Ðề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 2014 môn thi: Toán; Khối B

éỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2014 
Mụn thi : TOÁN; khối B 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề 
------------------------- 
Cõu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số 3 3 1  y x mx (1), với m là tham số thực. 
a. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=1. 
b. Cho điểm A(2;3). Tỡm m để đồ thị (1) cú hai cực trị B và C sao cho tam giỏc 
ABC cõn tại A. 
Cõu 2: (1,0 điểm) Giải phương trỡnh  2 sin 2cos 2 sin2x  x x 
Cõu 3: (1,0 điểm) Tớnh tớch phõn 
2 2
2
1
3 1 

x x
dx
x x
Cõu 4: (1,0 điểm) 
a. Cho số phức z thỏa món điều kiện 2z + 3(1- i) z =1 - 9i. Tỡm mụđun của z. 
b. Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ cụng ty sữa, người ta gửi đến bộ phận kiểm 
nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dõu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm 
chọn ngẫu nhiờn 3 hộp sữa để phõn tớch mẫu. Tớnh xỏc suất để 3 hộp sữa được 
chọn cú cả 3 loại. 
Cõu 5: (1,0 điểm) Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;-1) và đường 
thẳng 
d: 
1 1
2 2 1
 
 

x y z
. Viết phương trỡnh mp qua A và vuụng gúc với d. Tỡm tọa độ hỡnh 
chiếu vuụng gúc của A trờn d. 
Cõu 6: (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a. Hỡnh chiếu 
vuụng gúc của A’ trờn mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, gúc giữa đường 
thẳng A’C và mặt đỏy bằng 600. Tớnh theo a thể tớch của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và 
khoảng cỏch từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’). 
Cõu 7: (1,0 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh bỡnh hành ABCD. 
Điểm M(-3;0) là trung điểm của cạnh AB, điểm H(0;-1) là hỡnh chiếu vuụng gúc của B 
trờn AD và điểm G(
4
3
;3) là trọng tõm của tam giỏc BCD. Tỡm tọa độ cỏc điểm B và D. 
Cõu 8: (1,0 điểm) Giải hệ phương trỡnh 
   
2
1 2 1
2 3 6 1 2 2 4 5 3
       

       
y x y x x y y
y x y x y x y
 , x y 
Cõu 9: (1,0 điểm)Cho cỏc số thực a, b, c khụng õm và thỏa món điều kiện (a+b)c >0. 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức. 
P = 

a
b c
 + 
 2

 
b c
a c a b
Đỏp ỏn 
Cõu 1: 
a) Tập xỏc định là R, y' = 3x2-3, y' = 0  x = -1 hay x = 1 
 Hàm số đạt 2 cực trị tại: A ( -1 ; 3 ) hay B ( 1 ; -1 ) 
 lim
x
y

  và lim
x
y

  
Bảng biến thiờn 
x  -1 1 + 
y’ + 0  0 + 
y 3 + 
 CĐ -1 
 CT 
 Hàm số đồng biến trờn 2 khoảng (∞; -1) và (1; +∞) 
 Hàm số nghịch biến trờn (-1;1) 
 y" = 6x; y” = 0  x = 0. Điểm uốn I (0; 1) 
 Đồ thị : 
b) y’ = 0  3x2 – 3m = 0  x2 = m 
hàm số cú hai cực trị  m>0 
Tam giỏc ABC cõn tại A  AB2 = AC2 
     
2 2
2 3 2   m m m m m =    
2 2
2 3 2    m m m m m 
 4 4 8 8 0    m m m m m m 
  2 1 0 m m 
1
2
m (vỡ m>0) 
Cõu 2:  2 sin 2cos 2 sin2x  x x 
   2 sin 2 2 cos 2 2sinxcosx=0 2 sin 2 2cos sin 2 0        x x x x x 
  
sin 2 (loai)
3
sin 2 2 2cos 0 22 4cosx=-
2
 

        

x
x x x k

 
Cõu 3: 
2 2
2
1
x 3x 1
I dx
x x
 


=
2
2
1
2x 1
1 dx
x x
 
 
 
 =  2
2
x ln x x
1
  = 1 + ln3 
Cõu 4: a) Đặt z = a + bi (a, b  ) 
2(a + bi) + 3(1 – i)(a – bi) = 1 - 9i  22a 2bi 3 a bi ia bi 1 9i        
 5a 3b b 3a i 1 9i       5a 3b 13a b 9    a 2b 3  . Vậy: z 13 
b) Số cỏch chọn 3 hộp sữa từ 12 hộp 312C = 220 
Số cỏch chọn 3 hộp cú cả 3 loại 1 1 15 4 3C C C = 60 
Xỏc suất để 3 hộp sữa được chọn cú cả 3 loại là : 60/220 = 3/11 
Cõu 5: 
a) Gọi () là mặt phẳng qua A (1; 0; -1) và ()  d. Ta cú : da n = (2; 2; -1) 
 pt () : 2(x – 1) + 2(y – 0) – 1(z + 1) = 0  2x + 2y – z – 3 = 0 
b) Hỡnh chiếu A lờn d là giao điểm I của () và d. 
A  (d)  x = 2t + 1; y = 2t – 1; z = -t 
y 
0 -1 
-4 
-1 
 3 
x 
1 
A  ()  2(2t + 1) + 2(2t – 1) + t – 3 = 0  t = 
1
3
  I (5/3; -1/3; -1/3) 
Cõu 6: Gọi H trung điểm AB thỡ A’H  (ABC) 
Hỡnh chiếu vuụng gúc của A’C lờn (ABC) là HC. Vậy gúc A’C và (ABC) là 0A'CH 60 
 A’HC vuụng  tan600 = 
A'H
3
HC
  A’H = 
a 3 3a
3
2 2
 
