Hình học 8 - Chương 3: Tam giác đồng dạng

Hình học chương 3 - Tam giác đồng dạng Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng 
SĐT: 0972299390 Cố lên nhé ! Trang 1
I. ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC – TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 
1. Tỉ số của hai đoạn thẳng 
  Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo. 
  Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo. 
2. Đoạn thẳng tỉ lệ 
 Hai đoạn thẳng AB và CD đgl tỉ lệ với hai đoạn thẳng AB và CD nếu có tỉ lệ thức: 
AB AB
CD CD
 

 
 hay 
AB CD
AB CD

   
3. Định lí Ta-lét trong tam giác 
 Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định 
ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. 
AB AC AB AC AB ACBC BC
AB AC BB CC BB C C
; ;
   
     
   
 
4. Định lí Ta-lét đảo 
 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn 
thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. 
AB AC BC BC
BB C C
 
  
 
 
5. Hệ quả 
 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo 
thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. 
AB AC BCBC BC
AB AC BC
   
     
 Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng song song với một cạnh và cắt phần 
kéo dài của hai cạnh còn lại. 
A
B C
B’ C’
6. Tính chất đường phân giác trong tam giác 
 Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 
hai cạnh kề hai đoạn ấy. 
 AD, AE là các phân giác trong và ngoài của góc BAC  DB AB EB
DC AC EC
  
7. Nhắc lại một số tính chất của tỉ lệ thức 
ad bc
a b
c da c
a b c d
b d
b d
a c a c a c
b d b d b d
 



    
  
   
 
CHƯƠNG III: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
Hình học chương 3 - Tam giác đồng dạng Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng 
SĐT: 0972299390 Cố lên nhé ! Trang 2
VẤN ĐỀ I. Tính độ dài đoạn thẳng 
Bài 1. Cho tam giác ABC, G là trọng tâm. Qua G vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt các 
cạnh AB, BC lần lượt ở D và E. Tính độ dài đoạn thẳng DE, biết AD EC cm16  và chu vi 
tam giác ABC bằng 75cm. 
HD: Vẽ DN // BC  DNCE là hbh  DE = NC. DE = 18 cm. 
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song hai đáy cắt cạnh AD tại M, cắt 
cạnh BC tại N sao cho MD = 3MA. 
 a) Tính tỉ số 
NB
NC
. 
 b) Cho AB = 8cm, CD = 20cm. Tính MN. 
 HD: a) Vẽ AQ // BC, cắt MN tại P  ABNP, PNCQ là các hbh  
NB
NC
1
3
 . 
 b) Vẽ PE // AD  MPED là hbh  MN = 11 cm. 
Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B, C sao cho 
AB AC
AB AC
 
 . 
Qua B vẽ đường thẳng a song song với BC, cắt cạnh AC tại C. 
 a) So sánh độ dài các đoạn thẳng AC và AC. 
 b) Chứng minh BC // BC. 
 HD: a) AC = AC b) C trùng với C  BC // BC. 
Bài 4. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Đường thẳng a song song với BC cắt các cạnh AB, AC 
và đường cao AH lần lượt tại B, C, H. 
 a) Chứng minh 
AH BC
AH BC
  
 . 
 b) Cho AH AH1
3
  và diện tích tam giác ABC là cm267,5 . Tính diện tích tam giác ABC. 
 HD: b) ABC ABCS S cm
21 7,5
9 
  . 
Bài 5. Cho tam giác ABC. Gọi D là điểm chia cạnh AB thành hai đoạn thẳng có độ dài AD = 
13,5cm, DB = 4,5cm. Tính tỉ số các khoảng cách từ các điểm D và B đến cạnh AC. 
HD: Vẽ BM  AC, DN  AC  
DN
BM
0,75 . 
Bài 6. Cho tam giác ABC có BC = 15cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = 
IH. Qua I và K vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M  AB; F, N  AC). 
 a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF. 
 b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết rằng diện tích của tam giác ABC là cm2270 . 
 HD: a) EF = 10 cm, MN = 5cm b) MNFE ABCS S cm
21 90
3
  . 
Bài 7. Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua điểm I thuộc đoạn OB, vẽ 
đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt các cạnh AB, BC và các tia DA, DC theo thứ 
tự tại các điểm M, N, P, Q. 
 a) Chứng minh: 
IM IB
OA OB
 và 
IM IB OD
IP ID OB
. . 
 b) Chứng minh: 
IM IN
IP IQ
 . 
 HD: Sử dụng định lí Ta-lét. 
Bài 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của cạnh AB, F là trung điểm của cạnh CD. 
Chứng minh rằng hai đoạn thẳng DE và BF chia đường chéo AC thành ba đoạn bằng nhau. 
 HD: Gọi M, N lần lượt là giao điểm của DE và BF với AC. Chứng minh: AM = MN = NC. 
Hình học chương 3 - Tam giác đồng dạng Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng 
SĐT: 0972299390 Cố lên nhé ! Trang 3
Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD ở 
M, cắt cạnh BC ở N. Biết rằng 
DM CN m
MA NB n
  . Chứng minh rằng: 
mAB nCDMN
m n



