Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên lam sơn năm học 2014 - 2015 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
ĐỀ CHÍNH THỨC
Đề thi gồm 01 trang
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN 
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin học)
Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 18 tháng 6 năm 2014
Câu 1: (2,0 điểm)
	Cho biểu thức:   (với x > 1).
	1. Rút gọn biểu thức P.
	2. Tính giá trị của biểu thức P khi . 
Câu 2: (2,0 điểm)
	1. Cho phương trình: , với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: .
 	2. Giải phương trình: .
Câu 3: (2,0 điểm)
	Tìm nghiệm nguyên của phương trình: .
Câu 4: (3,0 điểm)
	Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi M là điểm thuộc cung (M ¹ A, M ¹ B) và I là điểm thuộc đoạn OA (I ¹ O, I ¹ A). Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với đường tròn (O). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với IM cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi E là giao điểm của AM với IC, F là giao điểm của BM với ID. Chứng minh rằng:
	1. MEIF là tứ giác nội tiếp.
	2. EF // AB.
	3. OM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CEM, DFM.
Câu 5: (1,0 điểm)
	Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: .
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 
----- Hết -----
Họ và tên thí sinh: .................................................................................... Số báo danh: .......................................................
Chữ ký giám thị 1: ............................................................... Chữ ký giám thị 2: ...............................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC 2014 - 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN 
(Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin)
Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang
Hướng dẫn chung:
	Nếu học sinh giải cách khác với cách nêu trong HDC này, mà đúng, thì vẫn được điểm tối đa của phần (câu) tương ứng.
Câu
Ý
Lời giải (vắn tắt)
Điểm
1
(2,0đ)
1
(1,0đ)
 Với điều kiện x > 1 thì :
0,5
.
0,5
2
(1,0đ)
Khi .
0,5
Thì: .
0,5
2
(2,0đ)
1
(1,0đ)
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
0,25
Ta có: 
0,25
(1) .
0,25
(2) không xảy ra do và .
Vậy: .
0,25
2
(1,0đ)
Điều kiện: 
0,25
Phương trình Û 
0,25
Đặt , được phương trình: t2 + 2t – 3 = 0 Û t = 1; t = – 3
Với t = 1, suy ra .
0,25
Với t = –3, suy ra (Vô nghiệm).
Vậy phương trình có hai nghiệm: .
0,25
3
(2,0đ)
Phương trình: .
Vì , suy ra . Có các trường hợp sau:
0,5
+) 
Trường hợp này không có nghiệm nguyên thỏa mãn.
0,5
+) 
Với: 
0,5
Với: 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm nguyên: (x; y) Î {(2; 3); (3; 2)}.
0,5
4
(3,0đ)
1
(1,0đ)
* Chỉ ra tứ giác AIMC nội tiếp, suy ra được .
0,25
* Chỉ ra tứ giác MIBD nội tiếp, suy ra được .
0,25
* Mặt khác , suy ra .
0,25
Vậy tứ giác MEIF là tứ giác nội tiếp (đpcm).
0,25
2
(1,0đ)
* (góc nội tiếp cùng chắn cung ).
0,25
* (hai góc cùng phụ với góc ).
0,25
* (góc nội tiếp cùng chắn cung ).
0,25
Suy ra: .
Vậy: EF // AB (đpcm).
0,25
3
(1,0đ)
Nối OM cắt EF tại O'.
Do EF // AB và O là trung điểm AB nên O' là trung điểm EF.
Vì tam giác MEF vuông tại M nên ta có: MO' = O'E = O'F.
0,25
Từ câu 2) suy ra hay .
Þ O'E là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM tại E.
0,5
Vì O'M = O'E nên suy ra O'M cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM (tiếp xúc tại M)
Tương tự: O'M cũng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DFM (tiếp xúc tại M).
0,25
Cách khác: 
 Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DFM , H là trung điểm MF.
Ta có: (tam giác OBM cân tại O).
	 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).
	.
Mà , hay .
Do đó OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác DFM.
Tương tự: OM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM.
5
(1,0đ)
Đặt Þ và .
Ta có: Þ
	.
0,25
 Do đó: .
Tương tự: .
0,25
	.
0,25
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
Vậy khi .
0,25