Định lý Mê-Nê-la-uyt và các bài toán liên quan

ĐỊNH LÝ MÊ-NÊ-LA-UYT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Định li Menolaus (Mê-nê-la-uyt) còn ít được nói đến ở chương trình hình học PT, tuy thế đây là 1 định lí hay, nếu biết ứng dụng có thể giải một sồ bài hình tam giác, tỷ lệ thức về tam giác rất tốt. xin giới thiệu ĐL và một số bài toán ứng dụng
1/ Định lí Mê-nê-la-uyt: 
Cho ∆ABC và ba điểm M, N, P trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB sao cho: hoặc cả ba điểm nằm trên phần kéo dài của ba cạnh; hoặc một điểm nằm trên phần kéo dài của một cạnh, còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là: 
Chứng minh:  
Trường hợp 1: Trong ba điểm M, N, P có đúng hai điểm thuộc cạnh của tam giác, giả sử N và P. (Hình 1a)
Phần thuận: Giả sử M, N, P thẳng hàng. Ta chứng minh (1)
Kẽ BD // AC ( D  MN) hình 1b . Ta có:   ,  
Suy ra 
Phần đảo: Ngược lại, giả sử N, P nằm trên hai cạnh AC và AB của ∆ ABC; M nằm trên phần kéo dài của BC. Gọi M’ là giao điểm của NP và BC, suy ra M’ nằm trên phần kéo dài của BC.
Vì “ M’ , N, P thẳng hàng nên ta có: 
Từ  và  suy ra . Hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Trường hợp 2: Cả ba điểm M, N, P đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh; chứng minh tương tự. ( HÌNH 2 )
2/ Bài tập vận dụng:
Bài toán 1: Cho ∆ABC, vẽ trung tuyến BD ( D  AC). Trên tia AB lấy một điểm E sao cho AE = 2BE; CE cắt BD tại F. Chứng minh .
Lời giải:
 *Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt).
Gọi M là trung điểm của AE, suy ra DM là đường trung bình của ∆AEC
và EF // MD F là trung điểm của BD . EF là đường trung bình của ∆BMD . (đpcm)
Cách 2: ( dùng ĐL Mê-nê-la-uyt).
Xét ∆ EAC với ba điểm B, F, D thẳng hàng.( theo Mê-nê-la-uyt).
Ta có:        (đpcm).
 Bài toán đơn giản hẳn đi ¡
Bài toán 2: 
 Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua M và song song với phân giác của góc BAC cắt AC, AB lần lượt ở E và F. 
Chứng minh rằng CE = BF.
Lời giải:
Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt). Thực ra ra nếu trình bày đủ thì dài dòng, ta giải vắn tắt như sau:
Từ AD // FM và ME // AD 
  và  
Mặt khác theo tính chất đường phân giác có:  
Từ  và  suy ra     (do BM = CM ).
Cách 2: (dùng Mê-nê-la-uyt)
Xét ∆ABC với ba điểm F, E, M thẳng hàng ta có:
Do  nên ∆ AEF cân ở A. Suy ra AE = AF (2)
 Từ  và  suy ra  (đpcm)
Sưu tầm và chinh lí : Phạm Huy Hoạt 9 – 11 - 2012