AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh vuông và tính khoảng cách từ H đến (SCD).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = , SA = a và . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng: và tính thể tích khối tứ diện ANIB
Cho chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCMN.
Trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R lấy điểm C tùy ý. Dựng (HAB) và gọi I là trung điểm của CH. Trên nửa đường thẳng It vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho . Chứng minh tam giác SHC đều. Đặt HA = h. Tính thể tích tứ diện SABC theo h và R.
Cho hình vuông ABCD cạnh a, I là trung điểm của AB, qua I dựng đường thẳng vuông góc với (ABC) và trên đó lấy điểm S sao cho 2SI = . Chứng minh tam giác SAD vuông. Tính thể tích tứ diện SACD từ đó suy ra d(C; (SAD)).
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật AB = 2a, BC = a, các cạnh bên của hình chóp đều bằng . Tính thể tích khối chóp theo a.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh bên SA = . Một mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với (SCD) lần lượt tại C' và D'. Tính diện tích tứ giác ABC'D' và tính thể tích hình đa diện ABCDD'C'.
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có chiều cao bằng h và hai đường thẳng AB' và BC' vuông góc với nhau. Tính thể tích hình lăng trụ đó.
Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a, SA = a, . Tính d(A; (SBC)). Gọi O là trung điểm của AC. Tính d(O; (SBC)).
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD =a, CD = 2a, SD = a, . Chứng minh tam giác SBC vuông. Tính diện tích tam giác SBC và d(A; (SBC)).
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD =a, CD = 2a, SD = , . Từ trung điểm E của CD dựng . Chứng minh: và tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón
Bài 1: Xác định tâm, bán kính, tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a.
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, chiều cao SO = h. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính thể tích hình chóp.
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 600. Xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nói trên.
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, góc giữa mặt bên với mặt đáy là φ. Xác định tâm, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp nói trên. Tính giá trị của tanφ để hai mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a. Góc = φ. Tính diêhj tích xung quanh của hình chóp. Tính đường cao của hình chóp. Gọi O là tâm đáy. Xác định góc φ để mặt cầu tâm O đi qua 5 điểm S, A, B, C, D.
Bài 6: Một hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao . Gọi A, B là 2 điểm trên đường tròn đáy sao cho AB hợp với trục của hình trụ góc 300
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ nói trên.
Bài 7: Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là hình vuông. 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tích khối trụ nói trên.
c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ đã cho.
Bài 8: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón.
b) Tính thể tích khối nón nói trên.
Bài 9: Cho hình nón có đường cao SO=h và bán kính đáy R. Gọi M là điểm trên SO, đặt OM = x (0<x<h)
a) Tính diện tích thiết diện (T) vuông góc với trục tại M.
b) Tính thể tích khối nón đỉnh O và đáy (T) theo R, h, x. Xác định x sao cho thể tích này lớn nhất.
Bài 10: Cho hình nón đỉnh S có đường cao SH = h và đường sinh l bằng đường kính đáy. Một hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy hình nón.
a) Xác định giao của mặt nón và mặt cầu.
b) Tính diện tích xung quanh của phần mặt nón nằm trong mặt cầu.
c) Tính diện tích mặt cầu và so sánh với diện tích toàn phần của mặt nón.
Bài 11: Đường sinh của một hình nón có độ dài bằng a và tạo thành với đáy một góc α. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.
Bài 12: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội tiếp, cạnh a. Biết rằng = 2φ (00 <φ<450). Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón.
Bài 13: Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của trụ. Mặt phẳng hình vuông tạo với đáy trụ góc 450. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.
Các bài toán HHKG trong các đề thi đại học gần đây
1. CĐ-2009: Cho hình chóp đều S.ABCD có . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của SA, SB và CD
CMR: MN SP
Tính 
2. KD-2009: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, . Gọi M là trung điểm của đoạn A’C’, . 
Tính 
Tính 
3. KB-2009: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có . ABC vuông tại C, , h.c.v.g của B’ lên mp đáy (ABC) trùng với trọng tâm ABC. Tính 
4. KA-2009: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, . Gọi I là trung điểm của AD. Biết (SBI), (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính 
5. KD-2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=a, h.c.v.g của S lên (ABCD) là H thuộc AC, , CM là đường cao SAC
CMR: M là trung điểm SA (SAC cân)
Tính 
6. KB-2010: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có , . G là trọng tâm A’BC
Tính 
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
Hướng dẫn
Tâm của mặt cầu trên là giao giữa trục của đường tròn ngoại tiếp ABC và đường trung trực của AG trong mp (AGH), H là tâm của ABC	
7. KA-2010: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. , SH(ABCD), 
Tính 
Tính (Tìm đoạn vuông góc chung, )
8. KD-2011: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , , (SBC)(ABC), 
Tính 
Tính 
9. KB-2011: Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, , h.c.v.g của A1 lên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính
	a) 
	b) 
10. KA-2011: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a mp(SAB), (SAC) cùng vuông góc (ABC), M là trung điểm AB, mp qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 600. Tình
	a) 
	b) 
11. KD-2012: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, A’AC vuông cân, A’C = a. Tính 
	a) 
	b) 
12. KB-2012: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC
CMR: SC (ABH) (ta CM: SCAH, SCAB)
Tính 
13. KA-2012: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, h.c.v.g của S lên (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho HA = 2HB, góc giữa SC và (ABC) bằng 600. Tính
	a) 
	b) (dùng đồng thời 2 cách làm của bài KD-2011 và KA-2011, )
 14. KA-2013: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
 d(C, SAB)= 
15. KB-2013: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
 d(A, SCD)= 
16. KD-2013: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, , M là trung điểm cạnh BC và . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).
 V= d(D, (SBC))= d(A, (SBC))= 
17. KA-2014: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
 ĐS: d (A;SBD) = 2d(M; SBD) = 
18. KB-2014 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’).
 ĐS: d(B, A’AC) = 
19. KD-2014: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
 ĐS: VS.ABC= và 
20. THPT 2015: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ACBD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳmg (ABCD), góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ACBD) bằng 450.. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB,AC.
 ĐS: