Giải tích 12 - Ôn tập chương 1

Chương I: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM, KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Định lý:
a/ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b).
Nếu f’(x)>0, thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b).
Nếu f’(x)<0, thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b).
b/ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b).
Nếu f’(x)0, thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b).
Nếu f’(x) 0, thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b).
Dạng Bài tập:
Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
Cách giải:
Bước 1: Tìm txđ, tính đạo hàm cấp 1.
Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0, hoặc không xác định.
Bước 3: Lập bảng biến thiên (sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần ).
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên kết luận.
Bài tập: 
Xác định các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
1/ 	2/ 	
3/ 4/ 	
5/ 	6/ 
Dạng 2: dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức.
Cách giải:
Bước 1: Chọn hàm số thích hợp.
Bước 2: Xét tính đơn điệu của hàm số, suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập: 
Chứng minh bất đẳng thức sau: 1/ 
2/ 
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:
1/ 	2/ 	3/ 
Bài 2: Cho hàm số Tìm tham số m để:
1/ Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
2/ Đồng biến trên khoảng 
3/ Nghịch biến trên (0;3).
Bài 3: Cho hàm số Tìm tham số m để:
1/ Hàm số đồng biến trên R.
2/ Nghịch biến trên ().
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Định lý:
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a; b).
1/ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
2/ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x).
Quy tắc 1: 
1/ Tìm tập xác định của hàm số.
2/ Tính f’(x). Tìm các điểm mà tại đó f’(x)=0, hoặc f’(x) không xác định.
3/ Lập bảng biến thiên.
4/ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị của hàm số.
Quy tắc 2:
1/ Tìm TXD
2/ Tính f’(x). Giải pt f’(x) = 0 được các nghiệm .
3/ Tính 
4/ Dựa vào dấu của mà kết luận tính chất cực trị của .
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
1/ 	2/ 	
3/ 4/ 	
5/ 6/ 	
Bài 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số sau:
1/ f(x)= sin2x	2/ f(x)= cos2x 	3/ f(x)= cosx + x
4/ f(x)= sinx + x
Bài tập vận dụng:
Dạng 1: Định m để hàm số đạt cực trị tại . 
Cách giải:
Giải phương trình để tính m.
Thử lại điều kiện đủ bằng quy tắc 1 hoặc quy tắc 2.
Dạng 2: Định m để hàm số đạt cực trị bằng 
Cách giải:
Dùng 2 điều kiện: 
Thử lại điều kiện đủ.
Dạng 3: Điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Cách giải:
Tìm TXD, tính y’.
Điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu là y’ phải đổi dấu 2 lầny’ = 0 có hai nghiệm phân biệt thuộc tập xác định
Bài tập:
Bài 1: Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 0.
Bài 2: Cho hàm số . Tìm m để
1/ Hàm số đạt cực đại tại x = 2.
2/ Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3.
Bài 3: Cho hàm số . Xác định m để hàm số.
1/ Đạt cực đại tại x = 0.
2/ Đạt cực tiểu tại x =2.
Bài 4: Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m.
Bài 5: Xác định m để hàm số không có cực trị với mọi m.
Bài 6: CMR hàm số không có cực trị với mọi m.
Bài 3 GÍA TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn 
Bước 1: Tính y’
Bước 2: Giải pt y’ = 0. Giả sử có các nghiệm là (i=1,2...) thuộc 
Bước 3: Tính f(a), f(b), f().
Bước 4: So sánh và kết luận.
Bài tập:
Tìm gtln, gtnn của hàm số sau:
1/ 	2/ 
3/ 	4/ 
5/ 	6/ 
7/ 	8/ 
Bài 4: TIỆM CẬN
Tiệm cận đứng:
Nếu một trong các điều kiện thì đường thẳng x = là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận ngang:
Nếu một trong các điều kiện thì đường thẳng y = là tiệm cận ngang của đồ thị.
Bài tập ứng dụng:
Bài 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiềm cận ngang (Nếu có) của các hàm số sau:
1/ 	2/ 	3/ 	
4/ 5/ 	6/ 	
7/ 
Bài 2: 
1/ Xác định tham số m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua điểm M(-1;2)
2/ Xác định tham số m để tiệm cận đứng của đồ thị hs đi qua N(-1;0)
BÀI 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:
Các bước khảo sát hàm số:
Tập xác định.
Sự biến thiên
Chiều biến thiên:
+/ Tính y’
+/ Tìm các nghiệm của pt y’ = 0 và các điểm mà tại đó y’ không xác định.
+/ Chiều biến thiên
Cực trị
Giới hạn.
Bảng biến thiên.
Đồ thị:
Dựa vào bảng biến thiên, lập bảng giá trị và vẽ đồ thị hàm số.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
1/ 	2/ 	3/ 
4/ 	5/ 
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
1/ 	2/ 	
3/ 4/ 5/ 	
Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
1/ 	2/ 3/ 
4/ 	5/ 	6/ 
7/ 	8/ 	9/ 
Các bài toán liên quan đến khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của pt theo tham số m.
