Giải toán hình học không gian

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 1
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Thầy: Lâm Tấn Dũng
Mở đầu
Hình học không gian là môn học khó đối với nhiều học sinh, nhưng nếu biết đưa ra phương
pháp giải cho từng dạng toán, kiên trì hướng dẫn học sinh thực hiện theo đúng phương pháp đó, thì
việc học và giải toán hình học không gian sẽ đỡ khó hơn rất nhiều và mỗi học sinh đều có thể học và
giải những đề thi đại học phần hình học không gian một cách nhẹ nhàng.
 BÀI TOÁN 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.
 Phương pháp:
 Cách 1 Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng đó.
 Điểm chung thứ nhất thường dễ thấy.
 Điểm chung thứ hai là giao điểm của 2 đường thẳng còn lại, không qua điểm chung thứ nhất.
 Cách 2
Nếu trong 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng // thì chỉ cần tìm 1 điểm chung, khi đó giao tuyến
sẽ đi qua điểm chung và // với 2 đường thẳng này.
 BÀI TOÁN 2: Tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P)
 Phương pháp:
 Ta tìm giao điểm của a với một đường thẳng b nào đó nằm trong (P).
 Khi không thấy đường thẳng b, ta thực hiện theo các bước sau:
1 . Tìm một mp(Q) chứa a.
2 . Tìm giao tuyến b của (P) và (Q).
3 . Gọi: A = a  b thì: A = a  (P).
 BÀI TOÁN 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
 Phương pháp:
Để chứng minh 3 điểm hay nhiều hơn 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh các điểm ấy thuộc 2
mặt phẳng phân biệt.
 BÀI TOÁN 4: Chứng minh 3 đường thẳng a, b, c đồng quy.
 Phương pháp:
 Cách 1:
Ta chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng này là điểm chung của 2 mp mà giao tuyến là
đường thẳng thứ ba.
 Tìm A = a  b.
 Tìm 2 mp (P), (Q), chứa A mà (P)  (Q) = c.
 Cách 2:
Ta chứng minh: a, b, c không đồng phẳng và cắt nhau từng đôi một.
 Một số phương pháp giải toán Hình Học Không Gian
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 2
 BÀI TOÁN 5: Tìm tập hợp giao điểm M của 2 đường thẳng di động a, b.
 Phương pháp:
 Tìm mp(P) cố định chứa a.
 Tìm mp(Q) cố định chứa b.
 Tìm c = (P)  (Q). Ta có M  c.
 Giới hạn.
 BÀI TOÁN 6: Dựng thiết diện của mp(P) và một khối đa diện T.
 Phương pháp:
Muốn tìm thiết diện của mp(P) và khối đa diện T, ta đi tìm đoạn giao tuyến của mp(P)
với các mặt của T. Để tìm giao tuyến của (P) với các mặt của T, ta thực hiện theo các bước:
1 . Từ các điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của T.
2. Kéo dài giao tuyến đã có, tìm giao điểm với các cạnh của mặt này từ đó làm tương tự ta
tìm được các giao tuyến còn lại, cho tới khi các đoạn giao tuyến khép kín ta sẽ có thiết diện cần dựng.
 BÀI TOÁN 7: Chứng minh một đường thẳng a đi qua 1 điểm cố định.
 Phương pháp:
Ta chứng minh: a = (P)  (Q) trong đó (P) là một mặt phẳng cố định và (Q) di động quanh
một đường thẳng b cố định. Khi đó a đi qua: I = (P)  b.
 BÀI TOÁN 8: Chứng minh 2 đường thẳng a, b song song.
 Phương pháp:
 Cách 1
Ta chứng minh: a , b đồng phẳng rồi áp dụng các phương pháp chứng minh // trong hình học
phẳng như: Ta lét, đường trung bình,  để chứng minh: a // b.
 Cách 2
Chứng minh: a, b cùng // với một đường thẳng thứ ba c.
 Cách 3
Áp dụng định lý về giao tuyến: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng
song song cho trước thì giao tuyến của chúng cùng phương với 2 đường thẳng ấy.
