Hệ thống kiến thức – Bài tập Toán 12

 MÔN: GIẢI TÍCH
 CHỦ ĐỀ 1: Tìm GTLN – GTNN cuûa caùc haøm soá:
 HƯỚNG DẪN: PP tìm GTLN – GTNN của hàm số trên 
Xét hàm số trên đoạn 
Tính đạo hàm y’. Cho y’ = 0. Giả sử y’ = 0 có nghiệm 
Tính 
Kết luận: 
 Chú ý : Nếu đề bài không cho đoạn thì ta tìm GTLN – GTNN trên TXĐ
 CHỦ ĐỀ 2: Tìm m để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ:
 HƯỚNG DẪN: PP tìm m để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên TXĐ
Tìm TXĐ 
Tính đạo hàm y’
 Để hàm số luôn đồng biến (nghịch biến) trên TXĐ thì () 
 Chú ý: Để hàm số dạng đồng biến (nghịch biến) thì () 
Kieán thöùc lieân quan: Cho ( coù tham soá m) 
 · f(x) > 0 " x Î R 	 · f(x) ³ 0 " x Î R 
 ·f(x) < 0 " x Î R 	 	 · f(x) £ 0 " x Î R 
CHỦ ĐỀ 3: Tìm m để hàm số luôn có cực trị ( có cực đại , cực tiểu)
 HƯỚNG DẪN: PP tìm m để hàm số có cực trị (đối với hàm 
 )
Tìm TXĐ 
Tính đạo hàm y’
 Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt 
 Chú ý: Để hàm số bậc 4 có 3 cực trị thì có 3 nghiệm phân biệt
CHỦ ĐỀ 4: Tìm m để hàm số đạt cực đại ( cực tiểu) tại 
 HƯỚNG DẪN: PP Tìm m để hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại 
: Tìm TXĐ 
: Tính y’
: Để là cực trị của hàm số thì 
: Thử lại bằng cách thế m vào y’ và lập BBT 
CHỦ ĐỀ 5: Khaûo saùt haøm soá
CAÙC BÖÔÙC KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
: Tìm TXÑ
: Tìm y’. cho y’= 0 (neáu caàn) 
: Tính giôùi haïn tieäm caän (ù) 
: BBT 
 x 
 y’ 
 y
 KL: - Ñoàng bieán – nghòch bieán
Cöïc trò
:Tính y’’. Cho y’’= 0ñieåm Uoán (b3 ko cöïc trò )
: ÑÑB (cho 2 beân cöïc trò ;cho x=0;y=0 neáu caàn)
: Ñoà thò (ÑÑB,tieäm caän =>ñthò )
Chuù yù :a/ Duøng ñ.thò bieän luaän soá n0 cuûa PT
 : Bieán ñoåi PT thaønh 2 veá trong ñoù coù 
 1 veá gioáng haøm soá ñaõ khaûo saùt
 : Bieän luaän (döïa vaøo BBT ñeå bieän luaän )
 b/ pthđgđ 
PT TIEÁP TUYEÁN
1. Tieáp tuyeán taïi 
PTTT: y = f ’(x0)(x-x0)+y0
2. Tieáp tuyeán ñi qua 
 PTTT: 
Söû duïng ÑK tieáp xuùc 
3. Tieáp tuyeán bieát hsg K
: Goïi k laø hsg tieáp tuyeán. PTTT: 
: Töø giaû thuyeátù hsg = k. Maø f’(x0) = kpttt
Chuù yù:
 tt //ñt(d): => 
 tt ñt(d): => 
