Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay để tính giới hạn

TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 1 
GIẢI PHÁP THỰC HIỆN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY (MTCT) 
ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN 
Kiến thức giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là cơ sở của của hai phép tính 
đạo hàm và tích phân ở phổ thông trung học .Kiến thức vế giới hạn không những 
khó đối với người học mà còn khó đối với người dạy .Trong tình hình hiện nay để 
cập nhật phù hợp thi trắc nghiệm .Để giúp giăm bớt khó khăn nên tôi soạn đề tài 
này. 
Giải pháp thực hiện bằng máy tính cầm tay (MTCT) để tính giới hạn Dãy số: 
 Quy ước : trong máy tính không có biến n nên ta ghi x thay cho n . 
• Gặp hằng số : C 1010 ,C 2010 . đọc là (dấu của C) nhân vô cực với C 
là hằng số ( chú ý có thể lớn hơn 10). 
ví dụ -5 1010 ( đọc là âm vô cực ghi  ) 
• Gặp hằng số C 1210 đọc là 0 ( Chú ý số mũ có thể nhỏ hơn – 10 ). 
 ví dụ: 15 1210 đọc là 0 
A. Dãy có giới hạn là 0 
• Ví dụ 1: 
 
5
1
lim


n
n
 máy ghi :
 
5
1


x
x
 calc x ? nhập 1010   
Kq : 111099999995.9  ta đọc là 0 
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy) 
a(z1)^Q)RQ)+5 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở 
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy) 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 2 
 Ta nhập tiếp: 10^10= 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
Kq : 111099999995.9  ta đọc là 0 
Vậy 
 
0
5
1
lim 


n
n
• Ví dụ 2: 
1
cos)1(
lim
2 

n
nn
 nếu nhập 
1
cos)1(
2 

x
xx
 calc như trên máy sẽ 
Math ERROR 
- Vận dụng định lý 1 Nếu nn vu  với mọi n và 0lim nv thì 0lim nu . 
- Ta chỉ cần ghi 
1
1
2 x
 calc x ? nhập 1010   kết quả 20101  đọc là 0 
Vậy 0
1
cos)1(
lim
2



n
nn
• Ví dụ 3: 
 
12
1
lim


n
n
 máy ghi 
12
)1(


x
x
 calc x ? 100 kq: 311026...84430.3 x 
đọc là 0 
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: (sau khi đã mở máy) 
a(z1)^Q)R2^$Q)+1 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 3 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở 
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy) 
 Ta nhập tiếp: 100= 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
Vậy 
 
0
12
1
lim 


x
x
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : Tìm các giới hạn 
1.
2
)1(
lim
n
n 
 2.
12
)1(
lim


n
n
 3.
5
sin
lim
n
n
 4.
1
2cos
lim
3 n
n
B.Giới hạn hữu hạn : 
• Ví dụ 1: 
 









2
1
2lim
n
n
 máy ghi: 
 
2
1
2



n
n
 calc x ? nhập 1010   kq là 2 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 4 
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: 2+a(z1)^Q)RQ)+2 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở 
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy) 
 Ta nhập tiếp: 10^10= 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
vậy 
 









2
1
2lim
n
n
=2 
• Ví dụ 2: 11
4
3sin
lim 






n
n
 vì 
nn
n 1
4
3sin
 mà 0
1
lim 
n
khi đó lim (-1)=-1 
 nên 11
4
3sin
lim 






n
n
• Ví dụ 3 
12
53
lim
2
2


n
nn
Cách bấm máy: 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 5 
 Nhập vào máy tính: 
aQ)^2$p3Q)+5R2Q)^2$p1 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
  Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác 
ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy) 
 Ta nhập tiếp: 10^15= 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
vậy 
12
53
lim
2
2


n
nn
= 0.5 
Với cách bấm máy tương tự cho các ví dụ sau: 
• Ví dụ 4 : 
75
3342
lim
3
23


nn
nnn
 máy ghi 
75
3342
3
23


nn
nnn
 calc x ? nhập 1510   Kq là – 2 
Vậy 2
75
3342
lim
3
23



nn
nnn
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 6 
• Ví dụ 5: máy ghi 
423
1132
lim
32
1




XX
XX
 calc x=100 kq 
9
1
Vậy : 
9
1
423
1132
lim
32
1 





nn
nn
• Ví dụ 6: 
nn
n
5.42.3
153.13
lim


 máy ghi 
XX
X
5.423
15313


 calc X ? nhập 100   
1710...19755.3 x đọc là 0 . 
Vậy 0
5.42.3
153.13
lim 


nn
n
 ( chú ý dấu nhân không ghi dấu chấm ) 
C. Giới hạn vô cực : 
• Ví dụ 1: 
112
53
lim
2
3


n
nn
 máy ghi 
112
53
2
3


n
nn
 calc x ? nhập 1510   kq 14105 đọc là âm vô cực 
vậy 


112
53
lim
2
3
n
nn
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: 
azQ)^3$p3Q)+5R2Q)d+11 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
  Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác 
ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy) 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 7 
 Ta nhập tiếp: 10^15= 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
vậy 