 BÀI TOÁN 9: Tìm góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a, b.
 Phương pháp:
 Lấy một điểm O tùy ý.
 Qua O dựng c // a, d // b.
 Góc nhọn tạo bởi c và d là góc giữa 2 đường thẳng a, b.
 Chú ý: Ta nên chọn O thuộc a hoặc b khi đó ta chỉ cần vẽ một đường thẳng // với đường còn lại
 BÀI TOÁN 10: Chứng minh đường thẳng a song song với mp(P).
 Phương pháp:
 Cách 1
Ta chứng minh: a // với một đường thẳng b  (P). Khi không thấy được b ta làm theo các
bước:
 Tìm một mp(Q) chứa a.
 Tìm b = (P)  (Q).
 Chứng minh: b // a.
 Cách 2
Chứng minh: a  (Q) // (P).
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 3
 BÀI TOÁN 11: Dựng thiết diện song song với một đương thẳng a cho trước.
 Phương pháp:
Ta dựa vào tính chất: Mặt phẳng song song với đường thẳng a, nếu cắt mặt phẳng nào chứa a
thì sẽ cắt theo giao tuyến song song với a.
 BÀI TOÁN 12: Chứng minh 2 mặt phẳng song song.
 Phương pháp:
Chứng minh mặt phẳng này chứa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng
cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia.
 BÀI TOÁN 13: Thiết diện cắt bởi một mặt phẳng song song với một mp cho trước.
 Phương pháp:
Dựa vào Định lý: Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt bởi một mp thứ ba thì 2 giao tuyến //
nhau.
 BÀI TOÁN 14: Chứng minh 2 đường thẳng  nhau.
 Phương pháp:
 Cách 1
Chứng minh đường thẳng này  với mặt phẳng chứa đường kia.
 Cách 2
Nếu 2 đường thẳng cắt nhau thì sử dụng các phương pháp đã dùng trong hình học phẳng để
chứng minh.
 Cách 3
Dùng Vectơ.
 BÀI TOÁN 15: Chứng minh đường thẳng amặt phẳng (P).
 Phương pháp:
 Cách 1
Chứng minh: a  với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong (P).
 Cách 2
Chứng minh a là trục của mp(P) (Tức là chứng minh: MA = MB = MC, NA = NB = NC
với M, N  a, A, B, C(P)).
 Cách 3
Chứng minh: a  (Q) (P) và a b = (P)  (Q).
 Cách 4
Chứng minh a là giao tuyến của 2 mặt phẳng cùng  (P).
 BÀI TOÁN 16: Dựng thiết diện của mp(P) qua một điểm A cho trước và  đường thẳng a
cho trước.
 Phương pháp:
 Cách 1
Nếu có 2 đường thẳng: b, c cắt nhau hay chéo nhau cùng  với a thì: (P) // a
(hay chứa a), (P) // b (hay chứa b) ta đưa việc dựng thiết diện về phần //.
 Cách 2
Dựng mp(P) như sau: Dựng 2 đường thẳng cắt nhau: b, c cùng  a, b hoặc c qua A, (P) =
mp(b, c).
 BÀI TOÁN 17: Dựng đường thẳng a qua A cho trước vàmp(P) cho trước. Tính khỏang
cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 4
 Phương pháp:
1 . Chọn trong (P) đường thẳng d.
2. Tìm mp(Q) qua A và  d. (Tức là tìm 2 đường thẳng cắt nhau  d trong đó có 1 đường
thẳng qua A)
3 . Tìm: c = (P)  (Q).
4 . Dựng: AH c tại H. AH là đường thẳng qua A và (P), AH = d[A, (P)].
 Chú ý
1 . Nếu: AB // (P) thì d[A, (P)] = d[B, (P)].
2 . Nếu: AB  (P) = I thì: d[A, (P)] / d[B, (Q)] = IA/ IB.
 BÀI TOÁN 18: Tìm tập hợp hình chiếu  M của điểm cố định A trên đường thẳng d thay
đổi trong mp(P) cố định và d qua điểm cố định O.
