Đề tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2011-2012 - Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng

SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG Đề thi vào lớp 10 chuyên TOÁN năm học 2011 - 2012
www.VNMATH.com Môn: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC (Trường THPT Chuyên Trần Phú)
Câu I.
1. Cho biểu thức
P =
(
2
√
x
x
√
x +
√
x− x− 1 −
1√
x− 1
)
:
(
1 +
√
x
x + 1
)
.
Rút gọn P . Tìm x để P ≤ 0.
2. Cho phương trình x2 − 2(m + 2)x + 2m + 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh
huyền có độ dài là
√
6
3 .
Câu II.
1. Giải phương trình √
x− 3 +√2x− 7 +
√
x + 1 + 3
√
2x− 7 = 9
√
2.
2. Giải hệ phương trình x2 + 4y2 = 44xy + x + 2y −2
Câu III. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Các đường cao AD,BE,CF, (D ∈
BC,E ∈ CA,F ∈ AB). Gọi I, J,K lần lượt là trực tâm các tam giác AEF,BFD,CDE.
1. Chứng minh DI,EJ, FK đồng quy tại trung điểm của mỗi đường.
2. Chứng minh AI,BJ,CK đồng quy tại O.
3. Gọi M,N là hình chiếu vuông góc hạ từ D xuống AB,AC; P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc
hạ từ E xuống BC,BA; R,S lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ F xuống CA,CB. Chứng minh
M,N,P,Q,R, S cùng nằm trên một đường tròn.
Câu IV.
1. Chứng minh a3 + b3 ≥ ab(a + b) ∀a, b ≥ 0.
2. Cho a, b, c ≥ 0 và abc = 94 . Chứng minh
a3 + b3 + c3 > a
√
b + c + b
√
c + a + c
√
a + b.
3. Tìm số dư của
[(
2 +
√
3
)2011]
khi chia cho 3, với [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
Câu V. Trong bảng 4× 4 ô vuông có 1 trong 8 ô ở biên nhưng không phải là góc của bảng điền số −1
và 15 ô còn lại điền số 1. Một lượt, chọn 1 hàng hoặc 1 cột hoặc 1 đường chéo tùy ý (kể cả đường chéo
chỉ gồm 1 ô góc), sau đó đổi dấu tất cả các ô trong đó. Hỏi có thể đến một lúc nào đó thu được tất cả
các ô trong bảng đều là số 1 không?
∗ ∗ ∗ WWW.VNMATH.COM ∗ ∗ ∗
3
www.VNMATH.com