Giải bài tập đề nghị - Phần Hình học (Chủ đề 6)

GIẢI CÁC BÀI TẬP
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ - PHẦN HÌNH HỌC CHỦ ĐỀ 6
SÁCH ÔN THI VÀO 10 THPT MÔN TOÁN
CỦA SGD ĐT NINH BÌNH 2015Bài 6.1
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO sao cho AO = 3.IO. Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB, trên đoạn CD lấy điểm K tuỳ ý. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M.
a. Chứng minh tứ giác IKMB nội tiếp.
b. Chứng minh rằng tâm F của đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm trên một đường thẳng cố định.
c. Khi K di động trên đoạn CD, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn DF.
Giải
a. c/m tứ giác IKMB nội tiếp
Ta có ( vì chắn nửa đường tròn (O)
Lại có (gt) nên tứ giác IKMB nội tiếp (vì có 2 góc đối cùng vuông)
b. c/m tâm F của (CKM) thuộc một đường cố định
Vẽ đường kính CE của (CKM) , ta có KE // AB ( vì cùng CD) (đ/vị)
Lại có (cùng chắn cung của (F) )
 (cùng chắn cung của (O) )
 Suy ra C, E, B thẳng hàng
C, F, B thẳng hàng
Suy ra F thuộc đường thẳng CB cố định
c. Kẻ DHCB tại H DH không đổi. Ta có DF DH nên DF ngắn nhất bằng DH
Ta có 
Lại có DH.CB=BI.CD ( bằng nửa SCBD) .
 Vậy DF ngắn nhất bằng 
Bài 6.2
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO ( C khác A và C khác O ). Đường thẳng đi qua điểm C và vuông góc với AO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Trên cung BD lấy điểm M ( với M khác B và M khác D). Tiếp tuyến của nửa đường tròn đã cho tại M cắt đường thẳng CD tại E. Gọi F là giao điểm của AM và CD. 
a. Chứng minh tam giác EMF cân
	b. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM. Chứng minh D, I, B thẳng hàng; 
	c. Chứng minh góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD.
Giải
a) Ta có: đường kính AB (gt) suy ra: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay . Mặt khác . Do đó . Suy ra BCFM là tứ giác nội tiếp đường tròn.
 (cùng bù với )
Mặt khác (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn )
cân tại E (đpcm)
b) Gọị H là trung điểm của DF. Dễ thấy và .
Trong đường tròn ta có: (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn ) hay 
Trong đường tròn ta có: (góc nội tiếp cùng chắn )’
Dễ thấy ; ; Mà 
Suy ra hay thẳng hàng.
c. Ta có: D; I; B thẳng hàng (cmt) . Vì C cố định nên D cố định không đổi.
Do đó góc ABI có số đo không đổi khi M thay đổi trên cung BD.
	Bài 6.3
 Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. 
 a) Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
 b) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
 c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
Giải
a) I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O ) 
Ta có ( do AM là hai tiếp tuyến (O) )
 ( do AN là hai tiếp tuyến (O) )
Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b) AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác mà ∆OMN cân tại O nên 
∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( vì sđ và chung ) suy ra 
∆ANO vuông tại N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2
Suy ra AB.AC = AH.AO
∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì và chung ) 
Ta có A,B,C cố định nên I cố định suy ra AK cố định mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB suy ra K cố định
c) Ta có ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).
Xét ∆MHE và ∆QDM có ( cùng phụ với ), ( cùng phụ với ) 
∆PMH đồng dạng với ∆MQH 
Þ ME = 2 MP Þ P là trung điểm ME.
	Bài 6.4
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.IO.
b) Biết , tính độ dài dây BC theo R.