 Löu yù: soá n0 pt aån k laø soá tt 	
CHỦ ĐỀ 6. Mũ và lôgarit:
COÂNG THÖÙC LUÕY THÖØA
COÂNG THÖÙC LOÂGARIT
 ; ; 
 ; ;
;; 
 ; 
Chuù yù : 
Neáu thì
Neáu thì
 khoâng coù nghóa
; ; ; 
 ; 
; 
 ; 
; 
; 
CHỦ ĐỀ 7. phương trình – bpt Mũ và lôgarit:
PT MUÕ – PT LOÂGARIT
BAÁT PT MUÕ–BAÁT PT LOÂGARIT
1. Phöông trình Muõ :
 a. PT muõ cô baûn:
 b. Phöông phaùp ñöa veà cuøng cô soá:
 c. Phöông phaùp ñaët aån phuï
 d. Phöông phaùp Loâgarit hoùa
2. Phöông trình LOÂGARIT:
 a. PT logarit cô baûn:
 b. Phöông phaùp ñöa veà cuøng cô soá:
 c. Phöông phaùp ñaët aån phuï
 d. Phöông phaùp muõ hoùa
 Chuù yù: Tröôùc khi giaûi PT Logarit phaûi ñaët ñieàu kieän cuûa Loâgarit ( khoâng caàn giaûi ) 
1. Baát PT Muõ:
2. Baát PT Loâgarit
Chuù yù: Tröôùc khi giaûi BPT Lôgarit phaûi ñaët ñieàu kieän cuûa Loâgarit ( giaûi ñieàu kieän )
CHỦ ĐỀ 8. Nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân:
ÑAÏO HAØM
NGUYEÂN HAØM
(C)’ = 0 ( C: hs)
( x )’= 1 
( )’= 
( xn)’= nxn-1
(sinx)’= cosx
( cosx)’= -sinx
(tg x)’ = 
(cotgx)’=
()’= ex
(ax)’= axlna
(lnx)’= 
(logax)’=
( )’= 
( un)’= nun-1.u’
(sinu)’= u’ cosu
( cosu)’= - u’ sinu
(tg u)’ = 
(cotgu)’=
()’= u’ eu
(au)’= u’. aulna
(lnu)’= 
(logau)’=
= x + c 
dx = 
Chuù yù:
 PP TÍNH NGUYEÂN HAØM 
1.Phöông phaùp phaân tích:
 Söû duïng bieán ñoåi ñöa veà nguyeân haøm cô baûn
2. Phöông phaùp ñoåi bieán: 
 Khi f(x) laø høhôïp coù muõ ,maãu,
bieåu thöùc ; cung ; lnx 
 PP:
 : Ñaët t = .Laáy vi phaân 2 veá
 : Theá vaøo ñeà baøi
 : Laáy nguyeân haøm theo bieán t
 : Traû bieán
Chuù yù: Thoâng thöôøng ñaët t = (muõ, caên thöùc, maãu, cung, bieåu thöùc ;lnx )
 PP TÍNH NGUYEÂN HAØM 
Coâng thöùc:
3. Phöông phaùp töøng phaàn: Khi f(x) coù daïng: 
 PP: 
 : Ñaët 
 : Theá vaøo coâng thöùc
 : Laáy nguyeân haøm
 Chuù yù: Neáu coù lnx thì ñaët u = lnx . 
 nếu không thì đặt u = P(x)
 Löu yù: + H.höõu tæ baäc tö ûb maãu => Chia töû cho maãu
+ H.höõu tæ baäc tö û đồng nhất thức
CHỦ ĐỀ 9. ỨNG DUÏNG TÍCH PHAÂN
1.Dieän tích hình phaúng:
Hình phaúng giôùi haïn bôûi : 
 S=
Löu yù: Thieáu caän=> giaûi pt: f(x)=g(x)
*Caàn khöû tröôùc khi tìm ng.haøm.
2.Theå tích vaät theå troøn xoay.