Đưa phương trình cần biện luận nghiệm về dạng f(x) = g(m)
Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), nhận xét số giao điểm của đồ thị hai hàm số.
Kết luận.
Sự tương giao của đường thẳng với đồ thị.
Tập xác định.
Lập phương trình hoành độ giao điểm.
Kết luận
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 
Phương trình tiếp tuyến có dạng (1)
Tính 
Thay vào pt (1), thu gọn
Kết luận phương trình tiếp tuyến.
Dạng 2: Viết pttt của đồ thị hàm số, biết được 
Phương trình tiếp tuyến có dạng (1)
Giải pt 
Tính 
Thay vào (1), kết luận pttt.
Dạng 3: Viết pttt, biết trước hệ số góc k
Phương trình tiếp tuyến có dạng (1)
Giai pt 
Tính 
Thay vào (1), kết luận pttt.
Bài tập liên quan đến khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Bài 1: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số đã cho khi m = 3.
Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = -x +1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao cho tiếp tuyến với (Cm) tại B và C vuông góc với nhau.
Bài 2: Cho hàm số (a và b là tham số)
Khảo sát hàm số khi a = 1, b = 2.
Dùng đồ thị (C) của hàm số biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
Tìm a và b để đồ thị hàm số đã cho đặt cực trị bằng 4 khi x = 2.
Bài 3: Cho hàm số: 
Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
Viết pt tiếp tuyến của đường cong (C) tại các điểm uốn.
Tìm m để đường cong (Cm) đi qua điểm (1; 0), điểm này có đặc điểm gì.
Bài 4: Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số trên.
Tìm các giao điểm của (C) và đường thẳng 
Bài 5: Cho hàm số 
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
Viết pt tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành đọ x = 2.
Bài 6: Cho hàm số 
Tìm m biết rằng đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng ½.
Khảo sát sbt vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 2.
Dựa vào đồ thị giải bất phương trình 
Bài 7: Cho hàm số (Ck)
Khảo sát hàm số khi k = - 1.
CMR (Ck) luôn đi qua hai điểm cố định khi k thay đổi. Gọi hai điểm cố định đó là A và B.
Tìm các giá trị của k để cho các tiếp tuyến của (Ck) tại A và B vuông góc với nhau.
Bài 8: Cho hàm số 
Xác định m biết rằng đồ thị có hoành độ điểm uốn bằng -1.
Khảo sát hàm số ứng với m = 2.
Dựa vào đồ thị của hàm số vừa khảo sát, biện theo k số nghiệm của pt 
Bài 9: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số đã cho.
Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của đồ thị (C) và có hệ số góc k. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d, tìm tọa đọ các giao điểm đó trong trường hợp k = 1.
Bài 10: Cho hàm số: 
Với những giá trị nào của m thì y là một hàm số nghịch biến.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
Bài 11: Cho hàm số: 
Khảo sát hàm số ứng với m = 2.
Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại hai điểm phân biệt.
Bài 12: Cho hàm số: 
Khảo sát hàm số khi m = 4
Dùng đthị hàm số biện luận theo k số nghiệm của pt 
Tìm các điểm cố định đò thị luôn đi qua khi m thay đổi.
Bài 13: Cho hàm số: 
Khảo sát hàm số đã cho.
Một đường thẳng qua góc tọa độ O có hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của đường thẳng và đò thị hàm số.
Bài 14: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số khi m = 3.
Dùng đồ thị (C) của hàm số, biện luận theo k số nghiệm của pt 
Gọi (Cm) là đồ thị hàm số đã cho. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (Cm) tại điểm uốn của nó đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Bài 15. Cho hàm số (C)
Tìm giá trị của a và b để đồ thị (C) hàm số cắt trục tung tại điểm A(0; - 1) và tiếp tuyến tại a có hệ số góc bằng – 3. Khảo sát hàm số với giá trị a và b vừa tìm được.
Đường thẳng d có hệ số góc m đi qua điểm B(-2;2), với giá trị nào của m thì d cắt (C).
Nếu d và (C) giao nhau tại hai điểm, tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng nói hai giáo điểm đó.
Bài 16: Cho hàm số: (C)
Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) trong các trường hợp sau:
Tung độ của tiếp điểm bằng 5/2.
Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - x +3.
Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 4x + 10.
Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 0).
Bài 17: Cho hàm số: (Cm)
Tìm m để (Cm) nhận điểm I(1;2) làm điểm uốn.
Xác định m để hàm số có cực trị.
Tìm tọa độ điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua khi m thay đổi.
Tìm m để (Cm) tiếp xúc trục hoành.
Bài 18: Cho hàm số: 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Chỉ rõ giao của (C) với trục hoành, trục tung.
Viết pt tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn. Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.
Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của pt 
Bài 19: Cho hàm số (a,b là tham số).
Tìm a, b để hàm số đặt cực trị bằng -2 tại x = 1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với giá trị của a và b vừa tìm được.
Bài 20: Cho hàm số: (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d có phương trình
y – 2x – m = 0.