. 
 HD: Gọi E là giao điểm của MN với AC. Tính được 
m nEN AB ME CD
m n m n
, 
 
. 
Bài 10. Cho tứ giác ABCD có các góc B và D là góc vuông. Từ một điểm M trên đường chéo AC, vẽ 
MN  BC, MP  AD. Chứng minh: 
MN MP
AB CD
1  . 
 HD: Tính riêng từng tỉ số 
MN MP
AB CD
; , rồi cộng lại. 
Bài 11. Cho hình bình hành ABCD. Một cát tuyến qua D, cắt đường chéo AC ở I và cắt cạnh BC ở 
N, cắt đường thẳng AB ở M. 
 a) Chứng minh rằng tích AM.CN không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến qua D. 
 b) Chứng minh hệ thức: ID IM IN2 . . 
Bài 12. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm B, C. 
 Chứng minh: ABC
ABC
S AB AC
S AB AC
.
 

 
. 
 HD: Vẽ các đường cao CH và CH  
AC CH
AC CH

  
. 
Bài 13. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CD lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho 
AD AB1
4
 , BE BC1
4
 , CF CA1
4
 . Tính diện tích tam giác DEF, biết rằng diện tích tam 
giác ABC bằng a cm2 2( ) . 
 HD: BED CEF ADF ABCS S S S
3
16
    DEFS a cm
2 27 ( )
16
 . 
Bài 14. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho 
AK
BK
1
2
 . Trên cạnh BC lấy điểm L 
sao cho 
CL
BL
2
1
 . Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AL và CK. Tính diện tích tam giác 
ABC, biết diện tích tam giác BQC bằng a cm2 2( ) . 
 HD: Vẽ LM // CK. BLQ CLQ
BLA CLA
S S
S S
4
7
   ABC BQCS S a cm
2 27 7 ( )
4 4
  . 
Bài 15. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy lần lượt các điểm D, E, F sao cho: 
AD BE CF
AB BC CA
1
3
   
 Tính diện tích tam giác tạo thành bởi các đường thẳng AE, BF, CD, biết diện tích tam giác 
ABC là S. 
 HD: Gọi M, P, T lần lượt là giao điểm của AE và CD, AE và BF, BF và CD. 
 Qua D vẽ DD// AE. Tính được 
DD CM
ME CD
7 6
6 7

    CMA CAD ABCS S S S
6 2 2
7 7 7
   . 
 MPT ABC CMA APB BTCS S S S S S
1( )
7
     . 
VẤN ĐỀ II. Chứng minh hai đường thẳng song song 
Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm E, F, G, H 
Hình học chương 3 - Tam giác đồng dạng Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng 
SĐT: 0972299390 Cố lên nhé ! Trang 4
sao cho 
AE AH CF CG
AB AD CB CD
   . 
 a) Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành. 
 b) Chứng minh hình bình hành EFGH có chu vi không đổi. 
 HD: b) Gọi I, J là giao điểm của AC với HE và GF  EFGHP AI IJ JC AC2( ) 2    . 
Bài 2. Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và 
BD, K là giao điểm của BM và AC. 
 a) Chứng minh IK // AB. 
 b) Đường thẳng IK cắt AD, BC lần lượt ở E và F. Chứng minh EI = IK = KF. 
 HD: a) Chứng minh 
MI MK IK AB
IA KB
   . 
Bài 3. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD. Từ D, vẽ đường thẳng song song với cạnh BC, cắt 
AC tại M và AB tại K. Từ C, vẽ đường thẳng song song với cạnh bên AD, cắt cạnh đáy AB tại 
F. Qua F, vẽ đường thẳng song song với đường chéo AC, cắt cạnh bên BC tại P. Chứng minh 
rằng: 
 a) MP song song với AB. 
 b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng qui. 
 HD: b) Gọi I là giao điểm của DB với CF. Chứng minh P, I, M thẳng hàng. 
Bài 4. Cho tứ giác ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Đường thẳng song song 
với BC qua O, cắt AB ở E và đường thẳng song song với CD qua O, cắt AD ở F. 
 a) Chứng minh đường thẳng EF song song với đường chéo BD. 
 b) Từ O vẽ các đường thẳng song song với AB và AD, cắt BC và DC lần lượt tại G và H. 
Chứng minh hệ thức: CG.DH = BG.CH. 
 HD: a) Chứng minh 
AE AF
AB AD
 b) Dùng kết quả câu a) cho đoạn GH. 
VẤN ĐỀ III. Tính chất đường phân giác của tam giác 
Bài 1. Cho tam giác ABC cân ở A, BC = 8cm, phân giác của góc B cắt đường cao AH ở K, 
AK
AH
3
5
 . 
 a) Tính độ dài AB. 
 b) Đường thẳng vuông góc với BK cắt AH ở E. Tính EH. 
 HD: a) AB = 6cm b) EH = 8,94 cm. 
Bài 2. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = m, AC = n; AD là đường phân giác trong của 
góc A. Tính tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD. 
 HD: ABD
ACD
S m
S n
 . 
Bài 3. Cho tam giác ABC cân ở A, phân giác trong BD, BC = 10cm, AB = 15cm. 
 a) Tính AD, DC. 
 b) Đường phân giác ngoài của góc B của tam giác ABC cắt đường thẳng AC tại D. Tính DC. 
 HD: a) DA = 9cm, DC = 6cm b) DC = 10cm. 
Bài 4. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. 
 a) Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) và diện tích ABC bằng S. 
 b) Cho n = 7cm, m = 3cm. Diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam 
giác ABC? 
 HD: a) ADM ABC
n mS S
m n2( )