 Phương pháp:
1 . Dựng AH (P) (H(P)) ta có: HM d. (Theo ĐL 3 đường  ).
2. Trong mp(P) góc HMO vuông nên M thuộc đường tròn đường kính OH chứa trong (P).
 BÀI TOÁN 19: Tìm tập hợp hình chiếu H của một điểm cố đinh A trên mp(P) di động chứa
đường thẳng d cố định
 Phương pháp:
1 . Tìm mp(Q) qua A và  d.
2 . Tìm c = (P) (Q).
3 . Chiếu  A lên c, điểm chiếu là H thì H chính là hình chiếu  của A trên (P).
4 . Gọi E = d (Q). Trong mp góc AHE = 900 nên H thuộc đường tròn đường kính AE.
 BÀI TOÁN 20: Tìm góc giữa đường thẳng a và mp(P).
 Phương pháp:
1 . Tìm O = a (P).
2. Chọn A a và dựng AH (P) (H(P))
(dựng đường thẳng qua điểm A cho trước và mp cho trước).  ( , )AOH a  .
 BÀI TOÁN 21: Góc giữa 2 mặt phẳng (P), (Q) - Góc nhị diện.
 Phương pháp:
1 . Tìm c = (P)  (Q).
2 . Tìm (R) c (Tức là tìm 2 đường thẳng cắt nhau cùng  c).
3 . Tìm a = (R)  (P), b = (R)  (Q) (đối với góc giữa 2 mặt phẳng ), ((P), (Q)) = (a, b).
Ox = (R)  (P), Oy = (R)  (Q) (Đối với góc nhị diện). ((P), d, (Q)) = (Ox, Oy).
• Chú ý Nếu có 2 đường thẳng a, b lần lượt  với (P) và (Q) thì: ((P), (Q)) = (a, b).
 BÀI TOÁN 22: Mặt phân giác của nhị diện ((P), c, (Q)).
 Phương pháp:
 Cách 1
1 . Tìm góc phẳng xOy của nhị diện (Ox c, Oy c, O c) ((P), c, (Q)).
2 . Mặt phân giác của nhị diện ((P), c, (Q)) là mp qua cạnh c và phân giác Ot của góc xOy.
 Cách 2
1 . Tìm một điểm A cách đều 2 mặt của nhị diện ((P), c, (Q)).
2 . Mặt phẳng phân giác của nhị diện là mặt phẳng qua A và c.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 5
 BÀI TOÁN 23: Chứng minh 2 mặt phẳng (P), (Q) vuông góc.
 Phương pháp:
 Cách 1
Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng  với mặt phẳng kia.
 Cách 2
Chứng minh góc giữa 2 mặt phẳng có số đo = 900 .
 BÀI TOÁN 24: Xác định mp P chứa đường thẳng a vàmp(Q). (a không (Q))
 Phương pháp:
1 . Chọn 1 điểm A a.
2 . Dựng AH  (Q). Khi đó (P) = (a, AH).
 Chú ý Nếu có đường thẳng d (Q) thì (P) // d hay (d)  (P).
BÀI TOÁN 25: Tìm khoảng cách - Dựng đoạn chung của 2 đương thẳng chéo nhau a, b.
 Phương pháp:
 Cách 1
1 . Tìm mp(P) a, tìm O = a  (P).
2 . Tìm hình chiếu b’ của đường thẳng b trên mp(P)
 Tìm: I = b (P).
 Lấy điểm M  b dựng qua M đường thẳng: MK (P), ta có IK = là hình chiếu b’ của b trên
(P).
3 . Trong mp(P) dựng: OH  b’ ta có: OH = d[a, b].
4 . Dựng: HB // a, B  b.
5 . Dựng: BA // OH, A  a ta có AB là đoạn  chung của a và b.
 Cách 2
1 . Tìm mp(P) chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b.
