Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

 Tờn : Trương Quang An
 Giỏo viờn Trường THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xó Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngói
 Điện thoại : 01208127776
giảI phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Sau khi trực tiếp giảng dạy Toán lớp 8 với chương trình sách giáo khoa mới trong 2 năm, qua quá trình giảng dạy và kết quả các bài kiểm tra ở chương IV Đại số 8 tôi nhận thấy học sinh thường lúng túng hoặc không đủ kiến thức để giải thành thạo các phương trình chứa đấ giá trị tuyệt đối. Khi học sinh không nắm vững kiến thức về trị tuyệt đối cũng như các phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cơ bản thì việc không biết giải hoặc mắc sai lầm là điều khó tránh khỏi. Mà kiến thức về trị tuyệt đối và các bài tập liên quan rất quan trọng trong chương trình, đặc biệt là chương trình toán lớp 9 và toán cấp 3 sau này. 
các kiến thức cơ bản về GIá TRị TUYệT Đối
Trước khi đưa ra các dạng toán về giá trị tuyệt đối cùng với phương pháp giải thì giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc và nhớ được định nghĩa về giá trị tuyệt đối, từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào làm bài tập.
Định nghĩa
a, Định nghĩa 1( lớp 6) :
 Giá trị tuyệt đối của số nguyên a, kí hiệu là , là khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc 0 trên trục số ( hình 1).
-a
0
a
-a
a
Hình 1
Ví dụ 1:
 = 3 
 Do đó đẳng thức đã cho được nghiệm đúng bởi hai số tương ứng với hai điểm trên trục số ( hình 2)
-3
0
3
Hình 2
	Tổng quát:; 	
Ví dụ 2:
	a 3 nếu a 0	0 a 3
 3 	 -3 a 3
	-a 3 nếu a < 0	-3 a < 0
 Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn và trên trục số thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn ( hình 3)
-3
0 
3
Hình 3
 Ví dụ 3:
	 a 3 nếu a 0 a 3 nếu a 0
 3 	 3 a hoặc a 3
	 -a 3 nếu a < 0 a -3 v nếu a < 0
Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của hai nửa đoạn (-; 3] và [3; + ) và trên trục số thì đợc nghiệm đúng bởi hai nửa đoạn tương ứng với các khoảng số đó. (hình 4)
-3
0
3
Hình 4
Tổng quát:	 
	b, Định nghĩa 2 ( lớp 7-9):
 Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu là:
	a nếu a 0
 = 
	-a nếu a < 0
Ví dụ1: 
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí hiệu là:
	A(x) nếu A(x) 0
 = 
	-A(x) nếu A(x) < 0
Ví dụ 2:
	2x - 1 nếu 2x- 1 0	 2x - 1 nếu 
	 = = 
	-(2x - 1) nếu 2x - 1 < 0	 1 - 2x nếu x < 
Các tính chất
2.1. Tính chất 1:	 0 a
2.2. Tính chất 2: = 0 a = 0
2.3. Tính chất 3: - a 
2.4 Tính chất 4: = 
 Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối người ta rễ thấy được các tính chất trên
2.5. Tính chất 5: 
Thật vậy: - a ; - a -( +) a + b +
2.6. Tính chất 6:
 - 
Thật vậy: = 	(1)
 	 (2)
Từ (1) và (2) đpcm.
2.7. Tính chất 7:
Thật vậy: 	(1)
 	 	(2)
 	(3)
Từ (1), (2) và (3) 	(4)
 	(5)
Từ (4) và (5) đpcm.
2.8. Tính chất 8:
Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b 0 hay a 0, b= 0 
	(1)
a > 0 và b > 0 = a, = b và a.b > 0
	(2)
a 0
	(3)
a > 0 và b < 0 = a, = -b và a.b < 0
	(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.
2.9. Tính chất 9:
Thật vậy: a = 0 	(1)
 a > 0 và b > 0 = a, = b và 	(2)
 a < 0 và b < 0 = -a, = -b và 	(3)
 a > 0 và b < 0 = a, = -b và 	(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) đpcm.