112
53
lim
2
3
n
nn
• Ví dụ 2 :  135lim 2  nn máy ghi :  135 2  nn 
 calc x ? nhập 1510   kq là 30105 (Đọc là dương vô cực ) 
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: 
5Q)dp3Q)+1 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số khác ở 
dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy) 
 Ta nhập tiếp: 10^15= 
 Màn hình sẽ xuất hiện: 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 8 
Vậy 


112
53
lim
2
3
n
nn
• Ví dụ 3: 153lim 24  nnn máy ghi : 153 24  nnn 
calc x ? nhập 1510   kq : 301008...73205.1  ( đọc là dương vô cực ) 
Vậy :  153lim 24 nnn 
(Nhập tương tự ví dụ 2) 
*Nếu 
 
 ng
nf
 với f(n) ,g(n) là các đa thức theo n .Ta chú ý đến số hạng 
chứa mũ cao nhất của n trong từng biểu thức f(n) ,g(n) 
• Ví dụ 1: 
53
232
lim
2
3


n
nn
 máy ghi 
2
3
3
2
n
n
 calc x ? nhập 1510   kq:
141066666667.6  (đọc là âm vô cực ) 
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: 
az2Q)^3R3Q)d 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con số 
khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy) 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 9 
 Ta nhập tiếp: 10^15= 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
Vậy 


53
232
lim
2
3
n
nn
Tương tự cho các ví dụ bên dưới 
• Ví dụ 2: 
12
857
lim
36


n
nnn
 máy ghi 
n
n6
 calc x ? nhập 1510   kq 30101 
( đọc là dương vô cực ) 
Vậy 


12
857
lim
36
n
nnn
• Ví dụ 3: 
12
13
lim


n
n
 máy 
12
13


x
x
 calc x ? 100   1710..4065611 x đọc là  . 
*CHÚ Ý : Gặp na nhập n = 100 
Vậy 


12
13
lim
n
n
• Ví dụ 4 : 
73
54
lim
23
2


nn
nn
 máy ghi 
3
2
3n
n
 calc x ? nhập 1510   kq :0 
vậy 0
73
54
lim
23
2



nn
nn
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 10 
• Ví dụ 5: 
32
232
lim
2
4


nn
nn
 máy ghi 
2
4
2
2
n
n
 calc x ? nhập 1510   kq:
2
2
Nếu gặp dạng tổng- hiệu hai căn cần chú ý lượng liên hợp rút gọn trước 
khi áp dụng dạng trên . 
• Ví dụ 1:  nnn  1lim 2 ta có   nnn 12
 nnn
n


1
1
2
 máy 
ghi 
nn
n
2
 calc x ? nhập 1510   kq:
2
1
Vậy  
2
1
1lim 2  nnn 
• Ví dụ 2: 
12
1
lim
 nn
 ta có nnn
nn
212
12
1


 Mà nlim 
Vậy : 
 12
1
lim
nn
• Ví dụ 3: 
1223
1
lim
 nn
 máy ghi 
nn 23
1

 calc x ? nhập 1510   
kq: 0 vậy: 0
1223
1
lim 
 nn
( các hệ số trước n lệch nhau không 
cần nhân lượng liên hợp. 
• Ví dụ 4: 
23
11
lim
2


n
nn
 máy ghi :
n
nn
3
2 
 calc x ? nhập 1510 
  kq: 
3
1
Bài tập rèn luyện : 
 Tìm các giới hạn sau: 
1.
2
2
23
14
lim
n
nn


 (KQ :2) 2.
2
2
21
53
lim
n
nn


 (KQ: 0 ) 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 11 
3. 







1
2
lim 2
n
n (KQ:  ) 4.  1lim 22  nnn (KQ: 
2
1
 ) 
5.
23
3 132
lim
nn
nn


 (KQ: -3) 6. 
   
5
23
41
132
lim
n
nn


 (KQ:
4
27
) 
 7.
3
241
lim
22


n
nnn
 (KQ: -1 ) 8.
nn
nn
24.2
143
lim


 (KQ: -1) 
B. GIỚI HẠN HÀM SỐ 
 1.GIỚI HẠN HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM: 
Lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) Nếu  xf xác định tại x0 viết  xf calc ? x0    0xf 
• Ví dụ 1: lim
𝑥→2
 xxx 105 23  máy viết :  xxx 105 23  calc X ? 2   
48 
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: 
Q)^3$+5Q)d+10Q) 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con 
số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy) 
 Ta nhập tiếp: 2= 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 12 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Vậy   48105lim 232  xxxx 
 Tương tự cho ví dụ 2 
• Ví dụ 2:  12
2
65
lim
2
1 f
x
xx
x 


