Hình học dành cho học sinh 10–11–12 và luyện thi đại học

 TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN 
Chủ biên: Hoàng Hữu Vinh 
Biên soạn: Nguyễn Quang Hiển – Nguyễn Văn Hòa 
Trần Minh Quang – Trần Minh Thịnh 
HÌNH HỌC 
DÀNH CHO HỌC SINH 10–11–12 
VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 
LƯU HÀNH NỘI BỘ 
 2 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
 Hình học 3 
Lời nĩi đầu 
Các em học sinh thân mến! 
Chúng tôi là nhóm giáo viên Toán của Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn có 
nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy và biên soạn sách tham khảo. 
Nhằm mục đích giúp các em học sinh tự học, nâng cao bài tập ở các lớp 10, 
11, 12 và nhất là các em đang sắp thi vào Đại học, chúng tôi cùng biên 
soạn bộ Toán gồm ba quyển. 
Quyển 1: Hình học. 
Quyển 2: Khảo sát hàm số – Tích phân – Số phức 
Quyển 3: Lượng giác – Đại số – Giải tích tổ hợp 
Mỗi quyển sách gồm: 
 Tóm tắt lý thuyết một cách có hệ thống và đầy đủ. 
 Phân loại các dạng toán cùng với cách giải dễ hiểu. Nhiều bài tập mẫu 
từ dễ đến khó, trong đó có nhiều bài được giải bằng nhiều cách khác nhau. 
 Rất nhiều bài tập để học sinh tự luyện được soạn rất công phu, theo 
sát đề thi tuyển sinh Đại học (có Đáp số hoặc Hướng dẫn). 
Chúng tôi hy vọng quyển sách này sẽ giúp các em thích thú, nâng cao 
học lực và thành công trong kì thi tuyển sinh Đại học sắp đến. Dù đã cố 
gắng nhiều, nhưng chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót, mong sự đóng góp ý 
kiến của các em học sinh và của độc giả. 
Nhóm biên soạn 
 4 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
PHẦN 1 
HÌNH GIẢI TÍCH 
TRÊN MẶT PHẲNG 
(Oxy) 
Biên soạn: NGUYỄN QUANG HIỂN 
TRẦN MINH QUANG 
HOÀNG HỮU VINH 
 Hình học 5 
BÀI 1 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy gồm 
hai trục vuông góc nhau x’Ox và y’Oy với 
hai vectơ đơn vị lần lượt là i và j mà: 
i = (1, 0), j = (0, 1) 
Gọi x’Ox: trục hoành 
y’Oy: trục tung 
O: gốc tọa độ 
I. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
Đối với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ: 
1 2
u (u ; u ) và 
1 2
v (v ; v ) . 
Ta có: 
1. 
1 1
2 2
u v .
u v
u v .

  

2. 
1 1 2 2
u v (u v ; u v )    
3. 
1 2
k.u (k.u ; k.u ). (k R) 
u và v cùng phương  k  R: u kv  
1 2
1 2
u u
v v
 = 0 
4. Tích vô hướng u.v u v cos(u, v) 
. . . . 
1 1 2 2
u v u v u v 
Hệ quả: u v u.v 0   
Độ dài vectơ: 
2 2
1 2
|u| u u  
II. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM 
Cho hệ tọa độ Oxy và một điểm M tùy ý. 
Tọa độ (x; y) của vectơ OM được gọi là 
tọa độ của điểm M và ký hiệu là: M(x; y). 
x: hoành độ, y: tung độ. 
Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). 
y 
M2 
u
u1 x x' 
y' 
i
i
O 
y 
Q 
x x' 
y' 
i
i
O 
M 
P 
 6 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
( ; 
B A B A
AB x x y y )   
( 2 2
B A B A
AB (x x ) y y )   
Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: 
A B A B
I I
x x y y
x ; y
2 2
 
  
G trọng tâm ABC: 
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
 


  

