Đề và đáp án thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD & ĐT Nghi Lộc

 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
 NGHI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2015 - 2016
 Môn: TOÁN 8
 Thời gian làm bài: 90 phút - không kể thời gian phát đề
(ĐỀ CHÍNH THỨC)
Câu 1 (6,0 điểm). Cho biểu thức 
 Tìm điều kiện xác định và rút gọn P
 Tìm x để 
 Xác định các giá trị dương của x để biểu thức nhận giá trị nguyên
Câu 2 (4,0 điểm). Cho phương trình sau (ẩn x): 
 a) Xác định m để phương trình có 1 nghiệm 
 b) Với giá trị m vừa tìm được. Tìm các nghiệm còn lại của phương trình. 
Câu 3 (4,0 điểm). a) Chứng minh rằng không tồn tại 3 số dương a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn: 
 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
 là số chính phương.
Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, điểm D di động trên tia đối của tia BA sao cho , nối C với D, vẽ tia Ax nằm trong góc BAC, sao cho , gọi M là giao điểm của tia Ax và CD
 a) Chứng minh: 
 b) Chứng minh: 
 c) Gọi Q là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng khi D di động trên tia đối của tia BA sao cho thì DQ luôn đi qua một điểm cố định.
 .Hết
 Họ và tên thí sinh:. Số báo danh:.........................................
\
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
 1
a
ĐK: 
1,0
1,0
Vậy 
1,0
b
Ta tìm x thỏa mãn 
1,0
. Đối chiếu điều kiện, ta chỉ lấy 
1,0
c
Với 
0,25
Mặt khác . Do nên hay 
0,25
Từ (1) và (2) ta suy ra để M nguyên ta lấy M = 1
0,25
Khi M = 1 thì 
. Vậy khi thì nguyên
0,25
 2
a
Ta thay vào phương trình: 
1,0
 hay . Vậy khi thì phương trình có 1 nghiệm 
1,0
b
Với , thay vào phương trình ta được 
1
0,5
Với thay vào phương trình ta được
giống như trường hợp trên ta thu được các nghiệm là 
0,5
3
a
Theo bài ra ta có: 
0,5
, tương tự ta cũng có: 
0,5
0,5
cộng vế với vế ta được: 
nếu thì . Do đó không tồn tại 3 số dương a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn (*)
0,5
b
Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì 
 là số chính phương.
Ta có 
1,0
Đặt: . Vậy 
0,5
 nên 
Vậy A là số chính phương.
0,5
4
a
vẽ hình đúng cho 0,5
Xét DBC và DMA có (giả thiết), góc D chung, suy ra
DBC đồng dạng với DMA (g.g)
0,5
2,5
b
Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = CM, xét ANB và CMB có AN = CM (do ta chọn điểm N), , AB = BC (cạnh của tam giác đều ABC) (c.g.c) và từ đó suy ra tam giác BMN cân tại B
1,0
Ta lại có hay suy ra tam giác BMN là tam giác đều, suy ra MN = MB AM = AN + NM =MC + MB
0,5
Áp dụng bất đẳng thức (với 
. Dấu bằng xảy ra khi MB = MC khi đó Ax là tia phân giác của góc A
0,5
c
tam giác MBN đều mặt khác hay từ đó suy ra 
0,25
xét tam giác QCB và CBD ta có: suy ra tam giác QCB đồng dạng với tam giác CBD (g.g)
0,25
qua B kẻ đường thẳng song song với AQ cắt DQ tại I, suy ra BI//AQ
0,25
theo định lý talet ta có 
0,25
 suy ra tứ giác ABIC là hình thoi, mà A, B, C cố định suy ra I cố định vậy DQ luôn đi qua đỉnh thứ 4 của hình thoi ABIC