 b) ADM ABCS S20% . 
Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm, BC = 7cm. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, 
O là giao điểm của hai đường phân giác BD, AE. 
Hình học chương 3 - Tam giác đồng dạng Giáo viên: Nguyễn Quốc Dũng 
SĐT: 0972299390 Cố lên nhé ! Trang 5
 a) Tính độ dài đoạn thẳng AD. 
 b) Chứng minh OG // AC. 
 HD: a) AD cm2,5 b) OG // DM  OG // AC. 
Bài 6. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc AMB cắt AB ở D, đường 
phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh DE // BC. 
 HD: 
DA EA DE BC
DB EC
   . 
Bài 7. Cho tam giác ABC (AB < AC), AD là phân giác trong của góc A. Qua trung điểm E của 
cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC tại F, cắt đường thẳng AB tại G. 
Chứng minh CF = BG. 
 HD: 
BG BE CD BA CD AB
CF BDCE AC BD AC
. . . 1
. . .
   . 
Bài 8. Cho tam giác ABC và ba đường phân giác AM, BN, CP cắt nhau tại O. Ba cạnh AB, BC, CA 
tỉ lệ với 4, 7, 5. 
 a) Tính MC, biết BC = 18cm. 
 b) Tính AC, biết NC – NA = 3cm. 
 c) Tính tỉ số 
OP
OC
. 
 d) Chứng minh: 
MB NC PA
MC NA PB
. . 1 . 
 e) Chứng minh: 
AM BN CP BC CA AB
1 1 1 1 1 1
     . 
 HD: a) MC = 10cm b) AC = 11cm c) 
OP
OC
1
3
 
 e) Vẽ BD // AM  BD < 2AB  
AC ABAM
AC AB
2 .


  
AM AB AC
1 1 1 1
2
 
  
 
. 
 Tương tự: 
BN AB BC
1 1 1 1
2
 
  
 
, 
CP AC BC
1 1 1 1
2
 
  
 
  đpcm. 
Bài 9. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường phân giác của góc AIB cắt 
cạnh AB ở M. Đường phân giác của góc AIC cắt cạnh AC ở N. 
 a) Chứng minh rằng MM // BC. 
 b) Tam giác ABC phải thoả điều kiện gì để có MN = AI? 
 c) Tam giác ABC phải thoả điều kiện gì để có MN  AI? 
 HD: a) Chứng minh 
AM AN
BM CN
 . 
Bài 10. Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn DC, góc D 060 . Đường phân giác của góc D cắt 
đường chéo AC tại I, chia AC thành hai đoạn theo tỉ số 
4
11
 và cắt đáy AB tại M. Tính các 
cạnh đáy AB, DC, biết MA – MB = 6cm. 
 HD: Chứng minh DC = AB + AD  DC = AB + AM  
MB
MA
3
4
  DC = 66cm, AB = 42cm. 
Bài 11. Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng cắt AB ở E, AD ở F và cắt đường chéo AC ở 
G. Chứng minh hệ thức: 
AB AD AC
AE AF AG
  . 
 HD: Vẽ DM // EF, BN // EF. Áp dụng định lí Ta-lét vào các tam giác ADM, ABN.