 
2. CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH: 
2.1 Dạng 
0
0
 Khi tìm 
 
 xg
xf
xx 0
lim  mà   00 xf và   00 xg 
• Ví dụ 3 : 
23
4
lim
2
2
2



xx
x
x máy ghi 
23
4
2
2


xx
x
 calc X ? nhập 
2,000001 ( lớn hơn 2 một tí ti ) máy hiện 3,999997 làm tròn đọc là 4 
hay nhập x= 1,999999999 ( nhỏ hơn 2 một tí ti )   4 
Cách bấm máy: 
 Nhập vào máy tính: 
aQdp4RQ)dp3Q)+2 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Sau đó nhập: r, màn hình sẽ xuất hiện: (có thể sẽ xuất hiện con 
số khác ở dòng hiển thị, không ảnh hưởng đến quá trình bấm máy) 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 13 
 Ta nhập tiếp: 2.000001= 
Màn hình sẽ xuất hiện: 
 Vậy 4
23
4
lim
2
2
2 



xx
x
x 
 Tương tự cho các ví dụ tiếp theo 
• Ví dụ 4: 
34
23
lim
4
3
1



xx
xx
x máy ghi 
34
23
4
3


xx
xx
 calc X ? 
 Nhập 0,9999999  
2
1
 Vậy 
2
1
34
23
lim
4
3
1 



xx
xx
x 
• Ví dụ 5: 
32
72
lim
2
24
3



xx
xx
x máy ghi 
32
72
2
24


xx
xx
 calc X ? nhập 
3,0000001 kq :25,50000069 đọc là 25,5 hoặc nhập 2,9999999 
kq : 25,49999993 đọc là 25,5 
Vậy 
2
51
32
72
lim
2
24
3 



xx
xx
x 
• Ví dụ 6: 









1
1
1
2
lim
21 xx
x máy ghi 







 1
1
1
2
2 xx
 calc X ? nhập 
1,000000001   KQ :
2
1
• Ví dụ 7 : 








 31 1
3
1
1
lim
xx
x máy ghi 







 31
3
1
1
xx
 calc X ? nhập 
1,000000001   -1 KQ: -1 
TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 14 
• Ví dụ 8: 
ax
ax
ax



44
lim máy ghi 
ax
ax

 44
 calc 
chọn a = 0 khi đó 0x kq: 0 
chọn a =1 khi đó 1x kq :4= 314 
chọn a = 2 khi đó 2x kq:32= 324 
chọn a = 3 khi đó 3x kq :108 = 334 
Vậy 3
44
4lim a
ax
ax
ax 


 
Nhận xét bài nầy thực hiện phép chia giải tự luận nhẹ hơn ! 
Bảng chia Hoc ne 
Hệ số của 
x 
1 0 0 0 4a 
 a 1 a 2a 3a 0 
2.2 DẠNG: 


 Thường gặp khi x nếu dạng 
 
 xg
xf
 không chứa căn bậc 
chẳn thì tính như giới hạn dãy Chỉ khác n thay bằng x, khi x nhập 
1010 
• Ví dụ 1: 
122
223
lim
23
3



xx
xx
x máy ghi 
122
223
23
3


xx
xx
 calc X ? 2010 KQ: 
2
3
• Ví dụ 2: 
22
13
lim
3
24



xx
xx
x máy ghi: 
22
13
3
24


xx
xx
 calc X ? 1010 KQ:  
• Ví dụ 3: 
22
13
lim
3
24



xx
xx
x máy ghi: 
22
13
3
24


xx
xx
 calc X ? 1010 KQ:
 20101 (đọc là trừ vô cực ) 
• Ví dụ 4 : 
13
23
lim
2



x
xxx
x máy ghi 
13
232


x
xxx
 calc X ? 2010 KQ : 
3
1
     33223
3223
4limlim aaxaaxx
ax
axaaxxax
axax 



TÌM GIỚI HẠN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY 
Giáo viên thực hiện: Nguyễn Văn Phép Trang 15 
• Ví dụ 5: 
xxx
xxx
X
239
2124
lim
2
2


 
TH1: 
xxx
xxx
X
239
2124
lim
2
2


 CALC X ? 
2010 (trong căn) KQ: 
5
1
TH2: 
xxx
xxx
X
239
2124
lim
2
2


 CALC X ? 
2010 KQ: 3 
• Ví dụ 6: )1(lim 2 xxxX  dạng   
Máy ghi 
xxx
x


1
1
2
 CALC X? 2010 KQ 
2
1
• Ví dụ 7: )1(lim 2 xxxX  Khi đó không phải dạng   . nên không 
cần nhân lượng liên hợp 
 Máy ghi : )1( 2 xxx  CALC 2010 KQ 20102 đọc là  .