II. Các dạng cơ bản và phương pháp giảI phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 
Trước tiên học sinh cần nắm chắc được các tính chất của giá trị tuyệt đối. Làm các bài tập đơn giản với sự hướng dẫn của giáo viên. Sau đó làm các bài tập nâng cao và bài tập đòi hỏi sự tư duy của học sinh.
Cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá trị tuyệt đối (chủ yếu là định nghĩa về giá trị tuyệt đối của 1 số, 1 biểu thức) để đưa bài toán trên về bài toán trong đó không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối để có thể tiến hành các phép tính đại số quen thuộc.
Xuất phát từ kiến thức trên người ta phát triển thành yêu cầu giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp 8 chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh quan tâm tới 3 dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, bao gồm:
Dạng 1: Phương trình: , với k là hằng số không âm.
Dạng 2: Phương trình: 
Dạng 3: Phương trình: .
Để học sinh tiếp cận và nắm vững các phương pháp giải ta cần hướng dẫn học sinh theo thứ tự cụ thể như sau:
Bài toán 1: Giải phương trình: , với k là hằng số không âm.
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Khi đó nghiệm x.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ1: Giải các phương trình sau:
a, b, - 2 = 0
a, ta có 
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b, Điều kiện xác định của phương trình là x 0.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = và x = 1.
Bài tập : Giải các phương trình sau:
	a, 
	b, 
	c, 
	d, 
Bài toán 2: Giải phương trình: 
Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Khi đó nghiệm x.
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a, b, . c, 
 Giải:
a, Biến đổi tương đương phương trình:
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -6 và x = 0.
b, Điều kiện xác định của phương trình là x 0.
Biến đổi tương đương phương trình:
Vậy phương trình có nghiệm x = 1
Ví dụ 3: Giải phương trình: = , với m là tham số.
Giải :
Biến đổi tương đương phương trình:
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3m + 6 và x = m – 2
Bài tập củng cố: 
Giải các phương trình sau:
	a, 
	b, |x - 3,5| = |4,5 - x|
c, 
d, 
Bài toán 3: Giải phương trình: 
Phương pháp giải:
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau:
Cách 1: (Phá dấu giá trị tuyệt đối) Thực hiện các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần).
Bước 2: Xét hai trường hợp:
-Trường hợp 1: Nếu f(x) 0 (1)
Phương trình có dạng: f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (1)
-Trường hợp 2: Nếu f(x) < 0 (2)
Phương trình có dạng: -f(x) = g(x) => nghiệm x và kiểm tra điều kiện (2)
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
Cách 2: Thực hiện các bước:
Bước 1: Đặt điều kiện để f(x) và g(x) xác định (nếu cần) và g(x) 0.
Bước 2: Khi đó: Nghiệm x
Bước 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình.
 Ví dụ 4: Giải phương trình: .
Cách 1: Xét hai trường hợp:
-Trường hợp 1: Nếu x + 4 0 x -4 (1)
Phương trình có dạng: x + 4 + 3x = 5 4x = 1 x = thoả mãn điều kiện (1)
-Trường hợp 2: Nếu x + 4 < 0 x < - 4 (2)
Phương trình có dạng: -x - 4 + 3x = 5 2x = 9 x = không thoả mãn tra 
điều kiện (2).
Vậy phương trình có nghiệm x = .
Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng 
Với điều kiện - 3x + 5 0 - 3x - 5 x 
 Khi đó phương trình được biến đổi:
Vậy phương trình có nghiệm x = .
Lưu ý1:
Qua ví dụ trên các em học sinh sẽ thấy rằng cả hai cách giải đều có độ phức tạp như nhau. Vậy trong trường hợp nào cách 1 sẽ hiệu quả hơn cách 2 và ngược lại?
Khi vế phải là một biểu thức không là đa thức có bâc 1 ta nên sử dụng cách 1 vì khi sử dụng cách 2 thì việc tìm x thoả mãn điều kiện g(x) không âm phức tạp hơn.
Khi biểu thức trong trị tuyệt đối ở dạng phức tạp thì không nên sử dung cách 1 vì sẽ gặp khó khăn trong việc đi giải bất phương trình f(x) 0 và f(x) < 0.
