Đề và đáp án thi học sinh giỏi Toán lớp 9

Câu 1 : (2 điểm) Cho P=
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3.
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
 	P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải phương trình : 
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
 A = 
Câu 4 : (3 điểm)
 	Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E . Chứng minh :
a) BD.CE=
b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED.
c) Chu vi tam giác ADE không đổi.
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi .	
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Câu 1 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
 =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5
 a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) 
 =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
 Nêu ĐKXĐ : a 0,25 
 Rút gọn P= 0,25
b) (0,5đ) P= ; ta thấy P nguyên khi a-2 là ước của 3,
 mà Ư(3)= 0,25
 Từ đó tìm được a 0,25
Câu 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 .	 0,25
 Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)=
 =(a+b)	 0,5	
 Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;
 Do vậy (a+b) chia hết cho 9	 0,25
b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 	 0,5
 Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36 	 0,25
 Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
 Từ đó ta tìm được x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36	 0,25
Câu 3 : (2đ)
a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
 x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
 x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;	 0,25
 ĐKXĐ : 	 0,25
 Phương trình trở thành : 
 	 0,25
	18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4)
	(x+13)(x-2)=0
 Từ đó tìm được x=-13; x=2;	 0,25
b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 
 Từ đó suy ra a= ;	 0,5
 Thay vào ta được A= 0,25
 Từ đó suy ra A hay A	 0,25
Câu 4 : (3 đ)
a) (1đ)	
 Trong tam giác BDM ta có : 
 Vì =600 nên ta có : 
 Suy ra 
 Chứng minh ∾ (1) 	 0,5
 Suy ra , từ đó BD.CE=BM.CM
 Vì BM=CM= , nên ta có BD.CE= 	 0,5
b) (1đ) Từ (1) suy ra mà BM=CM nên ta có 
 Chứng minh ∾ 	 0,5
 Từ đó suy ra , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
 Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 	 0,5
c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
 Chứng minh DH = DI, EI = EK 	 0,5
 Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận. 	 0,5
Câu 5 : (1đ)
 Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
 (x, y, z là các số nguyên dương )
 Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2)	 0,25
 Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
 z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
	z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
	z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
	(z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2	 0,25
	z=x+y-4 ; thay vào (1) ta được :
	xy=2(x+y+x+y-4)
	xy-4x-4y=-8
	(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4	 0,25
 Từ đó ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
 (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; 
 (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10)	 0,25