B. BÀI TẬP MẪU 
Bài 1. Cho tam giác ABC với: A(1; 0), B(5; 0), C(2; 3). Tìm các điểm sau 
của tam giác: 
 a) Trọng tâm G. 
 b) Trực tâm H. 
 c) Chân A’ của đường cao hạ từ A xuống cạnh BC. 
 d) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp. 
Giải 
a) G là trọng tâm tam giác ABC nên: 
A B C
G
x x x 8
x ;
3 3
 
  A B C
G
y y y
y 1
3
 
  
Vậy: G(
8
; 1
3
) 
b) H(x, y) là trực tâm tam giác ABC: 
 
AH.BC 0
BH.AC 0
 


Mà: AH (x 1; y)  ; BC ( 3; 3)  ; 
BH (x 5; y)  ; AC (1; 3) 
Nên điều kiện trên thành: 
3(x 1) 3y 0
1(x 5) 3y 0
   

  
3x 3y 3
x 3y 5
 
 
 
  
x 2
y 1



Vậy: H(2; 1) 
c) A'(x, y) là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC 
 Hình học 7 
 
AA '.BC 0
BA ' và BC cùng phương
 


Mà: AA' (x 1; y);  BC ( 3; 3);  BA' (x 5; y)  
Nên điều kiện trên thành: 
3(x 1) 3y 0
3(x 5) 3y 0
   

  
x y 1
x y 5
 
 
 
  
x 3
y 2



Vậy: A’(3; 2) 
d) I(x, y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: 
2 2
2 2
IA IB
IA IC
 
 

2 2 2 2
2 2 2 2
(x 1) y (x 5) y
(x 1) y (x 2) (y 3)
     
 
     
8x 24 0
x 3y 6
 
 
 
  
x 3
y 1



Vậy: I(3; 1). 
Bài 2. Cho ba điểm: A(–3; 3), B(–5; 2), C(1; 1) 
a) Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. 
b) Chứng tỏ 
ˆ
BAC là góc tù. 
c) Tính diện tích tam giác ABC. 
d) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
Giải 
a) Ta có: AB ( 2; 1), AC (4; 2)     
2 1
 4 2
 

 = ( 2).( 2) ( 1).4 8 0.      
Nên AB và AC không cùng phương, tức là ba điểm A, B, C không 
thẳng hàng. Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. 
Ta có: 
2 2 2 2
ˆ ( 2).(4) ( 1).( 2) 3
cosBAC cos AB, AC) 0.
5( 2) ( 1) . (4) ( 2)
    
   
    
Nên 
ˆ
BAC là góc tù. 
b) Diện tích tam giác ABC: 
ˆ1
S AB.AC.sinBAC
2
 2
ˆ1
AB.AC. 1 cos BAC
2
  
1 9
5. 20. 1 4(đvdt)
2 25
   
c) Ta có: S = pr 
 8 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
Mà: 
1 1 1
p (AB BC CA) ( 5 37 2 5) (3 5 37)
2 2 2
        
 r = 
S
3 5 37
p
  . 
Bài 3. Tuyển sinh Đại Học khối B/2011 
 Cho : x – y – 4 = 0, d: 2x – y – 2 = 0 
 Tìm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt  tại M thỏa OM.ON = 8. 
Giải 
Gọi M(m, m – 4)   
N(n, 2n – 2)  d 
Ta có: 
O, M, N thẳng hàng  
m m 4
n 2n 2


 = 0 
 m(2n – 2) = n(m – 4) 
 mn – 2m = –4n 
 (4 + m)n = 2m 
 n = 
2m
4 m
Ta có: OM
2
.ON
2
 = 64 
 [m2 + (m – 4)2]
2 2
2 2
4m 4(m 4)
(4 m) (m 4)
 
 
  
 = 64 
 [m2 + (m – 4)2][m2 + (m – 4)2] = 16(m + 4)2 
 (2m2 – 8m + 16)2 = [4(m + 4)]2 
 
