Đề thi: Tuyển sinh vào 10 không chuyên môn Toán

Đề thi đề xuất
Kỳ thi: Tuyển sinh vào 10 khụng chuyờn
Mụn thi: Toỏn . Thời gian làm bài 120 phỳt
Họ và tờn: Nguyễn Thị Thu Trang. Chức vụ: Giỏo viờn
Đơn vị: Trường THCS Thị Trấn Quế
Nội dung đề thi
Cõu 1: (1,5 điểm). 
 Rỳt gọn cỏc biểu thức sau:
	a) A= 
 b) ( với x ≥ 0.)
Cõu 2: (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trỡnh: 
b) Giải phương trỡnh: 9x4 + 5x2 – 4 = 0.
Cõu 3: (1,5 điểm). 
 Cho (P) : và đường thẳng (d): 
 1. Xỏc định m để hai đường đú cắt nhau tại hai điểm phõn biệt A và B, một điểm cú hoành độ x = -1. Tỡm hoành độ điểm cũn lại . Tỡm toạ độ A và B.
 2.Trong trường hợp tổng quỏt , giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt M và N.
 Tỡm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m .
Cõu 4: (4,0 điểm). 
	Cho đường trũn (O) và một điểm A sao cho OA=3R. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AP và AQ của đường trũn (O),với P và Q là 2 tiếp điểm.Lấy M thuộc đường trũn (O) sao cho PM song song với AQ.Gọi N là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AM và đường trũn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K.
 1.Chứng minh APOQ là tứ giỏc nội tiếp.
 2.Chứng minh KA2= KN. KP
 3.Kẻ đường kớnh QS của đường trũn (O).Chứng minh tia NS là tia phõn giỏc của gúc.
 4. Gọi G là giao điểm của 2 đường thẳng AO và PK .Tớnh độ dài đoạn thẳng AG theo bỏn kớnh R.
Cõu 5: (1,0 điểm). 
 Cho cỏc số a, b, c, d thỏa món điều kiện: . 
 Chứng minh rằng: 
HẾT
Họ và tờn thớ sinh: ........................................................Số bỏo danh: .........................
Chữ kớ của giỏm thị 1: ..................................Chữ kớ của giỏm thị 2: ..........................
HƯỚNG DẪN CHẤM
( Hướng dẫn chấm này gồm 3 trang )
Cõu
Nội dung
Điểm
Cõu 1
a)
0,75
điểm
A = 
 = 
0,5
= 
0,25
b)
0,75
điểm
0,5
 = = x
0,25
Cõu 2
a)
1,0
điểm
0,75
Vậy hệ phương trỡnh đó cho cú nghiệm là ( x; y) = ( 2 ; -1)
0,25
b)
1,0
điểm
Đặt t = x2 (t 0). Phương trỡnh trở thành 9t2 + 5t – 4 = 0.
a – b + c = 0 (hoặc tớnh = 169); t1 = - 1 (loại) ; t2 = (TMĐK)
	 t2 = x2 = x =.
0,25
0,25
0,25
Vậy phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm: x1,2 = 
0,25
Cõu 3
a)
0,75
điểm
1. Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của (d) và (P):
 x2 = 2x + m x2 - 2x + m = 0; Ta cú = 4 + 4m
Đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phõn biệt khi ’ = 1 + m > 0m > -1
Thay x = -1 vào phương trỡnh x2 - 2x + m = 0 
 m = -3; 
0,25
0,25
0,25
b)
0,75
điểm
Giả sử là hai nghiệm của PT(1) . Khi đú hoành độ của M; N là .Tung độ của M; N tương ứng là .
Tọa độ trung điểm I là 	
Theo định lớ Viột tớnh được = 1 ;= 1+m
Vậy I(1; 1+ m)
0,25
0,25
0,25
Cõu 4
a)
0,75 điểm
(Do AP là tiếp tuyến của (O) ở P)
(Do AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)
,mà hai gúc này là 2 gúc đối nờn tứ giỏc APOQ là tứ giỏc nội tiếp 
0,25
 0,25
0,25
b)
1,0 điểm
Xột AKN và PAK cú là gúc chung
 ( Gúc ntcựng chắn cung NP)
Mà (so le trong của PM //AQ
AKN ~ PKA (gg) (đpcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
c)
1,0 điểm
Kẻ đường kớnh QS của đường trũn (O)
Ta cú AQQS (AQ là tt của (O) ở Q)
Mà PM//AQ (gt) nờn PMQS 
Đường kớnh QS PM nờn QS đi qua điểm chớnh giữa của cung PM nhỏ
(hai gúc nt chắn 2 cung bằng nhau)
Hay NS là tia phõn giỏc của gúc PNM
0,25
0,25
0,25
0,25
d)
1,25 điểm
Gọi I là giao điểm của AO và PQ
Chứng minh được AQO vuụng ở Q, cú QIAO(theo Tớnh chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Theo hệ thức lượng trong tam giỏc vuụng ta cú
0,25
0,25
0,25
Do KNQ ~KQP (gg) mà nờn AK=KQ
Vậy APQ cú cỏc trung tuyến AI và PK cắt nhau ở G nờn G là trọng tõm 
0,25
0,25
Cõu 5
1,0 điểm
Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng:
1,0 đ
ỏp dụng bất đẳng thức Cụsi ta cú:
0,25 đ
0,25 đ
Đặt , ta chứng minh: với mọi x.
Thật vậy, do với mọi x nờn:
0,25 đ
Suy ra: . 
Từ (1) và (2) ta cú: (đpcm) 
0,25 đ
Chỳ ý: Mọi cỏch làm khỏc mà đỳng đều cho điểm tương đương.