Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT môn Toán - Năm học 2015-2016 - Trường THPT chuyên Phan Bội Châu (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 NGHỆ AN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1 (7,0 điểm).
	a) Giải phương trình 
 	b) Giải hệ phương trình 
Câu 2 (2,0 điểm).
	Cho là các số nguyên dương thỏa mãn . 
	Tính giá trị của biểu thức 
Câu 3 (2,0 điểm).
	 Cho là các số thực. Chứng minh 
Câu 4 (7,0 điểm).
	Cho đường tròn có BC là dây cố định ; E là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Gọi A là điểm di động trên cung lớn BC và AB < AC (A khác B). Trên đoạn AC lấy điểm D khác C sao cho ED = EC. Tia BD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F.
a) Chứng minh D là trực tâm của tam giác AEF.
b) Gọi H là trực tâm của tam giác DEC; DH cắt BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN cắt đường tròn (O;R) tại điểm thứ hai là M. Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (2,0 điểm).
	Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại. Biết các số 101 và 102 thuộc A. Tìm tất cả các phần tử của A.
----------HẾT----------
Họ và tên thí sinh..............Lê..Quang..Quân..........................Số báo danh.........0020161...........
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO
 NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU 
NĂM HỌC 2015 – 2016
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN 
( Hướng dẫn chấm này gồm 03 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
7,0đ
a
3,0đ
ĐKXĐ: .
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
 (thỏa mãn). Vậy phương trình có nghiệm .
0,5
b
4,0đ
ĐKXĐ: .
Phương trình (2) 
0,5
0,5
Đặt . Kết hợp với (1) và(3) ta có hệ 
0,5
0,5
Với ta có 
0,5
0,5
 hoặc (thỏa mãn).
Vậy hệ đã cho có các nghiệm (x;y) là và .
1,0
Câu 2
2,0 đ
Ký hiệu (x;y) là ước chung lớn nhất của hai số nguyên x và y.
Gọi d = (a;b) => , với 
 và 
0,5
0,5
 mà 
Tương tự suy ra 
0,5
.
0,5
Câu 3
2,0 đ
Đặt Ta cần chứng minh 
.
0,5
Ta có 
0,5
0,5
 Dấu đẳng thức xảy ra khi 
0,5
Câu 4
7,0 đ
a
4,0đ
Tứ giác ABEC nội tiếp suy ra 
0,5
Mà và 
0,5
nên Kết hợp với => 
0,5
Mặt khác EB = EC = ED nên AE là trung trực của đoạn BD
0,5
=> và AB = AD => 
0,5
Kết hợp với (cùng chắn cung AF) và (đối đỉnh).
Suy ra tam giác FDC cân tại F.
0,5
=> FD = FC. Kết hợp với ED = EC => EF là trung trực của DC => (2).
0,5
Từ (1) và (2) suy ra D là trực tâm của tam giác AEF.
0,5
b
3,0đ
Kẻ đường kính EK của (O;R).Khi đó điểm K cố định.
Tứ giác BDNM nội tiếp nên 
0,5
0,5
Tứ giác ABMK nội tiếp nên .
0,5
Mà 
0,5
. Từ (3) và (4) suy ra 
0,5
Suy ra ba điểm M, D, K thẳng hàng. Do đó MD luôn đi qua điểm K cố định.
0,5
Câu 5
2,0 đ
Giả sử A = với và .
Theo giả thiết ta có 
0,5
Mặt khác với và thì 
Nên từ (1) suy ra 10+10+...+10 = 100 => =101 (vì 101 A).
0,5
=> . Kết hợp với (2)
 (4)
0,5
Ta có =101 mà 102 A => =102 
Kết hợp với (3) và (4) suy ra A = 
0,5
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
 - Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần, không làm tròn.