2
2
2m 8m 16 4(m 4)
2m 8m 16 4(m 4)
    

    
 
2
2
2m 12m 0
2m 4m 32 0 (vô nghiệm)
  

  
 m = 0  m = 6 
Vậy M1(0; –4), N1(0, –2) hay M1(6, 2) N2
6 2
,
5 5
 
 
 
. 
Bài 4. Tuyển sinh Đại Học khối B/2007 
 Cho A(2, 2). Tìm B trên d1: x + y – 2 = 0 
4 
4 
-4 
O 
d 
N 
M 
 
y 
x 
 Hình học 9 
 C trên d2: x + y – 8 = 0 sao cho ABC vuông cân tại A. 
Giải 
Gọi B(b, 2 – b)  d1 
C(c, 8 – c)  d2 
Ta có: 
ABC  cân tại A  
AB (b 2, b) AC (c 2, 6 c)
AB AC
       


 
2 2 2 2
(b 2)(c 2) b(6 c) 0
(b 2) b (c 2) (6 c)
    

     
Đặt X = b – 1 và Y = c – 4 ta được hệ 
    

      
2 2 2 2
(X 1)(Y 2) (X 1)(2 Y)
(X 1) (X 1) (Y 2) (2 Y)
 
2 2
XY 2
2X 2 2Y 8


  
  
2 2
2
Y
X
X Y 3



  
 
2
2
2
Y
X
4
X 3
X



  

  
4 2
2
Y
X
X 3X 4 0



   
 
2 2
2
Y
X
X 1 (loại) X 4



    
  
X 2
Y 1



X 2
Y 1
 
 
 
Do 
b X 1
c Y 4
 

 
 nên 
b 3 b 1
c 5 c 3
   
 
  
Vậy B1(3, –1), C1(5, 3) và B2(–1, 3), C2(3, 5). 
Bài 5. Cho ABC có trọng tâm G(0, 4), C(–2, –4). Biết trung điểm M của 
BC nằm trên d: x + y – 2 = 0. Tìm M để độ dài AB ngắn nhất. 
Giải 
 10 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
Gọi M(m, 2 – m)  d 
Do M trung điểm BC nên 
B M C
B M C
x 2x x 2m 2
y 2y y 2(2 m) 4
   

    
Vậy B(2m + 2, 8 – 2m) 
Do G là trọng tâm ABC nên 
A G B C
A G B C
x 3x x x 2m
y 3y y y 8 2m
    

    
Vậy A(-2m, 8 + 2m) 
Ta có AB
2
 = (4m + 2)
2
 + (–4m)2 
= 32m
2
 + 16m + 4 = 32
2
1
m m
2
 
 
 
 + 4 
= 32
2 2
1 1 1
m 4 32 m 2 2
4 16 4
    
          
     
Vậy ABmin = 2  m = 
1
4
  M
1 9
,
4 4
 
 
 
. 
Bài 6. Chứng minh các bất đẳng thức: 
 a)       2 2 2 2 2 24cos x.cos y sin (x y) 4sin x.sin y sin (x y) 2, x, y 
 b) 
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z , x, y, z         
Giải 
a/ Trong hệ tọa độ Oxy: Với mọi x, y xét hai vectơ: 
 a (2cosx.cosy; sin(x y));  b (2sinx.siny; sin(x y)) 
Ta có: a b (2cos(x y); 2sin(x y))    
Và: |a| |b| |a b| 
Nên: 
2 2 2 2 2 2
4cos xcos y sin (x y) 4sin xsin y sin (x y) 2; x, y.       
b/ Trong hệ tọa độ Oxy: Với mọi x, y, z, xét hai vectơ: 
y y 3
a (x ; );
2 2
 
z z 3
b x ;
2 2
 
    
 
