Hệ thống công thức Toán giúp ôn thi đại học

HỆ THỐNG CÔNG THỨC TOÁN GIÚP ÔN THI ĐẠI HỌC
I. CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM
1. u±v'=u'±v' 2. u.v'=u'.v+u.v' 3. uv'=u'.v-u.v'v2 4. (k.u)'=k.u' 5.1v'=-v'v2
6. y=ax2+bx+ca'x+b'=>y'=a.a'x2+2a.b'x+(b.b'-a'.c)a'x+b'2 7. y=ax+ba'x+b'=>y'=a.b'-a'.ba'x+b'2 8. lnx'=1x
II. ĐẠO HÀM VÀ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN
BẢNG ĐẠO HÀM
HÀM CƠ BẢN
HÀM SỐ HỢP
xα'=α.xα-1
uα'=α.u'.uα-1
(sinx)’=cosx
(sinu)’=u’.cosu
(cosx)’= -sinx
(cosu)’= -u’. sinu
tanx'=1cos2x=1+tanx2
tanu'=u'cos2u=u'.(1+tan2u)
cotx'=-1sin2x=-(1+cotx2)
cotu'=-u'sin2u=-u'.(1+cot2u)
logax'=1x.lna
logau'=u'u.lna
lnx'=1x
lnu'=u'u
ex'=ex
eu'=u'.eu
ax'=ax.lna
au'=u'.au.lna
BẢNG NGUYÊN HÀM
HÀM CƠ BẢN
HÀM SỐ HỢP
xαdx=xα+1α+1+c, (α≠-1)
(ax+b)αdx=1a.(ax+b)α+1α+1+c, (α≠-1)
sinxdx=-cosx+c
sin(ax+b)dx=-.1a.cos(ax+b)+c
cosxdx=sinx+c
cos(ax+b)dx=1a.sin(ax+b)+c
1cos2xdx=tanx+c
1cos2(ax+b)dx=1a.tan(ax+b)+c
1sin2xdx=-cotx+c
1sin2(ax+b)dx=-1a.cot(ax+b)+c
1xdx=lnx+c
1(ax+b)dx=1a.lnax+b+c
exdx=ex+c
eax+bdx=1a.eax+b+c
axdx=axlna+c
aαx+βdx=1α.aαx+βlna+c
xdx=23.xx+c
dxa2±x2dx=lnx+a2±x2+c
dxx2-a2dx=12a.lnx-ax+a+c
 1ax+bdx=2a.ax+b+c 
; ax+bdx=23.1a(ax+b)ax+b+c
1x2+a2dx thì Đặt x=a.sint ;t∈-π2;π2
dxa2-x2dx thì Đặt x=tant , t∈-π2;π2
III. CÔNG THỨC HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT THƯỜNG GẶP
Hàm số mũ
Hàm số Logarit
a-α=1aα; aαβ=βaα ; aα.aβ=aα+β ; aαaβ=aα-β
aα.β=aαβ=aβα; a.bα=aα.bα; abα=aαbα
logax=M⇔x=aM x>0;0<a≠1
loga1=0; logaa=1; logabα=α.logab
logaαb=1α.logab ; logaaα=α ; 
; logab.c=logab+logac
logabc=logab-logac ; alogbc=clogba; alogaα=α
logab=logac.logcb=logcblogca 
 ; logab=1logba
aα=aβ⇔α=β 0<a≠1
logaα=logaβα=β
a>1:aα>aβ≤>α>β0α<β
a>1:logaα>logaβα>β0logaβα<β
IV. LƯỢNG GIÁC ÔN LUYỆN
A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. HỆ THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
; ; 
 sin2x + cos2x = 1; tanx.cotx = 1
 sin2x=1-cosx(1+cosx)
 cos2x=1-sinx(1+sinx)
 tan2x=1cos2x-1 ; cot2x=1sin2x-1
 sin2x=tan2x1+tan2x ; cos2x=cot2x1+cot2x
 1 sin2x=1+tan2xtan2x ; 1 cos2x=1+cot2xcot2x
2. CÔNG THỨC QUY VỀ GÓC NHỌN
-∝
900-∝
900+∝
1800-∝
1800+∝
π2-∝
π2+∝
π-∝
π+∝
Sin
-sin∝
cos∝
cos∝
sin∝
-sin∝
Cos
cos∝
sin∝
-sin∝
-cos∝
-cos∝
Tan
-tan∝
cot∝
-cot∝
-tan∝
tan∝
Cot
-cot∝
tan∝
-tan∝
-cot∝
cot∝
Góc
HSLG
-∝
1800+∝
2700-∝
2700+∝
3600+∝
π+∝
3π2-∝
3π2+∝
2π+∝
Sin
-sin∝
-sin∝
-cos∝
-cos∝
sin∝
Cos
cos∝
-cos∝
-sin∝
sin∝
cos∝
Tan
-tan∝
tan∝
cot∝
-cot∝
tan∝
Cot
-cot∝
cot∝
tan∝
-tan∝
cot∝
3. CÔNG THỨC CỘNG
1. cosa+b=cosa.cosb
2. cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb
3. sina+b=sina.cosb+cosa.sinb
4. sina-b=sina.cosb-cosa.sinb
5. tana+b=tana+tanb1-tana.tanb
6. tana-b=tana-tanb1+tana.tanb
7. cota+b=cota.cotb-1cota+cotb
8. cota-b=cota.cotn+1cota-cotb
4. CÔNG THỨC NHÂN
Nhân đôi
Nhân ba
1. sin2a=2sina.cosa 
= sina+cosa2-1
 = 1-sina-cosa2
2. cos2a=2cos2a-1
=1-2sin2a=cos2a-sin2a
3. tan2a=2tana1-tan2a
1. cos3a=4cos3a-3cosa