Tuy nhiên học sinh có thể khắc phục bằng cách không di giải điều kiện mà cứ thực hiện các bước biến đổi phươnmg trình sau đó thử lại điều kiện mà không đối chiếu.
Ví dụ 5: Giải các bất phương trình:
a, b, 
	Giải:
a, Xét hai trường hợp.
 -Trường hợp 1:
 Nếu x + 1 0 x -1 (1)
Khi đó phương trình có dạng: x + 1 = x2 + x 
 x2 = 1 
 x = 1 (thoả mãn đk 1)
 -Trường hợp 2:
 Nếu x + 1 < 0 x < -1 (2)
Khi đó phương trình có dạng: - x - 1 = x2 + x 
 x2 + 2x + 1 = 0
 (x+1)2 = 0 
 	 x = -1 ( không thoả mãn đk 2).
Vậy phương trình cób hai nghiệm x = 1
b, Viết lại phương trình dưới dạng:
 với điều kiện 2x - 4 0 2x 4 x 2 (*)
Ta có: 
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Lưu ý 2: - Đối với một số dạng phương trình đặc biệt khác ta cũng sẽ có những cách giải khác phù hợp chẳng hạn như phương pháp đặt ẩn phụ, sử dụng bất đẳng thức Côsi.
Ví dụ 6: Giải phương trình 
Viết lại phương trình dưới dạng 
 (1)
Đặt = t ( t 0)
Khi đó từ (1) ta có phương trình 
t2 - 2t - 3 = 0 
 t2 + t - 3t - 3 = 0 
 t(t + 1) - 3(t + 1) = 0 
 (t + 1)(t - 3) = 0
 t = - 1 (loại) và t = 3 (t/m)
Với t = 3 ta được = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2 và x = 4.
Bài tập củng cố:
Bài 1: Giải các phương trình:
a, 
b, 
c, 
d, 
e, 
Bài 2: Giải và biện luận phương trình sau
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
	|x2 - 2x + m| = x2 + 3x - m - 1 
Bài toán 4: Giải phương trình: |f(x)| + |g(x)| = a.
Phương pháp giải: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối
ở dạng này phải lập bảng xét dấu để xét hết các trường hợp xảy ra (lưu ý học sinh số trường hợp xảy ra bằng số biểu thức chứa đấu giá trị tuyệt đối cộng thêm 1).
Ví dụ 7: Giải phương trình (1)
Điều kiện xác định của phương trình là x -1
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đặt t = điều kiện t > 0
Khi đó (1) 
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
VT = =2
Ta thấy dấu bằng xảy ra (Tức là ) 
khi 
Vậy phương trình có hai nghiệm x = -4 và x = 2
 Đối với những phương trình có từ giá trị tuyệt đối trở lên ta nên giải theo cách đặt điều kiện để phá dấu giá trị tuyệt đối. Mỗi trị tuyệt đối sẽ có một giá trị x làm mốc để xác định biểu thức trong trị tuyệt đối âm hay không âm. Những giá trị x này sẽ chia trục số thành các khoảng có số khoảng lớn hơn số các trị tuyệt đối là 1. Khi đó ta xét giá trị x trong từng khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và giải phương trình tìm được.
Ví dụ 8: Giải phương trình + = 2
Ta thấy x - 1 0 x 1
 x - 3 0 x 3
Khi đó để thực hiện việc bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta cần phải xét ba trường hợp.
+Trường hợp 1: Nếu x < 1
 Khi đó phương trình có dạng: 
 - x + 1 - x + 3 = 2 -2x = - 2 x = 1 (không t/m đk)
+Trường hợp 2: Nếu 1 x < 3.
 Khi đó ta có phương trình:
 x - 1 - x + 3 = 2 0x = 0 luôn đúng => 1 x < 3 là nghiệm.
+Trường hợp 3: Nếu x 3 
 Khi đó phương trình có dạng: 
 x - 1 + x - 3 = 2 2x = 6 x = 3 (t/m đk)
 Vậy nghiệm của phương trình là 1 x 3
Bài tập củng cố:
Giải các phương trình sau:
4). 
5). 
6).