Ta có: 
y z y 3 z 3
a b ( ; )
2 2 2 2
    
 Hình học 11 
Và: |a| |b| |a b| 
Nên: 
2 2 2 2
y y 3 z z 3
(x ) ( ) (x ) ( )
2 2 2 2
       2 2
y z y 3 z 3
( ) ( )
2 2 2 2
   
 2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z ; x, y, z         . 
Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
2 2
y cos 2cos 2 cos 6cos 13          
Giải 
Ta có: 
2 2
y (1 cos ) 1 (cos 3) 4        
Trong hệ tọa độ Oxy, xét hai vectơ: 
a (1 cos ; 1)   và b (cos 3; 2), R    
Thì: a b (4; 3)  
Và áp dụng bất đẳng thức tam giác ta được: 
y |a| |b|   2 2|a b| 4 3 5,      
y 5 a  và b cùng hướng k 0 : a k.b    
1 cos k.(cos 3)
1 2k
    
 

1
cos
3
1
k
2

  
 
 

Vậy: 
R
Miny 5 . 
 12 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI 
BT1. Cho ba điểm: A(1; –2), B(0; 4), C(3; 2). Tìm điểm D sao cho: 
a) CD 2.AB 3.AC  
b) AD 2.BD 4.CD 0   
c) ABCD là hình bình hành 
d) DOx và ABCD là hình thang đáy là AB. 
Đáp số: D(–5, –2) (11, 2) (4, –4) 
10
, 0
3
 
 
 
BT2. Cho điểm A(3; 1). Tìm các điểm B và C sao cho OABC là hình vuông 
và điểm B nằm trong góc tọa độ thứ nhất. 
Đáp số: B(2, 4); C(–1, 3). 
BT3. Cho một tam giác có trung điểm các cạnh là: M(1; 4), N(3; 0), P(–1; 1). 
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 
Đáp số: (–3, 5); (5, 3); (1, –3). 
BT4. Cho hai điểm A(1; –1), B(4; 3). Tìm tọa độ những điểm M, N chia AB 
thành ba đoạn bằng nhau. 
Đáp số: M
1 5
2, ; N 3,
3 3
   
   
   
. 
BT5. Cho tam giác ABC có A(–1; 2), B(2; 1) và trực tâm H(1; 2). Tìm tâm I 
của đường tròn ngoại tiếp. Đáp số: I(1, 3). 
BT6. Cho tam giác đều ABC có A(2; 1) và B(–1; 2). Tìm đỉnh C. 
Đáp số: C
1 3 3 3 3
,
2 2
  
  
 
. 
BT7. (D/04) Cho A(–1, 0); B(4, 0); C(0, m) gọi G là trọng tâm ABC. Tìm m 
để ABG vuông tại G. 
Đáp số: m =  3 6 . 
BT8. (A/04) Cho A(2, 0); B(– 3 , –1). Tìm trực tâm và tâm đường tròn 
ngoại tiếp OAB. 
Đáp số: H( 3 , –1), I(– 3 , 1). 
BT9. (A/05) Tìm các đỉnh hình vuông ABCD biết A  d1: x – y = 0, 
C  d2: 2x + y – 1 = 0, B và D trên trục hoành. 
 Hình học 13 
Đáp số: A(1, 1); B(0, 0); C(1, –1); D(2, 0). 
BT10. (DB/D07) Cho A(2, 1). Tìm B  Ox, C  Oy sao cho ABC vuông tại 
A và có diện tích nhỏ nhất. 
Đáp số: B(2, 0); C(0, 1). 
BT11A/02. Cho ABC vuông tại A, phương trình BC: 3 x – y – 3 = 0 
A và B trên trục hoành, bán kính đường tròn nội tiếp ABC bằng 2. 
Tìm các đỉnh ABC. 
Đáp số: A(2 3 + 2, 0); C(2 3 – 2, 0). 
BT12. Cho hình thang ABCD có AB // CD. A(0, 1); B(2, 0); C(3, 2) và diện 
tích (ABCD) bằng 14. Tìm tọa độ D. Đáp số: 
31 33
,
5 5
 