2. sin3a=3sina-4sin3a
3. tan3a=3tana-tan3a1-3tan2a
5. CÔNG THỨC HẠ BẬC
6. CÔNG THỨC GÓC CHIA ĐÔI (Với t=tanx2)
1. cos2a=1+cos2a2
=>1+cos2a=2cos2a
2. sin2a=1-cos2a2
=>1-cos2a=2sin2a
3. tan2a=1-cos2a1+cos2a ;
 4.sina.cosa=12sin2a
5. cos3a=3cosa+cos3a4
6. sin3a=3sina-sin3a4
1. sinx=2t1+t2
2. cosx=1-t21+t2
3. tanx=2t1-t2
7. CÔNG THỨC TỔNG THÀNH TÍCH
8. CÔNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG
1. cosa+cosb=2 cosa+b2.cosa-b2
2. cosa-cosb=-2 sina+b2.sina-b2
3. sina+sinb=2 sina+b2.cosa-b2
4. sina-sinb=2 cosa+b2.sina-b2
5. tana+tanb=sin⁡(a+b)cosa.cosb
6. tana-tanb=sin⁡(a-b)cosa.cosb
7. cota+cotb=sin⁡(a+b)sina.sinb
8. cota-cotb=-sin⁡(a-b)sina.sinb
1. cosa.cosb=12cosa-b+cos⁡(a+b)
2. sina.sinb=12cosa-b-cos⁡(a+b)
3. sina.cosb=12sina-b+sin⁡(a+b)
Chú ý: 1. 1-cos2x=2sin2x;1+cos2x=2cos2x;
 1+cosx=2cos2x2;1-cosx=2sin2x2
2. sinx+cosx=2sinx+π4=2cosx-π4;
 sinx-cosx=2sinx-π4;cosx-sinx=2x+π4
3. sinx+3cosx=2 cosx-π6=2sinx+π3;
 3sinx+cosx=2sinx+π6=2cosx-π3
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
	1. Dạng phương trình: asinx+bcosx=c (a,b≠0)
+ Điều kiện phương trình có nghiệm: óa2+b2≥c2
2. Cách giải: 
Cách 1: Đưa phương trình về dạng:
 aa2+b2sinx+ba2+b2cosx=ca2+b2 (1)
Đặt cosφ=aa2+b2sinφ=ba2+b2 Khi đó, phương trình (1) ósinx+α=sinα
Cách 2. Xét 2 khả năng sau:
+ Nếu b+c=0=>cosx2=0 thỏa mãn phương trình
=> x=π+k2π, kϵZ thuộc vào tập hợp nghiệm
+ Nếu b+c≠0=>cosx2≠0. Khi đó đặt t=tanx2
Áp dụng công thức sinx=2t1+t2, cosx=1-t21+t2, ta quy phương trình đã cho về phương trình bậc 2 đối với t, sau đó giải t=tanx2
* Chú ý: Khi sử dụng phương pháp này người ta thường hay quên xét khả năng cosx2=0, mà đặt ngay t=tanx2. Khi đó sẽ dẫn đến khả năng có thể mất nghiệm của phương trình
	II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚ SINX VÀ COSX
	1. Dạng phương trình
a. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx có dạng:
 asin2x+bcos2x+csinxcosx+d=0
b. Phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với sin x và cosx có dạng
 asin3x+bsin2xcosx+csinxcos2x+dcos3x=0
	2. Cách giải:
+ Kiểm tra cosx =0 có phải là nghiệm hay không?
+ Sau đó xét tiếp trường hợp cosx≠0. Đặt tanx = t
Bằng cách chia cả 2 vế của phương trình cho cos2x với phương trình đẳng cấp bậc 2 và cho cos3x với phương trình đẳng cấp bậc 3, ta quy về phương trình bậc 2 (hoặc bậc 3) đối với t. Tìm được t, ta giải tiếp phương trình cơ bản: tanx = t. Ta sẽ dẫn đến nghiệm x cần tìm.
III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX
	1. Dạng phương trình
 a(sinx+cosx)k+b(sinx.cosx)m+c=0 (1) 
hoặc a(sinx-cosx)k+b(sinx.cosx)m+c=0 (2)
	2. Cách giải:
+ Với phương trình (1) dựa vào hệ thức: sinx.cosx=(sinx+cosx)2-12
Sau đó, đặt t=sinx+cosx (-2≤t≤2)
+ Với phương trình (2) dựa vào hệ thức: sinx.cosx=1-(sinx-cosx)22
Sau đó, đặt t=sinx-cosx (-2≤t≤2).
Như vậy ta đã đưa được phương trình (1) hoặc (2) về dạng phương trình đại số theo t. Sau đó giải phương trình sinx±cosx=t để suy ra đáp số ần tìm.