Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán - Năm học 2016-2017 - Sở GD & ĐT Hà Nội (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO	 KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN 	 HÀ NỘI Năm học 2016 – 2017	 Môn thi: TOÁN 	ĐỀ CHÍNH THỨC	 Ngày thi: 09 tháng 6 năm 2016 	 Thời gian làm bài: 150 phút 	 (Dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Bài I (2,0 điểm) 	1) Giải phương trình .	2) Giải hệ phương trình .	 Bài II (2,0 điểm) 	1) Cho các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn và . Tính 
 .
 	 2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn . Bài III (2,0 điểm) 	1) Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh 
	.	2) Cho số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên. Chứng minh là số chính phương.
Bài IV (3,0 điểm) 	Cho tam giác nhọn có và nội tiếp đường tròn . Các đường cao cắt nhau tại điểm . Gọi là trung điểm . Tia cắt đường tròn tại điểm .	1) Chứng minh hai tam giác và đồng dạng. 	2) Các đường phân giác của các góc , lần lượt cắt, tại các điểm và . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ; là giao điểm của và . 	 	 a) Chứng minh tứ giác nội tiếp. 	 b) Chứng minh các tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn . 	 Bài V (1,0 điểm)	Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau.
 -------------Hết------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.	 Họ tên thí sinh: ................................................... Số báo danh:....................................... Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 1: Họ tên, chữ kí của cán bộ coi thi số 2:
 ĐÁP ÁN
Bài I (2,0 điểm) 	1) Giải phương trình . 
Điều kiện: . Ta có: 
- Giải (1) ta có: (thỏa mãn)	 - Giải (2): 	 Đặt (vì )
 (thỏa mãn). Vậy phương trình đã cho có nghiệm .	2) Giải hệ phương trình .	
Ta có: .
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có: .
Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ phương trình. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Bài II (2,0 điểm) 	1) Cho các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn và . Tính 
 .
Ta có: 	 Ta luôn có: . Tuy nhiên vì đôi một khác nhau nên không xảy ra đẳng thức.
Do đó . Từ đó: .
Vậy P = 0.
 2) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên thỏa mãn .
Ta có: (mod 3) (mod 3). Mà (mod 3) .
- Nếu lẻ, đặt (mod 3) (sai), suy ra lẻ loại.
- Nếu chẵn, đặt (mod 3) (đúng).
Do đó khi chẵn thì: .
Vì nên .
Vậy ta có các trường hợp: 
 + (loại). 
+ .
Vậy: .
Bài III (2,0 điểm) 	1) Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh 
	.
Ta có: . Do đó: .
Xảy ra đẳng thức khi 
 2) Cho số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên. Chứng minh là số chính phương.
Hiển nhiên là số nguyên mà là số lẻ nên tồn tại số tự nhiên mà Vì nên xảy ra 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: (mod 3) (mod 3) (vô lí).
- Trường hợp 2:. 
Vì nên là số chính phương.
Bài IV (3,0 điểm) 	Cho tam giác nhọn có và nội tiếp đường tròn . Các đường cao cắt nhau tại điểm . Gọi là trung điểm . Tia cắt đường tròn tại điểm .	1) Chứng minh hai tam giác và đồng dạng. 	2) Các đường phân giác của các góc , lần lượt cắt, tại các điểm và . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ; là giao điểm của và . 	 	 a) Chứng minh tứ giác nội tiếp. 	 	 b) Chứng minh các tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn .
Kẻ đường kính của đường tròn .là hình bình hànhđi qua đi qua nội tiếp , mà ~ (g.g)
 a) Kẻ đường kính của .
Lại có: thuộc nội tiếp. Lại có ( vì , và ) nội tiếp nội tiếp.
b) Có ~ (c.g.c) lần lượt là phân giác của thẳng hàng và là phân giác của .
Gọi giao điểm của với là và giao điểm của vớilà .	 Ta có: nội tiếp 
 nội tiếp mà là tiếp tuyến của mà cũng là tiếp tuyến của Tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại trên .
Bài V (1,0 điểm)	Cho 2017 số hữu tỷ dương được viết trên một đường tròn. Chứng minh tồn tại hai số được viết cạnh nhau trên đường tròn sao cho khi bỏ hai số đó thì 2015 số còn lại không thể chia thành hai nhóm mà tổng các số ở mỗi nhóm bằng nhau.
 Giả sử tồn tại 2017 số hữu tỷ được sắp xếp một cách thoả mãn nếu bỏ 2 số bất kì cạnh nhau thì 2015 số còn lại chia được thành hai nhóm có tổng bằng nhau. Gọi 2017 số được sắp xếp thoả mãn là 2017 số có tính chất P.
 Vì có 2017 số hữu tỷ có tính chất P nên nếu nhân mẫu của các số hữu tỷ đó lên thì được 2017 số tự nhiên có tính chất P. Gọi 2017 số đó lần lượt xếp theo chiều kim đồng hồ là . Giả sử trong 2017 số đó có 1 số chẵn, 1 số lẻ thì vì 2017 là số lẻ nên lúc đó trên vòng tròn tồn tại 22 số liền kề cùng tính chẵn lẻ và 22 số liền kề không cùng tính chẵn lẻ. Vì vậy có thể bỏ một trong hai cặp số đó để tổng 2015 số còn lại lẻ, lúc đó thì không thể có cách chia 2015 số còn lại thoả mãn đề bài. Giả sử tất cả các số trên vòng tròn cùng tính chẵn lẻ, 2017 số đó không thể cùng lẻ vì cho dù bỏ đi 22 số nào thì tổng các số còn lại đều lẻ nên không thể chia được. Vậy tất cả các số trên vòng tròn đều chẵn. Đặt với chạy từ 1 đến 2017. Vì 2017 số tính chất P nên  cũng có tính chất P. Lập luận tương tự đều chẵn. Tiếp tục đặt và lặp lại vô hạn bước như vậy, ta có  (vô lí vì các số hữu tỉ ban đầu dương).
 Suy ra điều phải chứng minh.