 
 
. 
BT13. Cho ABC có A trên trục tung, BC đi qua O, trung điểm AB; AC lần 
lượt là M(–1, 1); N(3, –1). Tìm A, B, C. 
Đáp số: A(0, 1); B(–2, 1); C(6, –3). 
BT14. Tìm các đỉnh hình vuông ABCD, biết A trên d1: y = x, B trên 
d2: y = 1 – 2x, C, D nằm trên trục tung. 
Đáp số: A
1 1 1
, , B , 0
2 2 2
   
   
   
, C(0, 0), D
1
0,
2
 
 
 
hay A
1 1
,
4 4
 
 
 
, B
1 1
,
4 2
 
 
 
, C
1
0,
2
 
 
 
, D
1
0,
4
 
 
 
. 
BT15. Cho hai điểm A(–3; 2) và B(1; 1). Tìm điểm M trên Oy sao cho: 
a) Diện tích tam giác ABM bằng 3. 
b) MA
2
 + MB
2
 đạt giá trị nhỏ nhất. 
Đáp số: a) M
11
0,
4
 
 
 
, M
1
0,
4
 
 
 
; b) M
3
0,
2
 
 
 
. 
BT16. Cho hai điểm A(1, –1) và B(3, 2). Tìm điểm M trên Oy sao cho: 
a) 
0
AMB 45 b) AMB nhỏ nhất. 
Đáp số: a) M(0, –1), (0, 4); b) M
5
0,
2
 
 
 
. 
BT17. Chứng minh các bất đẳng thức: 
a) 
2
x 2x 5  + 2x 2x 5   2 5 , x . 
b) 
2
x 4 + 2 2x 2xy y 1   + 2y 6y 10   5, x, y. 
 14 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
c) 2(x y) 6  + 22 6(x y)   4 2 , với mọi x, y thỏa x2 + y2 = 4. 
d) 
2 2
a b) c  + 2 2(a b) c   2 2 2a b , a, b, c  R. 
BT18. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
y = 
2
x 2x 2  + 2x 8x 32  
Đáp số: 34 . 
 Hình học 15 
BÀI 2 
ĐƯỜNG THẲNG 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
I. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG 
1. Vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng 
a/ Một vectơ u 0 được gọi là một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
( ) nếu giá của u song song hoặc trùng với (). 
b/ Một vectơ n  0 được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng () 
nếu giá của n vuông góc với (). 
c/ a = (p, q) là vectơ chỉ phương của () 
 n = (q, –p) là vectơ pháp tuyến của () 
2. Các dạng phương trình đường thẳng 
a/ Phương trình tham số: 
0 1
0 2
x = x + tu
( ) :
y = y + tu

 

 (t  R) 
Trong đó M(x0, y0) là một điểm trên (); u = (u1, u2) là một vectơ 
chỉ phương của (). 
 b/ Phương trình chính tắc: 
0 0
1 2
x x y y
( ) :
u u
 
