Đề và đáp án thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 8

ĐỀ I: Câu 1. a) Rút gọn phân thức: 
	 b) Cho biểu thức , với a, b, c là các số nguyên dương. Chứng minh A chia hết cho 30.
Câu 2. a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương.
 b) Cho x, y, z đôi một khác nhau và . 
Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 3. a) Cho phương trình: . Tìm m để phương trình có nghiệm dương.
 	 b) Tìm x, y, z biết : 
Câu 4. Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
	a) Chứng minhEDF vuông cân
 	b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
 Câu 5. Cho tam giác ABC cân tại A có = 400 . Điểm M nằm trong tam giác sao cho = 400 , = 200 . Tính góc 
ĐỀ II:
 Bài 1:1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 
a) b) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 
 	2) Tìm số tự nhiên n để M = là một số chính phương
 Bài 2: 
1) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 
2) Giải phương trình: 
Bài 3: Cho hình vuông ABCD trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho góc MAN = 450. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AM, AN với BD.
1) Chứng minh đồng dạng với 
2) Chứng minh NE AM. 
3) Gọi H là giao điểm của NE và MF, AH cắt NM tại P. Chứng minh AM là phân giác của góc BAP.
Bài 4:
Cho tam giác ABC vuông tại B (AB = 2BC). Lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho BC = CD, điểm E thuộc cạnh AB sao cho AD = AE. 
Chứng minh rằng: 
HƯỚNG DẪN CHẤM
Ta thấylà tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2, 3 và 5 mà (2; 3; 5) = 1 nên tích của chúng chia hết 30
Mà có tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3. hay chia hết cho 30.
Đặt n2 – 14n – 256 = k2 (k Î )
Þ (n – 7)2 – k2 = 305
 Û (n – 7 – k)(n – 7 + k) = 305
Mà 305 = 305.1 = (–305).( –1) = 5.61 = (–5).( –61) 
và (n – 7 – k) ≤ (n – 7 + k) nên xét các trường hợp:
Vì n và k là các số tự nhiên nên ta chọn n = 160 hoặc n = 40.
yz = –xy–xz 
x2 + 2yz = x2 + yz – xy – xz = x(x–y)–z(x–y) 
= (x–y)(x–z) 
 Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) 
Do đó: 
Tính đúng A = 1 
Đk: x ≠ ± 2
Ta được: (2x-m)(x+2) + (x-1)(x-2) = 3(x-2)(x+2)
Û 2x2 + 4x – mx – 2m + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12
Û (1-m)x = 2m – 14
Û 
Đề phương trình có nghiệm dương x > 0 khi (1)
+Với Đk x ≠ 2 Û ≠ 2 Û m ≠ 4 (2)
Từ (1), (2) 
Vậy 1< m < 7 và m ≠ 4 thì phương trình trên có nghiệm dương 
Dấu bằng xẩy ra khi (x ; y ; z) = (1 ;2 ;3)
Bài 4
a) Chứng minh EDF vuông cân
Ta có ADE =CDF (c.g.c)EDF cân tại D 
	Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c) 	 
Mà = 900 = 900 	 
 = 900. VậyEDF vuông cân	 
 b) Chứng minh O, C, I thẳng
	Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 
MàEDF vuông cân DI =EF	Tương tự BI =EF DI = BI 	
 I thuộc dường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng	 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, N đối xứng với M qua AH.
Gọi CM x AB = E, AH x MN = F.
Vì và AB = AC(gt) nên 
Mà nên 
Vì nên 
 Mà DBEM vuông tại E nên ME = MB (1)
Vì HF là đường trung trực BC, MN nên BMNC là hình thang cân với trục đối xứng là HF (2) 
Từ (2) Þ và 
Từ (2) suy ra BC//MN
Do đó Vậy DNCM cân tại N nên NM = NC.
Kết hợp với (2) ta có (3)
Từ (1) và (3) suy ra ME = MF do đó 
A
B
E
I
D
C
 O
 F
2
1
1
 2