Caàn xaùc ñònh hình thang cong sinh ra vaät theå khi quay quanh ox;giaû söû y= f(x);y= 0;x = a;x = b.thì theå tích
Töông töï khi quay quanh Oy
CHỦ ĐỀ 10. SỐ PHỨC
 Chuù yù: 
Duøng maùy tính ñeå thöû laïi neáu ñöôïc
Khi giaûi phöông trình baäc hai treân soá phöùc: Mode + 2 nhaäp vaøo coâng thöùc: 
MÔN: HÌNH HỌC
VECTÔ VAØ CAÙC PHEÙP TOAÙN
M laø trung ñieåm ABó
ÑƯỜNG THẲNG
 d quacoù 
PTTS: 
PTCT: 
MAËT PHAÚNG
mpqua vaø coù pt laø
Chuù yù: Neáu mp có 2 song song hoặc nằm trên thì 
VTTÑ GIÖÕA 2 MP
Cho 
 caét 
VTTÑ CUÛA CAÙC ÑT – MP
Caùch 1: 
Giöõa ÑT vaø Mp: Giaûi heä ÑT vaø Mp
Heä VN ÑT 
Heä coù 1 nghieämÑT caét Mp
Heä SVN ÑT 
Giöõa ÑT vaø ÑT:
Heä VN // hoaëc cheùo nhau
Heä coù 1 nghieäm caét nhau
Heä SVNTruøng nhau
MAËT CAÀU
Taâm I(a;b:c), Baùn kính R theá vaøo PT: 
 vôùi 
Löu yù: Thieáu taâm hay b.kính ñeà cho
* (S) qua MóR= MI = 
* (S) tieáp xuùc mp(P) 
* (S) tieáp xuùc ñöôøng thaúng 
 vôùi 
* (S) ñkínhAB ó taâm I laø t.ñieåm AB vaø R 
Töông giao giöõa (S)&(). Goïi 
 Vôùi baùn kính 
VTTÑ CUÛA CAÙC ÑT-ÑT vaø MP
Caùch 2: @ Giöõa ÑT vaø Mp: Cho ñöôøng thaúng d qua M vaø vtcp ; maët phaúng coù vtpt 
1/ d caét 
2/ 
d naèm treân 
 Chuù yù: 
3/ 
@ Giöõa ÑT vaø ÑT: Cho ñöôøng thaúng d qua A vaø coù vtcp ; qua B vaø coù vtcp 
4/ d cheùo 
5/ d ñoàng phaúng 
 a)d caét 
b) d // 
 c) d 
GOÙC- KHOAÛNG CAÙCH
 Goùc giöõa 2mp: Cos() = Goùc giöõa 2ñt: Cos(d;d’) = Goùc giöõa ñt&mp: Sin()=
 Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán mp(): d(; ()) =
 Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng : vôùi 
 Khoaûng caùch giöõa 2 ñöôøng thaúng cheùo nhau vôùi 
Tìm toaï ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa M ñieåm leân mp
B1: Vieát pt d qua M vaø 
B2: Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M leân (P) 
Tìm toaï ñoä hình chieáu vuoâng goùc cuûa M ñieåm leân ñöôøng thaúng d
B1: Vieát pt (P) qua M vaø 
B2: Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M leân d 
Tìm pt hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñöôøng thaúng d leân mp(P)
B1: Vieát pt mp (Q) chöùa d vaø 
B2: Goïi d’ laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa d leân (P) 
Tìm pt ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa 2 ñöôøng thaúng d vaø d’
B1: Goïi laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa d vaø d’ coù vtcp 
B2: Vieát pt (P) chöùa d vaø 
B3: Vieát pt (Q) chöùa d’ vaø 
B4: 
II. PHAÀN HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN:
Phần Lí Thuyết:
Công thức tính diện tích:
Diện tích tam giác: đáy x chiều cao ( cạnh góc vuông )
Diện tích hình chữ nhật: S = dài x rộng
Diện tích hình vuông: S = cạnh x cạnh
Diện tích hình thoi: S = ( chéo dài x chéo ngắn )
Diện tích hình thang: S = (đáy lớn+ đày bé) x chiều cao
Diện tích hình bình hành: S = đáy x chiều cao
Diện tích hình tròn: 
Diện tích mặt cầu : 
 Chú ý: 	Đường cao trong tam giác đều bằng : cạnh x 
Diện tích tam giác đều cạnh a bằng : a2 x 
Thể tích khối lăng trụ:
Thể tích khối lập phương cạnh a: 
Thể tích khối hộp chữ nhất có 3 kích thước a,b,c: 
Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h: 
Thể tích khối chóp, khối chóp cụt, khối cầu :
Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h: 
Thể tích khối chóp cụt có diện tích 2 đáy là B và B’,chiều cao h: 
Thể tích khối nón tròn xoay (hình 1)
Thể tích khối trụ tròn xoay (hình 2)
Thể tích khối cầu 
Hình 1 
 Hình 2 
 Chú ý: Cho khối chóp SABC. Trên SA ,SB,SC 
 lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ khác với S. 	