  (u1.u2  0) 
Trong đó M(x0, y0) là một điểm trên (); u = (u1, u2) là một vectơ 
chỉ phương của (). 
 c/ Phương trình tổng quát: ( ) : Ax By C 0    (A2 + B2  0) 
 Trong đó n = (A, B) là một vectơ pháp tuyến của (). 
d/ Phương trình đường thẳng đi qua M(x0, y0), có vectơ pháp tuyến 
n = (A, B) 
0 0
( ) : A(x x ) B(y y ) 0     
e/ Phương trình đường thẳng đi qua M(x0, y0), có hệ số góc k 
0 0
( ) : y k(x x ) y    
 f/ Phương trình đoạn chắn: 
x y
( ) : 1
a b
   (a.b  0) 
 16 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
với A(a, 0); B(0, b) là hai điểm thuộc (). 
g/ Phương trình chứa hệ số góc và tung độ gốc ( ) : y kx m   
 Lưu ý: 
a/ d có một vectơ pháp tuyến là n = (A, B) 
 Nếu D song song d thì n = (A, B) cũng là vectơ pháp tuyến của D 
 Nếu () vuông góc d thì m = (B, –A) là vectơ pháp tuyến của () 
b/ Nếu d có vectơ chỉ phương a = (u1, u2) (u1  0) thì hệ số góc của d 
là k = 
2
1
u
u
. 
c/ Nếu d cắt trục hoành tại M và  là góc tạo bởi tia Mx với phần 
đường thẳng d nằm phía trên trục hoành thì hệ số góc của d là 
k = tan. 
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
Cho hai đường thẳng: 
1 1 1 1
( ) : a x b y c 0    ; 
2 2 2 2
( ) : a x b y c 0    
Đặt: 
1 1
1 2 2 1
2 2
a b
D a b a b ;
a b
  
1 1
x 1 2 2 1
2 2
b c
D b c b c ;
b c
   
1 1
y 1 2 2 1
2 2
c a
D c a c a
c a
   
Ta có: 
1. (
1
 ) và 
2
( ) cắt nhau khi và chỉ khi D 0 . Tọa độ giao điểm là: 
yx
DD
x ; y
D D
 
  
 
. 
2. 
1 2
( ) // ( )  khi và chỉ khi D = 0 và 
x
D 0 hay 
y
D 0 . 
3. 
1 2
( ) ( )   khi và chỉ khi D = Dx = Dy = 0. 
* Đặc biệt nếu a2, b2, c2 khác 0 thì: 
1. (
1
 ) và 
2
( ) cắt nhau khi và chỉ khi 1 1
2 2
a b
a b
 
2. 
1 2
( ) // ( )  khi và chỉ khi 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
  
 Hình học 17 
3. 
1 2
( ) ( )   khi và chỉ khi 1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
  
III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 
Gọi  là góc hợp bởi hai đường thẳng 
1
( ) và 
2
( ) (với 0 00 90   ). 
Nếu 1, 2 có vectơ pháp tuyến là 1n , 2n thì 
1 2
1 2
1 2
|n , n |
cos |cos(n , n )|
|n |.|n |
   
IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG 
Cho điểm M0(x0; y0) và đường thẳng 
     2 2( ) : ax by c 0 (a b 0) 
Khoảng cách từ điểm M0 tới đường thẳng ( ) là: 
0 0
0
2 2
|ax by c|
d(M ; )
a b
 
 

 Chú ý: Cho hai điểm M(xM; yM), N(xN; yN) và đường thẳng 
( ) : ax by c 0    
Ta có: 
M và N nằm cùng phía đối với ( ) khi và chỉ khi: 
M M N N
(ax by c)(ax by c) 0     
M và N nằm cùng phía đối với ( ) khi và chỉ khi: 
M M N N
(ax by c)(ax by c) 0     
 18 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
B. BÀI TẬP MẪU 
VẤN ĐỀ 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 
Bài 1. 
a) Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC biết trung điểm ba 
cạnh AB, BC, AC lần lượt là: M(2; 1), N(5; 3), P(3; -4) 
b) Cho tam giác ABC biết A(-2; 1), B(2; 5), C(4; 1). Viết phương trình của: 
 đường cao BH và đường trung trực của cạnh AB. 
Giải 
a/ Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có: NP // AB. 
Cạnh AB chính là đường thẳng đi qua M(2; 1) nhận NP (-2; -7) 
làm vectơ chỉ phương nên có phương trình là: 
x 2 y 1
7x 2y 12 0
2 7
 
    
 