2. Khi đó: d[a, b] = d[b, (P)] = d[M, (P)] (M là điểm tùy ý trên b)
 Định lý Euler: Gọi: d, c, m theo thứ tự là số đỉnh, số cạnh và số mặt của một khối đa diện lồi. Khi
đó ta có: d – c + m = 2.
 Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S.
Ta có: . ' ' '
.
' ' '. .S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
 .
 Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của O trên (P) và d = OH
a. d < R: (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn C(H; r) và 2 2r R d  .
 Một số công thức cần nhớ
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 6
b. d = R: (P) cắt (S) tại một điểm duy nhất H.
c. d > R: (P)  (S) = : (P) không cắt (S).
 Diện tích mặt cầu - Thể tích khối cầu
 S = 4R2  V = 4/3.R3
 Diện tích hình trụ - Thể tích khối trụ
 SXQ = 2Rh = 2Rl  V = R2h = R2l  STP = SXQ + S2ĐÁY
Trong đó R là bán kính đáy, h là chiều cao và l là đường sinh của một khối trụ.
 Diện tích mặt nón - Thể tích khối nón
 Sxq = Rl = 1/2.chu vi đáy nhân đường sinh
 V = 1/3.R2h = 1/3 diện tích đáy nhân chiều cao .
 Stp = Sxq + Sđáy
A. Các đề thi Đại học từ năm 2002 đến 2011.
Bài 1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là các
trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mp(AMN) vuông
góc với mặt phẳng (SBC).
 Hướng Dẫn:
2 10
16
aS 
Bài 2 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a.
1. Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A1B, B1D.
2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B1B, CD, A1D1. Tính góc giữa 2 đường
thẳng MP và C1N.
 Hướng Dẫn: 1. / 6d a 2. 900
Bài 3 Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4cm, AB =
3cm, BC = 5cm. Tính d[A, (BCD)].
 Hướng Dẫn:  6 34 / 17d cm
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA  mp(ABC). Tính
d[A, (SBC)] theo a biết rằng SA = 6
2
a .
 Hướng Dẫn: 2 / 2d a
Bài 5 Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi a, b, c lần lượt là góc giữa
mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng: cosa + cosb + cosc
3 .
Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA  (ABCD) và SA = a. Gọi E
là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách d = d[S, BE].
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 7
 Hướng Dẫn: 3 5 / 5d a
Bài 7 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng với mp(ABC) tại
điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 600. Tính độ dài đoạn SA theo
a.
 Hướng Dẫn: 3 / 2SA a
Bài 8 Tính thể tích khối tứ diên ABCD biết: AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB
đều bằng 600.
 Hướng Dẫn: . 2 /12V abc
Bài 9 Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh a = 6 2 cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng AD và BC.
 Hướng Dẫn: Đoạn vuông góc chung là MN với M, N là trung điểm của BC và AD, MN = 6 (cm).
Bài 10 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B, A1C, D].
 Hướng Dẫn: 1200
Bài 11 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân với: AB = AC = a và góc BAC =
1200, cạnh bên BB1 = a. Gọi I là trung điểm CC1. Chứng minh rằng tam giác AB1I vuông ở A. Tính
cosin của góc giữa 2 mặt phẳng (ABC), (AB1I).
 Hướng Dẫn: os 30 /10c  
Bài 12 Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b, (BCD)  (ABC), góc BDC = 900. Xác định tâm
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
 Hướng Dẫn: 2 2 2/ 4R a a b 
Bài 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a, góc BAD = 600,
gọi M là trung điểm cạnh AA1 và N là trung điểm cạnh CC1. Chứng minh rằng 4 điểm B1, M, D, N
cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA1 theo a để tứ giác B1MDN là hình vuông.
 Hướng Dẫn: 1AA 2a
Bài 14 Cho hình lập phương ABC.A1B1C1. Tìm điểm M thuộc cạnh AA1 sao cho mp(BD1M) cắt
hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.
 Hướng Dẫn: M là trung điểm của đoạn AA1 .
Bài 15 Cho hình chóp đều SABC đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng b (00 <
b < 900). Tính thể tích khối chóp S.ABC và d[A, (SBC)].