Giải
a) Vì B, C thuộc đường tròn đường kính AK 
 (gt) 
 là hình bình hành
I là trung điểm của BC (gt) 
 là trung điểm của HK
O là trung điểm của AK (gt)
 là đường trung bình của 
b) cân tại O 
 (T/c góc ngoài của tam giác) 
Chứng minh tương tự: 
 cân tại O 
Vì I là trung điểm của BC (gt) 
Trong : 
	Bài 6.5
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn OB lấy điểm M tuỳ ý (M khác O và B). gọi H là trung điểm của AM. Qua H kẻ dây DE vuông góc với AM. Kẻ MI vuông góc với BD tại I. Chứng minh rằng:
Tứ giác MHDI nội tiếp
DE l à phân giác của góc ADM
Ba điểm I, M, E thẳng hàng
HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MB
Giải
a) Tứ giác MHDI có ÐMHD + ÐMID = 1800 nên là tứ giác nội tiếp
b)ADME là hình thoi (tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => DE là phân giác của góc ADM
c) ADME là hình thoi nên EM // AD => EM ^ DB, mà MI ^ DB = > E, M, I thẳng hàng.
d) Gọi K là trung điểm MB thì K là tâm đường tròn đk MB
DMKI cân tại M nên ÐMIK = ÐIMK, mà ÐIMK = ÐHME (đđ) = ÐDMH (t/c hthoi)
=> ÐMIK =ÐDMH (1)
ÐDMH + ÐHDM = 900 (2) (DHDM vuông)
ÐHDM = ÐHIM (3) (cùng chắn cung HM của đường tròn (MHDI))
Từ (1),(2) và (3) suy ra ÐMIK + ÐHIM = 900
=> HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MB
	Bài 6.6
Cho ®­êng trßn (O;R), d©y BC cè ®Þnh (BC < 2R) vµ ®iÓm A di ®éng trªn cung lín BC sao cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän. C¸c ®­êng cao BD vµ CE cña tam gi¸c ABC c¾t nhau ë H.
a)Chøng minh r»ng tø gi¸c ADHE néi tiÕp .
b)Gi¶ sö , h·y tÝnh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn c¹nh BC theo R.
c)Chøng minh r»ng ®­êng th¼ng kÎ qua A vµ vu«ng gãc víi DE lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.
d) Ph©n gi¸c gãc c¾t CE t¹i M, c¾t AC t¹i P. Ph©n gi¸c gãc c¾t BD t¹i N, c¾t AB t¹i Q. Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? T¹i sao?
Giải
a) BD AC (gt) = 
CE AB (gt) = 
Tứ giác ADHE có nên là tứ giác nội tiếp.
b) Kẻ OIBC (), nối O với B, O với C
Có = = (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
 cân tại O .Suy ra OI
c) Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc với DE. 
Qua A kẻ tiếp tuyến sAt với đường tròn (O;R)AO sAt
nội tiếp (E, D cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông) (cùng bù với) 
Mặt khác 
 (hai góc ở vị trí so le trong) 
Có , (tiên đề Ơclit) 
Đường thẳng (d) luôn đi qua điểm O cố định.
d) Có (cùng phụ với góc ).
vuông tại E
Mà BP, CQ là các phân giác nên MP, NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường .
Vậy có MNPQ là hình thoi.
	Bài 6.7
Cho 3 điểm cố định A, B, C phân biệt và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O) đi qua B và C (O không thuộc BC). Qua A kẻ các tiếp tuyến AE và AF đến đường tròn (O) (E và F là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC, N là trung điểm của đoạn thẳng EF.
a. Chứng minh rằng: E và F nằm trên một đường tròn cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
b. Đường thẳng FI cắt đường tròn (O) tại E’(khác F). Chứng minh tứ giác BCE’E là hình thang.
c. Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ONI nằm trên một đường thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi.
Giải
a. Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên ta có: ∠AFB=∠ACF. 