Tương tự phương trình các cạnh BC và AC lần lượt là: 
 5x + y – 28 = 0 và 2x – 3y – 18 = 0 
b/ Đường cao BH chính là đường thẳng qua B(2; 5) nhận AC (6; 0) 
làm vectơ pháp tuyến. 
Vậy phương trình của đường cao BH là: 
6(x 2) 0(y 5) 0 x 2 0       
Đường trung trực của cạnh AB là đường thẳng vuông góc với cạnh AB 
tại trung điểm I của AB, nên chính là đường thẳng đi qua I(0; 3) nhận 
AB (4; 4) làm vectơ pháp tuyến. 
Vậy phương trình của đường trung trực cạnh AB là: 
4(x 0) 4(y 3) 0 x y 3 0        
Bài 2. Tuyển sinh Đại Học khối B/09 
 Cho ABC có M(2, 0) là trung điểm AB, trung tuyến: 
 AI: 7x – 2y – 3 = 0, đường cao AH: 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình AC. 
 Hình học 19 
Giải 
Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình 
7x 2y 3
6x y 4
 

 
  
x 1
y 2



Vậy A(1, 2) 
Do M là trung điểm AB nên 
B M A
B M A
x 2x x 4 1 3
y 2y y 0 2 2
    

     
Vậy B(3; –2) 
BC vuông góc AH nên có PVT(1, 6) 
Phương trình BC: 1(x – 3) + 6(y + 2) = 0  x + 6y + 9 = 0 
Tọa độ I trung điểm BC là nghiệm hệ phương trình 
x 6y 9
7x 2y 3
  

 
  
x 0
3
y
2



 
Vậy I(0; –
3
2
) 
Do I là trung điểm BC nên 
C I B
C I B
x 2x x 0 3 3
y 2y y 3 2 1
     

      
Vậy C(–3; –1) 
AC qua C có VTCP AC = (–4; –3) 
Vậy phương trình AC: 
x 3 y 1
4 3
 
 . 
Bài 3. Tuyển sinh Đại Học khối A/2010 
 Cho ABC cân tại A(6, 6) đường thẳng qua trung điểm của AB, AC là 
d: x + y – 4 = 0. Tìm B, C biết E(1; –3) nằm trên đường cao CH. 
Giải 
Vẽ đường cao AK 
AK qua A,  d nên có phương trình 
1(x – 6) – 1(y – 6) = 0  x – y = 0 
Tọa độ giao điểm I của d và AK là nghiệm hệ 
phương trình 
x y 0
x y 4
 

 
  
x 2
y 2



 . Vậy I(2, 2) 
A 
M 
B H I C 
A 
d I 
H E 
B C K 
 20 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
I là trung điểm AK nên 
K I A
K I A
x 2x x 4 6 2
y 2y y 4 6 2
     

     
Vậy K(–2; –2) 
BC qua K và // d nên có phương trình 
1(x + 2) + 1(y + 2) = 0  x + y + 4 = 0 
Gọi B(b, –b – 4)  BC 
Do K là trung điểm BC nên 
C K B
C K B
x 2x x 4 b
y 2y y 4 ( b 4) b
    

       
Vậy C(–4 – b, b) 
Ta có AB = (b – 6, –b – 10)  CE = (–5 – b, b + 3) 
Nên: (b – 6)(–5 – b) + (–b – 10)(b + 3) = 0 
 –2b2 – 12b = 0  b = 0  b = –6 
Vậy B1(0; –4)  C1(–4; 0) 
B2(–6; 2)  C2(+2; –6) 
Bài 4. Cho ABC vuông tại A có A(0, 3), đường cao AH: 3x + 4y – 12 = 0. 
Trọng tâm G(
5
3
; 3). Tìm B và C. 
Giải 
Gọi M là trung điểm BC 
Ta có AG 2GM 
 
G A A G
G A M G
x x 2(x x )
y y 2(y y )
  

  
 M
M
5 5
2(x )
3 3
0 2(y 3)

 

  
  M
M