 Khi đó: 
PHÖÔNG PHAÙP XAÙC ÑÒNH TAÂM VAØ BAÙN KÍNH MAËT CAÀU NGOAÏI TIEÁP HÌNH CHOÙP
: Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy
: Qua I keû ñöôøng thaúng d vuoâng goùc vôùi maët ñaùy. Suy ra d laø truïc cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ña giaùc ñaùy
: Döïng maët phaúng trung tröïc cuûa caïnh beân caét d taïi . Suy ra laø taâm cuûa maët caàu ngoaïi tieáp hình choùp.
Chuù yù: 
Neáu ñaùy laø tam giaùc vuoâng thì I laø trung ñieåm caïnh huyeàn
Neáu ñaùy laø tam giaùc ñeàu thì I laø troïng taâm cuûa tam giaùc ñaùy
Neáu ñaùy laø hình vuoâng hoaëc hình chöõ nhaät thì I laø giao 2 ñöôøng cheùo.
PHÖÔNG TRÌNH TOÅ HÔÏP
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP:
B1 Đ K để pt,bpt có nghĩa
B2 Đưa pt bpt về dạng ! (thay các công thức tổ hợp vào pt,bpt) qui (lớn)! về (nhỏ)! Cùng dạng rồi đơn giản(cho hết !).
B3.giải pt.bpt tì nghiệm và so với điều kiện.
LT: Giaûi phöông trình vaø baát phöông trình sau:
a) 	b) 	c).
d) 	e) 	f) .
g) 	h) 
TOAÙN TOÅ HÔÏP
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TỔ HỢP (BÀI TOÁN CHỌN):
B1 Cần xác định 3 yêu cầu:
1/ Được chọn tùy ý(ngẫu nhiên) từ tập có mấy phần tử( giả sử là n)
2/ Cần chọn tùy ý ( không có đk) mấy phần tử ( giả sử là m)
3/ Chọn 
B2 Nếu có 1 yêu cầu không xác định được thì chia bài toán thành nhiều bước sao cho mỗi bước đều xác định đước 3 yêu cầu => số cách chọn của từng bước ,sử dụng qui tắc cộng (khi mỗi bước xong đề),hay qui tắc nhân(khi gom hết các bước mới xong đề) => số cách chọn của bài toán.
LƯU Ý : Bước chọn có điều kiện nên chọn trước.
Nên lấy ít chọn nhiều và lưu ý cách giải phần bù.
XAÙC SUAÁT
PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙN XAÙC SUAÁT (THEO QUAN ÑIEÅM COÅ ÑIEÅN).
B1 Tìm soá phaàn töû cuûa khoâng gian maãu: (soá caùch choïn ngaãu nhieân) .
B2 Tìm soá phaàn töû cuûa bieán coá A : (soá caùch choïn cuûa baøi toaùn choïn coù ñieàu kieän) .
B3 Xaùc suaát xaûy ra bieán coá A: P(A)=.