Xét ∆AFB và ∆ACF, ta có: ∠FAB=∠FAC, ∠AFB=∠ACF . Suy ra ∆AFB ∽∆ACF 
Ta có AE2=AF2=AB.AC không đổi nên E,F thuộc đường tròn tâm A bán kính 
b.Do AEFO nội tiếp và AOIF nội tiếp nên AEIF nội tiếp =>ÐAIF=ÐAEF=ÐEE′F (góc nội tiếp và góc tạo bởi tt dây cung cùng chắn cung EF)
c.Gọi K là giao của EF và AC thì ta có tứ giác NKIO nội tiếp=>tâm đg tròn ngoại tiếp tam giác NIO nằm trên đường trung trực KI
Ta cần đi chứng minh đường trung trực KI cố định bằng cách chứng minh K cố định (do I đã cố định rồi)
Ta có A,N,O thẳng hàng
Mà NKOI nội tiếp nên AN.AO=AK.AI
Lại có tam giác AEO vuông có đường cao EN nên AE2=AN.AO 
=>AK.AI=AE2=AB.AC 
Do AI,AB,AC có độ dài ko đổi nên AK ko đổi=>K cố định
=>Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ION nằm trên đường trung trực KI cố định
A 
	Bài 6.8
Cho ®­êng trßn t©m O vµ hai ®iÓm B, C thuéc ®­êng trßn. C¸c tiÕp tuyÕn víi ®­êngtrßn t¹i B vµ C c¾t nhau t¹i A. M lµ ®iÓm thuéc cung nhá BC. TiÕp tuyÕn víi ®­êng trßn t¹i M c¾t AB, AC thø tù t¹i D, E. Gäi giao ®iÓm cña OD, OE víi BC theo thø tù ë I, K. Chøng minh:
	a) BD. OE = OD. BI
b) Tø gi¸c DIKE néi tiÕp.
c) C¸c ®­êng th¼ng OM, DK, EI ®ång quy.
Gi¶i
a) ta cã : ÐBDI = ÐODE (t/c 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
ÐDBI =ÐDOE (=)
Do ®ã DDBI ~ DDOE => BD. OE = OD. BI
b) 
=> Tø gi¸c OBDK néi tiÕp (Theo quü tÝch cung chøa gãc)
=> 
=> vµ 
Chøng minh t­¬ng tù 
=> DIKE néi tiÕp ®­¬ng trßn ®­êng kÝnh DE
c) Theo c©u b) EI vµ; DK lµ c¸c ®­êng cao cña DOE; OM còng lµ ®­êng cao cña DOE
=> C¸c ®­êng th¼ng OM, DK, EI ®ång quy t¹i mét ®iÓm.
Bài 6.9 (tr.130)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC với =1200. Các tiếp tuyến vẽ tại B và C với đường tròn cắt nhau tại A.Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ BC (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M với đường tròn (O) cắt AB tại E và cắt AC tại F.
 a/ Tính chu vi tam giác AEF theo R
 b/Gọi I và K tương ứng là giao điểm của BC với OE và OF. Chứng minh tứ giác OIFC nội tiếp và các đường thẳng OM, EK, FI cùng đi qua một điểm.
 c/ Chứng minh: EF = 2IK
Gi¶i
a) Tính góc EOF: 
EOF^ = FOM^ +EOM^ = BOM^/2 + COM^/2 = BOC^/2 = 1200/2 = 600
a) Tính chu vi của tam giác AEF :
AB = AC (tính chất 2 t. tuyến) => ABC cân 
ÐACB = sđ(BC/2) = ÐBOC/2 = 1200/2 = 600
=> ABC là tam giác đều. 
CV(AEF) = AF + AE + EM + MF 
= AE + BE + AF + CF = AB + AC = 2BC 
Gọi H là giao của OA và BC có BC = 2.CH 
OCH là tam giác vuông có ÐOCH = 300 => OH = OC/2 = R/2 
CH2 = OC2 - OH2 = R2 - R2/4 = 3R2/4 
=> CH = R√3/2  => BC = R√3 
=> CV(AEF) = 2BC = 2R√3. 
b) Chứng minh tứ giác OIFC nội tiếp và các đường thẳng OM, EK,FI cùng đi qua 1 điểm: 
OE là trung trực của BM (tính chất tiếp tuyến), I thuộc OE => IB = IM 
=> ΔOBI = Δ OMI (c.c.c) => ÐOMI = ÐOBI = 300 = ÐOCI
=> OCMI nội tiếp đường tròn, mà O,C,M thuộc đường tròn đường kính OF 
=> I thuộc đường tròn đường kính OF => ÐOIF = 900 (hay IF^OI)
mà ÐOCF = 300 (tính chất tiếp tuyến)
=> OIFC nội tiếp đường tròn. 
chứng ming tương tự có EK ^ OF 
vậy FI và EK là 2 đường cao của Δ OEF và OM ^EF là đường cao thứ 3 của Δ OEF 
=> OM, EK, FI cùng đi qua 1 điểm là trực tâm của Δ OEF. 
c) Chứng minh EF=2KI: 
ÐCBM = ÐCOM/2 ( góc nội tiếp = 1/2 góc ở tâm cùng chắn cung CM) 
ÐMOK = ÐCOM/2 ( tính chất tiếp tuyến) 
=> ÐCBM = ÐKBM = ÐMOK
=> BOKM nội tiếp => ÐBMO = ÐBKO ( cùng chắn cung BO) 
mà ÐBMO = ÐOEF ( có cạnh tương ứng vuông góc) 
=> ÐOEF = ÐBKO
=> ΔOEF ~ Δ OKI ( g.g) 
ta có: 
ÐOEK = ÐOFI ( có cạnh vuông góc) 
ÐOFI = ÐOCI ( cùng chắn cung OI) 
ÐOCI = 300  => ÐOEK = 300 => sin(ÐOEK) = OK/OE = 1/2 (1) 
do ΔOEF ~ Δ OKI => OK/OE = IK/EF (2) 
(1) và (2) => IK/EF = ½
Bài 6.10 (Tr. 130) 	
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’ ; R’) cắt nhau tại I và J (R’ > R). Kẻ các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó; chúng cắt nhau ở A. Gọi B và C là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến trên với (O’ ; R’); D là tiếp điểm của tiếp tuyến AB với (O ; R) (điểm I và điểm B ở cùng nửa mặt phẳng bờ là O’A). Đường thẳng AI cắt (O’ ; R’) tại M (điểm M khác điểm I ).
a) Gọi K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh: ; từ đó suy ra KB = KD.
b) AO’ cắt BC tại H. Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp .
Giải
a) K là giao điểm của đường thẳng IJ với BD. Chứng minh KB = KD.
Do AO và AO’ là hai tia phân giác của => A,O,O’ thẳng hàng.
Có sđ ; chung 
 đồng dạng với(g.g)=>(1)
Tương tự:đồng dạng với(2)
Từ (1) và (2) =>.
b) Chứng minh 4 điểm I, H, O’, M nằm trên một đường tròn.
+/Xét tam giác vuông ABO’ có: (3)
+/ Có :sđ ; chung 
 đồng dạng với(g.g)(4).
Từ (3),(4) =>.
=> đồng dạng với ( vì ; chung ).
=> => tứ giác MIHO’ nội tiếp hay 4 điểm I, H, M, O’ cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp 
Do OD // O’B (cùng AB)
nhưng OI cắt O’I và A,I,M thẳng hàng => OI // O’M. 
=> .
mà sđ và sđ 
=>=>IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp 
hay AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp .
Bài 6.11 
Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tùy ý trên d kẻ các tiếp tuyến MA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.
a) Chứng minh rằng tứ giác MAIB nội tiếp.
b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh rằng H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác COD.
c) Chứng minh AB đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên d. 
d) Chứng minh .
Bài 6.12 
Cho điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O; R) cố định. Từ điểm A kẻ đường thẳng d bất kỳ không đi qua O, cắt đường tròn (O) tại B, C (B nằm giữa A và C). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại D. Kẻ DH vuông góc với AO tại H; DH cắt cung nhỏ BC tại M. Gọi I là giao điểm của DO và BC.
1) Chứng minh năm điểm B, C, D, H, O nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
3) Chứng minh tích HB.HC không đổi khi đường thẳng d quay quanh điểm A.
Giải
Bài 6.13 
Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN.
a) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh .
c) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
Giải
a) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn
I là trung điểm của BC suy ra 
AM, AN là tiếp tuyến 
Suy ra A, M, N, I, O cùng thuộc một đường tròn
Suy ra M, N, I, O cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh .
Gọi AFIH là tứ giác nội tiếp
 đồng dạng với 
 (1)
Tam giác AMO vuông tại M có MF là đường cao nên (2). Từ (1) và (2) suy ra 
c) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Tam giác AMB đồng dạng với tam giác ACM 
Tứ giác EFOI nội tiếp 
Suy ra ; A, B, C, I cố định suy ra AE là hằng số.
