Ðề thi giáo viên giỏi tỉnh Ninh Bình năm học 2010 – 2011 môn: Toán

ðỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI TỈNH NINH BÌNH 
NĂM HỌC 2010 – 2011 
Mơn: Tốn 
Bài 1: 
Tìm một số tự nhiên cĩ hai chữ số để khi nhân với 135 ta được một số chính 
phương. 
Bài 2: 
Tìm x, y, z biết: 
a) 2x y 2 z 3
3 3 4
− −
= = và 2x + 3y – z = 50; 
b) x y y z;
3 4 5 7
= = và 2x – 3y + z = 186. 
Bài 3: 
Xe du lịch và xe tải cùng xuất phát từ hai địa điểm A và B. Sau 5 giờ chúng 
gặp nhau tại C (B nằm giữa A và C). Biết rằng mỗi vận tốc xe tải bằng 3
5
 vận tốc xe 
du lịch. Tính thời gian xe du lịch đi từ A đến B? 
Bài 4: 
Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữ A và B. Trong cùng một nửa mặt 
phẳng bờ là đường thẳng AB dựng các hình vuơng AMCD và MBEF. Hai đường 
thẳng AF và BC cắt nhau ở N. 
1) Chứng minh AF vuơng gĩc với BC, suy ra điểm N nằm trên hai đường trịn 
ngoại tiếp các hình vuơng AMCD và MBEF. 
2) Chứng minh ba điểm D; N; E thẳng hàng và MN vuơng gĩc với DE tại N. 
3) Cho A, B cố định cịn M di động trên đoạn AB. Chứng minh đường thẳng 
MN luơn đi qua một điểm cố định. 
4) Tìm vị trí điểm M sao cho đoạn thẳng MN cĩ độ dài lớn nhất. 
Bài 5: 
a) Cho 2000 2000 2001 2001 2002 2002a b a b a b+ = + = + 
Tính 2010 2010P a b= + 
b) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. 
Chứng minh: a b b c a c 6+ + + + + ≤