Giá trị lượng giác của một góc đặc biệt

 Lí thuyết
Ở lớp 9, chúng ta đã biết các tỉ số lượng giác: sin, côsin, tang, côtang của một góc nhọn α và kí hiệu là sinα,cosα,tanα và cotα. Ở bài này, chúng ta sẽ thấy rằng, các tỉ số lượng giác đó không chỉ áp dụng cho các góc nhọn (0° < α < 90°) mà nó còn được mở rộng để áp dụng cho các góc tù (90° < α < 180°). Vậy thì, các tỉ số lượng giác của một góc nhọn và các tỉ số lượng giác của một góc tù có gì giống và khác nhau?
Hoạt động 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b, BC = a và góc nhọn . Tính sinα,cosα,tanα và cotα.
Hình 2.2
Trên hình 2.2 có một hệ tọa độ Oxy và một nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1, nằm phía trên trục hoành. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị.
Nếu cho trước một góc nhọn α thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho 
Hoạt động 2
Giả sử (xM;yM) là tọa độ của điểm M (hình 2.2). Hãy chứng tỏ rằng: 
Bây giờ chúng ta mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho góc α bất kì (0° đến 180°). Ta có định nghĩa sau đây:
Định nghĩa
Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho Giả sử điểm M có tọa độ (xM;yM). Khi đó: 
Tung độ yM của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.
Hoành độ xM của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.
Tỉ số (với xM ≠ 0) gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.
Tỉ số (với yM ≠ 0) gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.
Các số sinα,cosα,tanα và cotα gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
Như vậy, 
VÍ DỤ 1
Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°.
Lời giải
Ta lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho .
Khi đó hiển nhiên .
Từ đó suy ra tọa độ của điểm M là:
Vậy 
Hoạt động 3
Xác định tọa độ của điểm M trong hình 2.2, từ đó tìm các giá trị lượng giác của góc α khi: 
a) α = 0°;        b) α = 90°;        c) α = 180°.
Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Bằng cách tính như trên, ta có thể tính được các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà ta cần ghi nhớ: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150° và 180° (Các giá trị lượng giác này cũng có thể tìm thấy trong bảng số hoặc bằng máy tính bỏ túi).
Kết quả được cho trong bảng dưới đây.
Góc
sin
cos
tan
0
1
-1
0
cot
1
0
-1
Trong bảng, kí hiệu "" để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Dấu của các giá trị lượng giác
Chúng ta đã biết, các tỉ số lượng giác của một góc nhọn luôn dương. Tuy nhiên, điều đó sẽ không còn đúng cho trường hợp của góc tù. Tại sao lại như vậy?
Xét hình 2.2, khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn thì dễ thấy rằng:
hay 
hay 
Từ đó, ta có bảng sau đây về dấu của các tỉ số lượng giác:
Như vậy, sin của góc tù luôn dương còn côsin, tang, côtang của góc tù luôn âm.
Hoạt động 4
Điền dấu "x" vào ô vuông thích hợp. 
a) 
Đúng 
Sai 
b) 
Đúng 
Sai 
c) 
Đúng 
Sai 
d) 
Đúng 
Sai 
e) 
Đúng 
Sai 
Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Chúng ta đã biết mối quan hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia. Liệu có một quan hệ tương tự, cho các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau?
Hoạt động 5
Lấy hai điểm M và M' trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MM' // Ox.
a) Tính tổng số đo của hai góc và 
b) Hãy cho biết các cặp giá trị lượng giác nào của hai góc α và α' bằng nhau và đối nhau?
Từ đó ta suy ra các tính chất sau đây:
Nếu hai góc bù nhau thì sin của chúng bằng nhau, côsin, tang và côtang của chúng đối nhau; nghĩa là: 
Ví dụ dưới đây minh họa cách sử dụng mối quan hệ trên (của hai góc bù nhau) để tính giá trị lượng giác của các góc lớn hơn 90°.
VÍ DỤ 2
Tìm các giá trị lượng giác của góc .
Lời giải
Vì góc bù với góc nên: 
Cách khác: ta cũng viết 
Sử dụng máy tính bỏ túi
Ta cũng có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc khi biết số đo của góc và ngược lại, tính số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó. Chẳng hạn đối với máy CASIO fx-500MS, ta có thể thực hiện như sau:
Tính giá trị lượng giác
Sau khi mở máy, ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây:
Deg
Rad
Gra
1
2
3
Sau đó ấn phím 1 để xác định đơn vị đó góc là "độ" và tính giá trị lượng giác của góc.
Ví dụ: Tính sin 60°52'41.
Giải
Ấn liên tiếp các phím sau đây:
sin
63
o'''
52
o'''
41
o'''
=
Ta được kết quả là: sin 60°52'41'' ≈ 0,897859012
Để tính cos α và tan α ta cũng làm như trên, chỉ thay việc ấn phím sin bằng phím cos hay tan.
Tính số đo của góc
Sau khi mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc x khi biết các giá trị lượng giác của góc đó, ta làm như ví dụ sau:
Ví dụ: Tìm x biết sin x = 0,3502.
Giải
Ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
SHIFT
sin
0.3502
=
SHIFT
o'''
và được kết quả là: x ≈ 20°29'58''.
Muốn tìm x khi biết cos x, tan x ta làm tương tự như trên, chỉ thay phím sin bằng phím cos hay tan.
BÀI TẬP
1. Xác định dấu của các giá trị lượng giác của góc khi:
a) 
b) 
2. Góc là góc tù hay góc nhọn để:
a) và khác dấu.
b) và cùng dấu.
c) và khác dấu.
d) có giá trị âm.
e) có giá trị âm.
f) có giá trị dương.
3. Tìm góc thỏa mãn:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h)
4. Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau đây ( là số đo của góc ):
a) 
b) 
c) 
5. So sánh các cặp số sau đây:
a) và 
b) và 
c) và 
d) và 
e) và 
f)
6. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
k) khi x bằng 0°; 45°; 60°
l) khi x bằng 60°; 45°; 30°.
m) khi x bằng 30°; 45°; 60°; 90°; 145°.
7. Chứng minh rằng với mọi góc (0° ≤ ≤ 180°) ta đều có 
Cho góc x, với . Tính giá trị của biểu thức: 
8. Chứng minh rằng:
a) sin105° = sin75°;
b) cos170° = -cos10°;
cos122° = -cos58°.
9. Sử dụng máy tính, hãy tính các giá trị lượng giác sau, theo giá trị lượng giác của các góc bé hơn 90°:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f)
10. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a) sin A = sin(B + C);      b) cosA = -cos(B + C).
11. Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có đường cao OH và AK. Giả sử . Tính AK và OK theo a và .