Mặt khác E luôn thuộc đoạn thẳng BC cố định nên điểm E cố định. Vậy MN luôn đi qua điểm E cố định
Bài 6.14 
Cho đường tròn tâm O đường kính, điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, F là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng:
a) Năm điểm A, O, M, N, F cùng nằm trên một đường tròn;
b) Ba điểm M, N, H thẳng hàng;
c) 
Giải
a) Do các điểm M, N, F cùng nhìn đoạn AO dưới góc nên A, O, M, N, F cùng thuộc đường tròn đường kính AO.
b) Ta có (Tính chất tiếp tuyến).
Từ câu a) suy ra (1).
Mặt khác, vì hai tam giác ADH, AFC đồng dạng; hai tam giác ADN, ANC đồng dạng nên .
Do đó, hai tam giác ANH, AFN đồng dạng (c.g.c) (2).
Từ (1), (2) ta có đpcm.
c) Từ câu a) ta có .
Gọi ta có I là trung điểm của MN.
Từ đó suy ra 
Bài 6.15
Cho đường tròn (O;R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O). Đường thẳng CM cắt đường tròn tâm O tại điểm N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P.
Chứng minh rằng: 
Tứ giác OMNP nội tiếp.
Tứ giác CMPO là hình bình hành.
Tích CM.CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Khi M di chuyÓn trªn ®o¹n th¼ng AB th× P ch¹y trªn ®o¹n th¼ng cè ®Þnh
Giải
a. Ta cã ÐOMP = 900 ( v× PM ^ AB ); ÐONP = 900 (v× NP lµ tiÕp tuyÕn ).
Nh­ vËy M vµ N cïng nh×n OP d­íi mét gãc b»ng 900 => M vµ N cïng n»m trªn ®­êng trßn ®­êng kÝnh OP => Tø gi¸c OMNP néi tiÕp.
b. Tø gi¸c OMNP néi tiÕp => ÐOPM = Ð ONM (néi tiÕp ch¾n cung OM) 
 Tam gi¸c ONC c©n t¹i O v× cã ON = OC = R => ÐONC = ÐOCN 
=> ÐOPM = ÐOCM.
XÐt hai tam gi¸c OMC vµ MOP ta cã ÐMOC = ÐOMP = 900; ÐOPM = ÐOCM => ÐCMO = ÐPOM l¹i cã MO lµ c¹nh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1)
Theo gi¶ thiÕt Ta cã CD ^ AB; PM ^ AB => CO//PM (2).
Tõ (1) vµ (2) => Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh.
c. XÐt hai tam gi¸c OMC vµ NDC ta cã ÐMOC = 900 ( gt CD ^ AB); ÐDNC = 900 (néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn ) => ÐMOC =ÐDNC = 900 l¹i cã ÐC lµ gãc chung => DOMC ~DNDC 
=> => CM. CN = CO.CD mµ CO = R; CD = 2R nªn CO.CD = 2R2 kh«ng ®æi => CM.CN =2R2 kh«ng ®æi hay tÝch CM. CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M.
d. ( HD) DÔ thÊy DOMC = DDPO (c.g.c) => ÐODP = 900 => P ch¹y trªn ®­êng th¼ng cè ®Þnh vu«ng gãc víi CD t¹i D. 
V× M chØ ch¹y trªn ®o¹n th¼ng AB nªn P chØ ch¹y trªn do¹n th¼ng A’ B’ song song vµ b»ng AB.
Bài 6.16 
Cho ®iÓm M n»m ngoµi ®­êng trßn (O;R). Tõ M kÎ hai tiÕp tuyÕn MA , MB ®Õn ®­êng trßn (O;R) ( A; B lµ hai tiÕp ®iÓm).
Chøng minh MAOB lµ tø gi¸c néi tiÕp.
TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AMB nÕu cho OM = 5cm vµ R = 3 cm.
 KÎ tia Mx n»m trong gãc AMO c¾t ®­êng trßn (O;R) t¹i hai ®iÓm C vµ D ( C n»m gi÷a M vµ D ). Gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ OM. Chøng minh r»ng EA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED.
