Đề thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn năm học: 2009 - 2010 môn: Toán (dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên toán)

SỞ GD VÀ ĐT
 THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010
Đề chính thức
Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) 
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
Câu 1: (2,0 điểm)
 1. Cho số x thoả mãn điều kiện: x2 + = 7
 Tính giá trị các biểu thức: A = x3 + và B = x5 + 
 2. Giải hệ phương trình: 
Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: () có hai nghiệm thoả mãn điều kiện: .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu 3: (2,0 điểm)
 1. Giải phương trình: + + = 
2. Tìm tất cả các số nguyên tố p để 4p2 +1 và 6p2 +1 cũng là số nguyên tố.
Câu 4: (3,0 điểm) 
 1. Cho hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại . Một đường thẳng qua , cắt cạnh tại và cắt đường thẳng tại . Gọi là giao điểm của các đường thẳng và . Chứng minh rằng: . 
 2. Cho đường tròn (O) bán kính R=1 và một điểm A sao cho OA=.Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm).Một góc xOy có số đo bằng có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng minh rằng: .
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức ,trong đó .
 Chứng minh rằng: .
...Hết ...
SỞ GD VÀ ĐT
 THANH HOÁ
KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN
NĂM HỌC: 2009 - 2010
Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) 
 Đáp án chính thức
 Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) 
 Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009
 (Đáp án này gồm 04 trang)
Câu
ý
Nội dung
Điểm
1
1
Từ giả thiết suy ra: (x +)2 = 9 Þ x + = 3 (do x > 0)
Þ 21 = (x +)(x2 + ) = (x3 +) + (x +) Þ A = x3 +=18
Þ 7.18 = (x2 + )(x3 +) = (x5 +) + (x +)
Þ B = x5+= 7.18 - 3 = 123
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Từ hệ suy ra (2)
Nếu thì nờn (2) xảy ra khi và chỉ khi x=y
thế vào hệ ta giải được x=1, y=1
0.5
0.5
2
Theo Viét, ta có: , .
Khi đó = ( Vì a 0)
 =
Vì nên và 
Do đó 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc 
Tức là Vậy max=3
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
3
1
ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010
Phương trình đã cho tương đương với:
x + y + z = 2 +2 +2
Û (- 1)2 + (- 1)2 + (- 1)2 = 0
 - 1 = 0 x = 3
 - 1 = 0 Û y = - 2008
 - 1 = 0 z = 2011
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Nhận xét: p là số nguyên tố Þ 4p2 + 1 > 5 và 6p2 + 1 > 5
Đặt x = 4p2 + 1 = 5p2- (p - 1)(p + 1)
 y = 6p2 + 1 Þ 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2)
Khi đó:
- Nếu p chia cho 5 dư 4 hoặc dư 1 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 5
Þ x chia hết cho 5 mà x > 5 Þ x không là số nguyên tố 
- Nếu p chia cho 5 dư 3 hoặc dư 2 thì (p - 2)(p + 2) chia hết cho 5
Þ 4y chia hết cho 5 mà UCLN(4, 5) = 1 Þ y chia hết cho 5 mà 
y > 5 
Þ y không là số nguyên tố
Vậy p chia hết cho 5, mà p là số nguyên tố Þ p = 5
Thử với p =5 thì x =101, y =151 là các số nguyên tố
Đáp số: p =5
0.25
0.25
0.25
0.25
4
1.
2.
5.
D
C
N
A
B
I
K
M
E
Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho IB = CM 
Ta có IBE = MCE (c.g.c).
Suy ra EI = EM , MEI vuông cân tại E
Suy ra 
Mặt khác: IM // BN
 tứ giác BECK nội tiếp 
 Lại có: . Vậy 
O
C
B
D
E
M
A
xx
y
Vì AO = , OB=OC=1 và ÐABO=ÐACO=900 suy ra OBAC là hình vuông
 Trên cung nhỏ BC lấy điểm M sao cho ÐDOM = ÐDOB ÞÐMOE=ÐCOE
 Suy ra MOD= BOD Þ ÐDME=900
 MOE= COE ÞÐEMO=900
 suy ra D,M,E thẳng hàng, suy ra DE là tiếp tuyến của (O).
Vì DE là tiếp tuyến suy ra DM=DB, EM=EC
 Ta có DE<AE+AD Þ2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy ra DE<1
 Đặt DM= x, EM=y ta có AD2 + AE2 = DE2 
Û (1-x)2 + (1-y)2 = (x+y)2
Û 1- (x+y) = xy suy ra DE2 + 4.DE - 4
 Û DE
 Vậy DE<1
Ta có: 
Vì nên 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm có: 
 (theo (1))
Rõ ràng vì: 
Đặt ,ta có: 
Vậy 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25