Đề Toán lớp 9 luyện học sinh giỏi

ĐỀ SỐ 1 – HSG( THI LHP)
Câu I: (4,0 điểm) Cho biểu thức 
 1. Rút gọn biểu thức A
 2. Tìm để 
Câu II: (4điểm)
 1. Giải phương trình 
 2. Giải hệ phương trình 
Câu III: (4điểm)
 1. Tìm các nghiệm nguyên (x; y) của phương trình: .
 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn : 
Câu IV: (6điểm) 
Cho 3 điểm A , B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). 
Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.
1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi.
3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME.
Câu V: (2điểm)
Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 ------------------ Hết------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1 – HSG( THI LHP)
CÂU
Ý
NỘI DUNG
ĐIỂM
I
1
Điều kiện: 
Đặt , ta có:
0,5
0,5
0,5
. Vậy: .
0,5
2
 (do ) 
0,5
 0,5
 0,5
Đối chiếu với điều kiện ta được: 
0,5
II
1
ĐKXĐ: 
0,25
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình. 
0,25
Khi thì 
Phương trình đã cho 
0,25
Đặt , ta được phương trình biểu thị theo t là 
0,25
0,25
Với (thỏa mãn)
0,25
Với (thỏa mãn)
0,25
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
0,25
2
Với x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình
0,5
Nhận thấy nếu x 0 thì y 0 và ngược lại
Xét x 0 ; y 0 hệ phương trình tương đương với
(2)
(1)
0,5
Thay (1) vào (2) ta được 
0,5
Vậy hệ có nghiệm (x ; y) là (0 ; 0) ; (1 ; 1)
0,25
0,25
1
Ta có: (1)
 . Đặt (2) thì
(1) trở thành (3). 
0,5
Từ (2) thay vào (3) ta được (*), coi đây là PT bậc hai đối với y có: 
0,5
Để (*) có nghiệm 
Vì hoặc . Thay vào (*) : 
0,5
 + Với 
 + Với 
Vậy phương trình có 3 nghiệm nguyên (x, y) là (0; 0), (-1; 3) và ( 1; 2)
0,5
III
2
Nếu thì . 
0,25
Do và p là số nguyên tố nên 
0,25
Nếu thì pq và p + q là nguyên tố cùng nhau vì pq chỉ chia hết cho các ước nguyên tố là p và q còn p + q thì không chia hết cho p và không chia hết cho q.
0,25
Gọi r là một ước chung của và 
0,25
 hoặc . 
0,25
 suy ra là hai nghiệm của phương trình vô nghiệm do 
0,25
 suy ra là hai nghiệm của phương trình vô nghiệm do .
0,25
Vậy bộ các số nguyên tố (p; q) cần tìm là 
0,25
IV
1
H
I là trung điểm của BC (Dây BC không đi qua O)
 OI ^ BC OIA = 900 
0,5
Ta có AMO = 900 
ANO = 900 
Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kinh OA
0,5
0,5
0,5
2
AM, AN là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là phân giác MON mà DMON cân ở O nên OA ^ MN
DABN đồng dạng với DANC (Vì ANB = ACN, CAN chung) 
 AB . AC = AN2 
DANO vuông tại N đường cao NH nên AH . AO = AN2
AB . AC = AH . AO 
DAHK đồng dạng với DAIO (g-g) 
Nên 
Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK cố định 
Mà A cố định, K là giao điểm của dây BC và dây MN nên K thuộc tia AB K cố định
0,5
0,5
0,5
0,5
3
Ta có PMQ = 900 
 DMHE DQDM (g-g) 
DPMH DMQH 
 ME = 2 MP P là trung điểm ME
0,5
0,5
0,5
0,5
V
Từ: 
ta có: 
0,25
Lại có 
và 
0,25
0,25
Đặt (với ).
0,25
Có 
0,25
0,25
mà .
0,25
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi t = 2 hay 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là khi 
0,25