Giải
Ta cã: MA AO ; MB BO ( T/C tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
 => 
 Tø gi¸c MAOB cã : 900 + 900 = 1800 => Tø gi¸c MAOB néi tiÕp ®­êng trßn
¸p dông §L Pi ta go vµo MAO vu«ng t¹i A cã: MO2 = MA2 + AO2
MA2 = MO2 – AO2
MA2 = 52 – 32 = 16 => MA = 4 ( cm) 
V× MA;MB lµ 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau => MA = MB => MAB c©n t¹i A
 MO lµ ph©n gi¸c ( T/C tiÕp tuyÕn) = > MO lµ ®­êng trung trùc => MO AB
XÐt AMO vu«ng t¹i A cã MO AB ta cã:
 AO2 = MO . EO ( HTL trongvu«ng) => EO = = (cm) 
 => ME = 5 - = (cm)
¸p dông §L Pi ta go vµo tam gi¸c AEO vu«ng t¹i E ta cã:AO2 = AE2 +EO2
AE2 = AO2 – EO2 = 9 - = = 
AE = ( cm) => AB = 2AE (v× AE = BE do MO lµ ®­êng trung trùc cña AB)
AB = (cm) => SMAB =ME . AB = = (cm2)
c) XÐt AMO vu«ng t¹i A cã MO AB. ¸p dông hÖ thøc l­îng vµo tam gi¸c vu«ng AMO ta cã: MA2 = ME. MO (1)
 mµ : =S® ( gãc néi tiÕp vµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung cïng ch¾n 1 cung)
MAC DAM (g.g) => => MA2 = MC . MD (2)
Tõ (1) vµ (2) => MC . MD = ME. MO => 
 MCE MDO ( c.g.c) (M chung; ) => ( 2 gãc tøng) ( 3)
T­¬ng tù: OAE OMA (g.g) => = 
=> == ( OD = OA = R)
Ta cã: DOE MOD ( c.g.c) ( chong ; ) => ( 2 gãc t øng) (4)
 Tõ (3) (4) => . mµ : =900
 =900
=> => EA lµ ph©n gi¸c cña 
Bài 6.17
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M, D. Gọi I là trung điểm của CD, Gọi H là giao điểm của AB và MO. 
a) Chứng minh rằng 5 điểm M, A, O, I , B cùng nằm trên 	một đường tròn.
	b). Chứng minh AB là phân giác của góc CHD.
	c) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Chứng minh A, B, K thẳng hàng. 
Giải
a) MA, MB là tiếp tuyến của (O) nên
 ÐMAO = Ð MBO = 900.
* I là trung điểm dây CD nên Ð MIO = 900.
Do đó: Ð MAO = Ð MBO = Ð MIO = 900
Þ 5 điểm M, A, O, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính MO.
b) Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R(O). Do đó MO là trung trực của AB Þ MO ^ AB.
Trong DMAO vuông tại A có AH là đường cao Þ MA2 = MH.MO. Mà MA2 = MC.MD (do a)) Þ MC.MD = MH.MO Þ (1).
Xét D MHC và DMDO có:
	ÐM chung, kết hợp với (1) ta suy ra DMHC và DMDO đồng dạng (c–g –c)
Þ Ð MHC = Ð MDO Þ Tứ giác OHCD nội tiếp.
Ø Ta có: + DOCD cân tại O Þ Ð OCD = Ð MDO 
	 + Ð OCD = Ð OHD (do OHCD nội tiếp) 
Do đó Ð MDO = Ð OHD mà Ð MDO = Ð MHC (cmt) Þ Ð MHC = Ð OHD 
Þ 900 – Ð MHC = 900 – Ð OHD Þ Ð CHA = Ð DHA Þ HA là phân giác của Ð CHD hay AB là phân giác của Ð CHD.
c) Tứ giác OCKD nội tiếp(vì Ð OCK = Ð ODK = 900)
Þ Ð OKC = Ð ODC = Ð MDO mà Ð MDO = Ð MHC (cmt)
Þ Ð OKC = Ð MHC Þ OKCH nội tiếp 
Þ Ð KHO = Ð KCO = 900.
Þ KH ^ MO tại H mà AB ^ MO tại H 
Þ HK trùng AB Þ K, A, B thẳng hàng.
Bài 6.18
Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM. Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.
Chứng minh PI.AB = AC.CI
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường tròn (O) tại K (K khác C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR.
Giải