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 8
 Hướng Dẫn: 3 tan / 24V a b , 3 sin / 2d a b
Bài 16 Cho mpP  mpQ có giao tuyến là đường thẳng d. Trên d lấy 2 điểm A, B với AB = a.
Trong mpP lấy điểm C, trong mpQ lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với d và AC = BD =
AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính d[A, (BCD)] theo a.
 Hướng Dẫn: 3 / 2 , 2 / 2R a d a 
Bài 17 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, SA (ABC), SA
= 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam
giác AMB theo a.
 Hướng Dẫn: 2 2 / 2S a
Bài 18 Cho tứ diện ABCD có AD (ABC) tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính
diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng 2S  abc a b c  
 Hướng Dẫn: 2 2 2 2 2 21/ 2.S a b b c c a   , sử dụng BĐT Cauchy.
Bài 19 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
b (00 < b < 900). Tính tang của góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo b. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a và b.
 Hướng Dẫn: 32 tan / 6V a b
Bài 20 Cho hình trụ có đáy là 2 hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên
đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho: AB = 2a. Tính thể
tích của khối tứ diện OO’AB.
 Hướng Dẫn: 3 3 /12V a
Bài 21 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = 3
2
a và góc
 060BAD  . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ 
mp(BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
 Hướng Dẫn: V = 3a3 / 16
Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA  (ABCD).
SB tạo với mặt đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3 / 3a . Mặt phẳng (BCM)
cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
 Hướng Dẫn: 310 3. / 27V a
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 9
Bài 23 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a, SA  (ABC).
Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của
khối chóp A.BCNM.
 Hướng Dẫn: 33 3 / 50V a
Bài 24 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, gọi SH là đường cao của hình chóp.
Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
 Hướng Dẫn: 3 2 22 / 3 16V a b a b 
Bài 25 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC’ sao cho:
CK = 2/3a. Mặt phẳng () đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành 2 khối đa
diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
 Hướng Dẫn: V1 = a3 /3, V2 = 2a3 /3
Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với: AB = a, AD = a 2 , SA = a, SA 
(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh
rằng mặt phẳng (SAC)  (SMB). Tính thể tích của khối chóp ANIB.
 Hướng Dẫn: 3 2 / 36V a
Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 060BAD  và SA  (ABCD), SA
= a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB,
SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.
 Hướng Dẫn: 3 3 /18V a
Bài 28 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh
bên A’A = b. Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính tan và thể tích của khối chóp
A’.BB’C’C.
 Hướng Dẫn: 2 2 2 2 2tan 2 3 / , . 3 / 6b a a V a b a    
Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD.
Chứng minh AM  BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
 Hướng Dẫn: 3 3 / 96V a
Bài 30 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng
của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN 
BD và tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SINH QUA DẠY HỌC MÔN TOÁN NĂM HỌC 2011-2012
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG trang 10
 Hướng Dẫn: 2 / 4d a
Bài 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,  090ABC BAD  , AB = BC = a, AD = 2a.
Cạnh bên SA  (ABCD) và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh
SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mp(SCD).
 Hướng Dẫn: d = a/3
Bài 32 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB
= a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ trên mp(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính
theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AA’, B’C’.
 Hướng Dẫn: V = a3/2, cosφ = 1/4
Bài 33 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt
phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng SM, DN.
 Hướng Dẫn: 3 3 / 3V a , os 1/ 5c  
Bài 34 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên
AA’= a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C.
 Hướng Dẫn: 3 2 / 2 , / 17V a d a 
Bài 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD =
a, góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt
phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo
a.
 Hướng Dẫn: 33 15 / 5V a
Bài 36 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng
600 . ABC vuông tại C và  060BAC  . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mp(ABC) trùng với
trọng tâm của ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a.
 Hướng Dẫn: V= 9a3/208
Bài 37 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a,
A’C = 3a. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mp(IBC).
 Hướng Dẫn: V = 4a3 / 9, 2 5 / 5d a
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO CỦA HỌC SIN