BÀI TẬP NHỊ THỨC NIUTƠN
Coâng thöùc khai trieån nhò thöùc Newton: Vôùi moïi nÎN vaø vôùi moïi caëp soá a, b ta coù:
Tính chaát:
	1) Soá caùc soá haïng cuûa khai trieån baèng n + 1
	2) Toång caùc soá muõ cuûa a vaø b trong moãi soá haïng baèng n
	3) Soá haïng toång quaùt (thöù k+1) coù daïng: Tk+1 = ( k =0, 1, 2, , n)
	4) Caùc heä soá cuûa caùc caëp soá haïng caùch ñeàu soá haïng ñaàu vaø cuoái thì baèng nhau: 
	5) ,	
	* Nhaän xeùt: Neáu trong khai trieån nhò thöùc Newton, ta gaùn cho a vaø b nhöõng giaù trò ñaëc bieät thì ta seõ thu ñöôïc nhöõng coâng thöùc ñaëc bieät. Chaúng haïn:
	(1+x)n = 	Þ	
	(x–1)n = 	Þ	
LƯỢNG GIÁC 10
1.TÓM TẮT GIÁO KHOA
Các hệ thức cơ bản
 Cos(
 tan
 Nếu sin thì 
 1+ 1+cot2
2.GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
TÓM TẮT GIÁO KHOA
Cung đối ( tổng bằng 0) : cos(-)= cos; sin(-)= -sin
 tan(-)= - tan; cot(-)= -cot
Cung bù ( tổng bằng ): sin(= sin ; cos()= -cos
 Tan(= - tan; cot(
Cung phụ (tổng bằng 
Cung khác ( hiệu bằng ): 
3.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC.
LÝ THUYẾT
Công thức đối với sin và côsin:
 cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb
 cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb
 sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb
 sin(a-b) = sina.cosb - cosa.sinb
Công thức cộng đối với tang:
 tan(a+b)=
 tan(a-b)=
Công thức góc nhân đôi:
Công thức nhân đôi:
Sin2a=2sina.cosa
Cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
Tan2a=
Công thức hạ bậc:
Sin2a= cos2a= Tan2a=
Công thức biến đổi tổng thành tích
 Cosa.cosb=
 Sina.sinb=
 Sina.cosb=
 Cosa.sinb=
Công thức biến đổi tổng thành tích:
 Cosx+cosy=2.cos
 Cosx-cosy=-2.sin
 Sinx+siny=2.sin
 Sinx-siny=
tanx) cotx
Công thức góc nhân ba:
Sin3a=3sina-4sin3a
Cos3a=4cos3a-3cosa
Tan3a=)
Công thức hạ bậc ba
Sin3a=
Cos3a=
Công thức tính theo t=tan)
, cosa=, tana=
Đặc biệt cos2a=
 Sin2a=
 Sina.cosa=
Ghi chú: Các công thức: 
 1+cosx=2cos2; 1-cosx=2sin2x
 Cosx+sinx=
 Cosx-sinx=
PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1.Phương trình sinx=a.( -1£ a £ 1)
sinx = a Û; k Î Z +sinx = sina Û; k Î Z ( a = sina)
 sinx = 0 Û x = kp; k Î Z . sinx = 1 Û x = + k2p; k Î Z. sinx = -1 Û x = -+ k2p; k Î Z
2.Phương trình cosx=a.( -1£ a £ 1)
 cosx = a Û; k Î Z +cosx = cosa Û; k Î Z ( a = cosa)
 cosx = 0 Û x = + kp; k Î Z. cosx = 1 Û x = k2p; k Î Z. cosx = -1 Û x = p+ k2p; k Î Z
3.Phương trình tanx = a. TXĐ: 
 + +
 4.Phương trình cotx = a. TXĐ: 
 + +
 III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP.
 1.Phương trình a.sinx + bcosx = c ()
 đặt: phương trình trở thành: 
 *Chú ý 
+Phương trình có nghiệm khi 
+Nếu thì:
2.Phương trình : (1)
 +Nếu a = 0: 
 +Nếu c = 0: 
 +Nếu :