VLT = A’H dt (ABC) = 
2 33a a 3 3a 3
.
2 4 8
 
Cỏch 1: Do AB cắt (A’AC) tại A mà H là trung điểm AB nờn 
d(B, (A’AC)) = 2d(H, (A’AC)) 
 Vẽ HI  AC, Vẽ HK  A’I (1) 
 Do AC  (A’IH)  AC  HK (2) 
 (1), (2)  HK  (A’AC 
 A’HI vuụng  HK = 
2 2
3a a 3
.
HA '.HI 3a2 4
A 'I 2 139a 3a
4 16
 

 Vậy d(B, A’AC) = 2HK = 
3a
13
Cỏch 2: d(B, (A’AC)) = 
3
A'.ABC LT
3a 3
3V V 3a8
1dt( A 'AC) 1 a 39 13A 'I.AC . .a
2 2 4
  

Cõu 7: Phương trỡnh đường trũn đường kớnh AB: 2 2(x 3) y 10   
I(a; b) là giao điểm của AC và BD 
     GC 2GI C 4 2a;9 2b B 2 4a;9 4b D 2 6a;6b 9            
 HA 4a 4;4b 8   cựng phương  HD 6a 2;6b 8   nờn a = 2b -3 
 A 8b 16;4b 9   mà    
2 2
A (C) 8b 13 4b 9 10      
b 2 a 1 B( 6;1),D(8;3)     (loại vỡ khi đú H khụng là hỡnh chiếu của B lờn AD) 
 hay 
3
b a 0 B( 2;3),D(2;0)
2
     
Cõu 8: 
2
(1 y) x y x 2 (x y 1) y (1)
2y 3x 6y 1 2 x 2y 4x 5y 3 (2)
       

       
ĐK : x – y  0, y  0, x – 2y  0; 4x – 5y – 3  0 
(1) (1 y) x y (x y 1) (y 1) (x y 1) y 0           
 (1 – y) ( x y 1) (x y 1)(1 y) 0        
(1 y)(x y 1) (x y 1)(1 y)
0
x y 1 1 y
     
 
  
 (1 – y) (x – y – 1)
1 1
0
x y 1 1 y
 
  
    
 (1–y)(x–y–1) = 0 y=1 hay x = y + 1 
 y = 1, (2)  9 – 3x = 2 x 2 4x 8    9 – 3x = 0  x = 3 
B 
A C 
A
/ 
B
/ 
C
/ 
H 
I 
 x = y + 1, (2)  2y2 + 3y – 2 = 2 1 y 1 y    2y2 + 3y – 2 = 1 y (A) 
Cỏch 1: (A)  21 y 2y 3y 2 0     
 2(1 y) 2y 1 y (2y 1) 1 y y(2y 1) 0         
  2 1 y 1 y y (2y 1)( 1 y y) 0           2 1 y 2y 1 1 y y 0      

2 1 y 2y 1 0(VN)
1 y y(y 0)
1 y y 0
    
   
   
 2
1 5 1 5
y y 1 0 y y
2 2
(loaùi)
   
       
Nếu 
1 5 1 5
y x
2 2
  
   . Vậy hệ cú nghiệm (3;1) và 
1 5 1 5
;
2 2
   
  
 
Cỏch 2: (A)   
2
22y y 2 1 y 1 y     (*) 
Xột 2f (t) 2t t, t 0   , f (t) 4t 1 0    nờn f(t) đồng biến trờn  0 : 
(*) y 1 y    2
1 5 1 5
y y 1 0 y y
2 2
(loaùi)
   
       
Nếu 
1 5 1 5
y x
2 2
  
   . Vậy hệ cú nghiệm (3;1) và 
1 5 1 5
;
2 2
   
  
 
Cõu 9: 
Từ điều kiện ta cú c > 0 và a + b > 0 
a / c b / c 1 x y 1
P
b a a b y 1 x 1 2(x y)
1 1 2
c c c c
     
      
 
với 
a b
x 0, y 0
c c
    
Ta cú 
x 2x
y 1 x y 1

  
 Dấu “=” xảy ra khi x = 0 hay x = y + 1 
Ta cú 
y 2y
x 1 x y 1

  
 Dấu “=” xảy ra khi y = 0 hay y = x + 1 
2(x y) 1 2t 1
P
(x y) 1 2(x y) t 1 2t

   
   
 với t x y 0   
Xột 
2 2
2t 1 2 1
f (t) , f (t)
t 1 2t (t 1) 2t
   
 
2 2
1
t (loai)
3
f (t) 0 4t (t 1)
3
t 1 f (1)
2

 
      
   

Từ bảng biến thiờn ta cú 
3
f (t) f (1)
2
  
Vậy P cú giỏ trị nhỏ nhất là 
3
2
 khi 
a 0
b cx 0 x 1
y 1 y 0 b 0
a c
 

         


Hà Văn Chương, Ngụ Trấn Vũ 
(Trung tõm LTĐH Vĩnh Viễn – TP.HCM)