Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa (Có lời giải)

BÀI GIẢI TÓM TẮT MÔN TOÁN (môn thi chung)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 Năm học 2004–2005
TRƯỜNG PTTH TRẦN ĐẠI NGHĨA
Câu 1: (4 điểm)
Cho phương trình: x4–(3m+14)x2+(4m+12)(2–m) = 0 (có ẩn số là x)
a)Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
b) Định m sao cho tích số của 4 nghiệm trên đặt giá trị lớn nhất.
GiảI:
x4–(3m+14)x2+(4m+12)(2–m) = 0 (*)
a) Định m để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
Đặt t=x2
(*)	t2–(3m+14)+(4m+12)(2–m)=0 (**)
 (*) có 4 nghiệm phân biệt 	
b) Định m sao cho tích số của 4 nghiệm trên đặt giá trị lớn nhất.
Ta có 4 nghiệm của (*) là ,, với t1,t2 là nghiệm của (**)
x1x2x3x4 	= t1t2=(4m+12)(2–m)
= –4m2 – 4m+24= –(2m+1)2+25
Giá trị lớn nhất của x1x2x3x4 là 25
khi m=–thỏa điều kiện ở câu a
Câu 2 : Giải phương trình 
a) 
b) 
Giải :
a) 
b) 
 .Thử lại ta được 
Vậy phương trình có các nghiệm 
Câu 3: (3 điểm)
Cho x,y là hai số thực khác 0. Chứng minh:
 (1)
Giải
Đặt t= 
mà (do bất đẳng thức CôSi)
 hay 
Khi đó +2
Bất đẳng thức (1)	
 (2)
(2) là hiển nhiên đúng do 
Câu 4 : (3 điểm)
Tìm các số nguyên x,y thỏa phương trình x2 + xy + y2 = x2y2
Giải :
x2 + xy + y2 = x2y2 Þ (2x +2y)2 = (2xy + 1)2 – 1
Þ (2xy + 1 + 2x + 2y)(2xy + 1 – 2x – 2y) = 1
Þ 2xy + 1 + 2x + 2y = 2xy + 1 –2x – 2y
Þ x + y = 0
Thay vào phương trình ban đầu ta có :
 x = 0,y = 0 hoặc x = 1,y = –1 hoặc x = –1,y = 1
Câu 5 (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tạI A nộI tiếp trong đường tròn (o;R). Vẽ tam giác đều ACD (D và B ở hai nửa mặt phẳng khác nhau có chung bờ AC. GọI E là giao điểm của BD vớI đường tròn (O), gọI M là giao điểm của BD vớI đường cao AH của tam giác ABC.
a)     Chứng minh MADB là một tứ giác nộI tiếp
b)     Tính ED theo R
Giải
a)     Dễ dàng chứng minh được 
góc ABM = góc ACM
mà góc ABM = góc ADM (tam gíác ABD cân tạI A) 
 góc ACM = góc ADM
 MADC là tứ giác nộI tiếp
b)     Ta có góc EDC = gócOAC = gócOAB
 góc DCE = 60o – gócECA = 60o – gócABE = góc BMH –góc ABM = gócOAB = góc OBA
suy ra tam giác OAB bằng tam giác EDC
Þ ED = OA = R
Câu 6 (2 điểm) : 
Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn tâm O.Trên cung AC không chứa điểm B lấy 2 điểm M và K theo thứ tự A,K,M,C . Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau tại E ,còn các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D. Chứng minh ED song song với AC.
Giải : 
Ta có góc BKC= góc BAC = góc BCA= góc BMA nên EDMK là tứ giác nội tiếp được.
 góc EDK = góc EMK
mà góc EMK = góc ACK
 góc EDK = góc ACK
ED//AC
Tổ toán trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa