Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2011-2012 - Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hà Nội (Có đáp án)

 SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC	SỐ 5
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Môn thi : Toán
Ngày thi : 22 tháng 6 năm 2011
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 điểm)
Cho Với .
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của A khi x = 9.
3) Tìm x để .
Bài II (2,5 điểm)
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày?
Bài III (1,0 điểm)
Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): .
1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1.
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Gọi d1 và d2 là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại hai điểm A và B.Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh AMEI là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh và .
3) Chứng minh AM.BN = AI.BI .
4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa E của đường tròn (O). Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E, I, F thẳng hàng.
Bài V (0,5 điểm)
Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
........................................Hết........................................
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: 
1/ Rút gọn: ĐK:
2/ Với x = 9 Thỏa mãn , nên A xác định được, ta có . Vậy 
3/ Ta có: ĐK 
Kết hợp với 
Vậy với 0 ≤ x < 100 và x ≠ 25 thì A < 1/3
Bài 2
CÁCH 1:
Gọi thời gian đội xe chở hết hàng theo kế hoạch là x(ngày) (ĐK: x > 1)
Thì thời gian thực tế đội xe đó chở hết hàng là x – 1 (ngày)
Mỗi ngày theo kế hoạch đội xe đó phải chở được (tấn)
 Thực tế đội đó đã chở được 140 + 10 = 150(tấn) nên mỗi ngày đội đó chở được (tấn)
Vì thực tế mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn, nên ta có pt:
Þ 150x – 140x + 140 = 5x2 -5x Û 5x2 -5x – 10x - 140 = 0 Û 5x2 -15x - 140 = 0 
Û x2 -3x - 28 = 0 Giải ra x = 7 (T/M) và x = -4 (loại)
Vậy thời gian đội xe đó chở hết hàng theo kế hoạch là 7 ngày
CÁCH 2:
Gọi khối lượng hàng chở theo định mức trong 1 ngày của đội là x (tấn) ( x > 0)
Số ngày quy định là (ngày)
Do chở vượt mức nên số ngày đội đã chở là (ngày)
 Khối lượng hàng đội đã chở được là 140 + 10 = 150 (tấn)
Theo bài ra ta có pt:
Giải ra x = 20 (T/M)và x = - 35 ( loại)
Vậy số ngày đội phải chở theo kế hoạch là 140:20=7 ( ngày)
Bài 3:
1/ Với m = 1 ta có (d): y = 2x + 8
Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là
 x2 = 2x + 8
 x2 – 2x – 8 = 0
Giải ra x = 4 => y = 16
 x = -2 => y = 4
Tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là (4 ; 16) và (-2 ; 4)
2/ Phương trình hoành độ điểm chung của (d) và (P) là
 x2 – 2x + m2 – 9 = 0 (1)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
Þac < 0 Þ m2 – 9 < 0 Þ (m – 3)(m + 3) < 0
Giải ra có – 3 < m < 3
Bài 4
1/ Xét tứ giác AIEM có 
 góc MAI = góc MEI = 90o.
=> góc MAI + góc MEI = 180o.
Mà 2 góc ở vị trí đối diện
=> tứ giác AIEM nội tiếp
2/ Xét tứ giác BIEN có
góc IEN = góc IBN = 90o.
góc IEN + góc IBN = 180o.
tứ giác IBNE nội tiếp
góc ENI = góc EBI = ½ sđ AE (*)
Do tứ giác AMEI nội tiếp
=> góc EMI = góc EAI = ½ sđ EB (**)
Từ (*) và (**) suy ra
góc EMI + góc ENI = ½ sđ AB = 90o.
3/ Xét tam giác vuông AMI và tam giác vuông BIN có
góc AIM = góc BNI ( cùng cộng với góc NIB = 90o)
DAMI ~ D BNI ( g-g)
AM.BN = AI.BI
4/ Khi I, E, F thẳng hàng ta có hình vẽ
Do tứ giác AMEI nội tiếp
nên góc AMI = góc AEF = 45o.
Nên tam giác AMI vuông cân tại A
Chứng minh tương tự ta có tam giác BNI vuông cân tại B
AM = AI, BI = BN
Áp dụng Pitago tính được
Vậy ( đvdt)
Bài 5:
CÁCH 1:
Vì 
và x > 0 , Áp dụng bdt Cosi cho 2 số dương ta có: x + 
M = ³ 0 + 1 + 2010 = 2011
M ³ 2011 ; Dấu “=” xảy ra óÛ x = 
 Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 
CÁCH 2:
M = 2x² + 2x² + 1/4x - 3x + 2011 = (2x² + 2x² + 1/4x) - 3x + 2011
Do x>0 nên áp dụng Cosi cho 3 số dương 2x², 2x² và 1/4x ta có 2x² + 2x² + 1/4x ≥ 3 = 3x
M = (2x² + 2x² + 1/4x) - 3x + 2011 ≥ 3x -3x + 2011 = 2011 
M  ≥ 2011 Dấu "=" khi 2x² = 1/4x x³ =1/8 x = 1/2
Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = 
CÁCH 3:
Áp dụng cô si cho ba số ta có
 Dấu ‘=’ xẩy ra khi Û x³ =1/8 Û x = 
mà Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2
=> Dấu ‘=’ xẩy ra khi x = 1/2
Vậy Mmin = 2011 đạt được khi x = .Hết NXC