Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc năm học 2011-2012 môn: Toán dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên tin

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
(Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
————————————
Câu 1 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (P) của hàm số: và đường thẳng (D): ; trong đó là tham số.
a) Cho , tìm hoành độ các giao điểm của (P) và (D).
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số để (P) và (D) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ không âm.
Câu 2 (3,0 điểm). 
a) Giải phương trình: .
b) Cho hai số liên hệ với nhau bởi đẳng thức . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn:
 và 
Câu 4 (2,0 điểm). Cho tam giác có Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho Giả sử đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn thẳng cắt đường thẳng tại 
a) Chứng minh rằng đường thẳng chia đôi góc 
b) Chứng minh rằng 
Câu 5 (1,0 điểm). Trong một hộp có 2010 viên sỏi. Có hai người tham gia trò chơi, mỗi người lần lượt phải bốc ít nhất là 11 viên sỏi và nhiều nhất là 20 viên sỏi. Người nào bốc viên sỏi cuối cùng sẽ thua cuộc. Hãy tìm thuật chơi để đảm bảo người bốc đầu tiên luôn là người thắng cuộc.
---------------Hết---------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh: ................................ Số báo danh: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Tin
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa.
- Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm.
- Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
Câu 1 (3 điểm).
a) 1,0 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
Khi , hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm PT: 
0,25
, có 
0,25
Vậy hoành độ các giao điểm là: 
0,50
b) 2,0 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
Hoành độ giao điểm của (P) và (D) là nghiệm PT: 
0,25
 (1)
0,25
PT (1) có: , để (P) cắt (D) tại hai điểm phân biệt thì (2)
0,25
Có: 
0,25
, đúng với mọi .
0,25
Gọi là hoành độ giao điểm của (P) và (D) ta có: 
0,25
Để thì , từ (3) và (4) suy ra: .
0,25
Vậy các giá trị cần tìm là: 
0,25
Câu 2 (3 điểm).
a) 1,5 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
Điều kiện: 
0,25
Đặt , suy ra: , thay vào PT đã cho có:
0,25
0,25
 (thỏa mãn điều kiện)
0,25
 vô nghiệm do 
0,25
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất .
0,25
b) 1,5 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
Viết lại biểu thức đã cho thành . 
0,50
Như vậy với mọi và mọi ta luôn có (với )
0,25
Suy ra: .
0,25
Từ đó có: , khi 
0,25
, khi .
0,25
Câu 3 (1,0 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm
Không mất tính tổng quát, coi Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:
0,25
Với , ta có: 
Với , ta có: hệ này không có nghiệm nguyên.
0,25
Với , ta có: 
Từ (2) suy ra kết hợp với (1) suy ra . Thử trực tiếp, được 
0,25
Với thì (dấu đẳng thức trong bất đẳng thức AM - GM).
Kết luận 
+ Với thì 
+ Với thì ;(2;6;3);(3;2;6);(3;6;2);(6;2;3);(6;3;2)
+ Với thì 
0,25
Câu 4 (2,0 điểm).
a) 1,25 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
Gọi là trung điểm là giao điểm của các đường thẳng 
Ta sẽ chứng minh 
Áp dụng định lý Ménélaus cho với cát tuyến ta có: 
0.25
Lấy sao cho , khi đó do hai tam giác đồng dạng nên 
0.25
Do cân, nên cân, hay suy ra: 
0.25
Do là trung điểm của nên do đó 
0.25
Vậy điều phải chứng minh.
0.25
b) 0,75 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
Đặt Ta sẽ chứng minh Thật vậy:
Trong tam giác có suy ra 
 (1)
0.25
Do thẳng hàng nên và do đó
 (2)
0.25
Từ (1) và (2) suy ra , điều phải chứng minh.
0.25
Câu 5 (1,0 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm
Để đảm bảo thắng cuộc, ở nước đi cuối cùng của mình người bốc sỏi đầu tiên phải để lại trong hộp 11 viên sỏi. Ở nước đi trước đó phải để lại trong hộp: viên sỏi. 
0,25
Suy ra người bốc sỏi đầu tiên phải đảm bảo trong hộp lúc nào cũng còn viên sỏi. 
0,25
Ta có dư 15. Như vậy người bốc sỏi đầu tiên ở lần thứ nhất của mình phải bốc 15 viên. 
0,25
Tiếp theo, khi đối phương bốc k viên sỏi () thì người bốc sỏi đầu tiên phải bốc viên sỏi, cuối cùng sẽ để lại 11 viên sỏi cho đối phương.
0,25
------------Hết------------
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
————————————
Câu 1 (2,0 điểm). Cho biểu thức 
a) Rút gọn .
	b) Tìm giá trị của để .
Câu 2 (3,0 điểm). Cho ( là biến, là tham số)
a) Giải phương trình khi .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đẳng thức đúng với mọi số thực ; trong đó là các hằng số.
c) Tìm tất cả các giá trị để phương trình có hai nghiệm sao cho biểu thức có giá trị là số nguyên.
Câu 3 (3,0 điểm). Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho . Từ điểm P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn (O;R) tại điểm M (điểm M khác điểm A).
a) Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
b) Đường thẳng vuông góc với AB tại điểm O cắt đường thẳng BM tại điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng OP tại điểm K, đường thẳng PM cắt đường thẳng ON tại điểm I; đường thẳng PN và đường thẳng OM cắt nhau tại điểm J. Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại cặp số nguyên thỏa mãn hệ:
------------Hết------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh: ................................ Số báo danh: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Dành cho tất cả các thí sinh
I. HƯỚNG DẪN CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa.
- Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm.
- Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
Câu 1 (2,0 điểm).
a) 1,0 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
Điều kiện: 
0,50
Khi đó: 
0,50
b) 1,0 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
Theo phần a) có: 
0,25
 (thỏa mãn điều kiện). Mỗi dấu đúng cho 0,25 điểm.
0,75
Câu 2 (3 điểm).
a) 1,0 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
Thay vào PT ta có: (1)
0,25
PT(1) có: 
0,50
Vậy PT có hai nghiệm là: 1 và 2.
0,25
b) 1,0 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
Với mọi m ta có: 
0,25
0,25
0,25
Suy ra: để . Vậy tồn tại duy nhất giá trị thỏa mãn yêu cầu.
0,25
c) 1,0 điểm
Nội dung trình bày
Điểm
 có 2 nghiệm phân biệt 
0,25
Khi đó ta có: (*)
0,25
Do , nên , để phải có: là ước của 5 
0,25
Với thay vào (*) có: . Vậy giá trị m cần tìm bằng 2.
0,25
Câu 3 (2 điểm).
a) 1,0 điểm:
Ta có: 
0,50
Þ Þ tứ giác APMO nội tiếp
0,50
b) 2,0 điểm:
Ta có ; OP là phân giác của góc 
0,25
Þ (2 góc đồng vị) Þ MB // OP (1)
0,25
Ta có hai tam giác AOP, OBN bằng nhau Þ OP = BN (2) 
Từ (1) và (2) Þ OBNP là hình bình hành
0,25
Þ PN // OB hay PJ // AB. Mà ON ^ AB Þ ON ^ PJ.
0,25
Ta cũng có: PM ^ OJ Þ I là trực tâm tam giác POJ Þ IJ ^ PO (3)
0,25
Ta lại có: AONP là hình chữ nhật Þ K là trung điểm của PO và 
0,25
Mà Þ D IPO cân tại I.
0,25
IK là trung tuyến đồng thời là đường cao Þ IK ^ PO (4)
Từ (3) và (4) Þ I, J, K thẳng hàng
0,25
Câu 4 (1 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm
Ta có: Suy ra: 
 (1), dấu ‘=’ xẩy ra .
0,25
Từ (1) và BĐT AM – GM có: (do )
0,25
Vậy: , dấu ‘=’ xẩy ra (2)
Tương tự có: , dấu ‘=’ xẩy ra (3) 
 , dấu ‘=’ xẩy ra (4)
0,25
Từ (2), (3) và (4) có: (5), dấu ‘=’ xẩy ra vô lí, do , hay ta có đpcm.
0,25
Câu 5 (1 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử . Từ phương trình suy ra là số lẻ. Dễ thấy không chia hết cho (1)
0.25
Mặt khác, ta có (do (1))
0.25
Do thay vào hệ đã cho ta được
0.25
Giải hệ này ta được thay vào hệ ban đầu ta suy ra . Vậy 
0.25
---------------Hết---------------
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1 (3,0 điểm). Cho phương trình : 
(trong đó x là ẩn, m là tham số)
1. Giải phương trình (1) với 
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số sao cho phương trình (1) có bốn nghiệm đôi một phân biệt.
Câu 2 (1,5 điểm). Tìm tất cả các cặp hai số nguyên thỏa mãn 
Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác với nội tiếp trong đường tròn . Trên cạnh lấy điểm và trên tia lấy điểm sao cho Đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt cạnh tại điểm đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai
1. Chứng minh rằng tam giác AQC đồng dạng với tam giác EPD.
2. Chứng minh rằng 
Câu 4 (1,5 điểm). Cho các số thực dương Chứng minh rằng
Câu 5 (1,0 điểm). Cho đa giác lồi . Tại mỗi đỉnh (), người ta ghi một số thực sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 hoặc 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho đôi một khác nhau.
--------------Hết--------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ tên thí sinh: ................................ Số báo danh: 
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
————————
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
I. LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác đúng và đủ các bước vẫn cho điểm tối đa.
- Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm.
- Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng ở phần nào thì giám khảo không cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần đó.
- Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu, tính đến 0,25 điểm và không làm tròn.
II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
Câu 1 (3,0 điểm).
Câu 1.1 (1,5 điểm)
Điểm
Nội dung trình bày
Khi phương trình đã cho có dạng 
Nếu thì , vô lý, vậy . 
0,5
Chia hai vế của pt (2) cho ta được: 
Đặt thay vào phương trình trên ta được 
0,5
Với ta được 
0.25
Kết luận nghiệm
0.25
Câu 1.2 (1,5 điểm)
Điểm
2
Nếu thì phương trình đã cho trở thành . Khi thì phương trình vô nghiệm. Khi thì là một nghiệm của phương trình đã cho, và khi đó phương trình đã cho có dạng . Phương trình chỉ có hai nghiệm. Do đó và .
0.25
Chia hai vế của phương trình cho và đặt ta được phương trình
0.25
Với ta được phương trình (1)
Với ta được phương trình (2)
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi một trong các phương trình (1) và (2) đều có hai nghiệm phân biệt, đồng thời chúng không có nghiệm chung.
0.25
(1) và (2) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 
0.25
Khi đó nếu là một nghiệm chung của (1) và (2) thì 
Từ đó điều này tương đương với hoặc hoặc 
0.25
Nếu thì , loại.
Nếu thì (1), (2) có hai nghiệm . Do đó (1) và (2) có nghiệm chung khi và chỉ khi .
Từ đó và (3) suy ra phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi .
0.25
Câu 2 (1,5 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm
+) Nếu thay vào phương trình ta được 
+) Nếu vô nghiệm
+) Nếu 
0,25
+) Nếu ta có 
 (do )
0,5
+) Nếu , đặt . Khi đó ta có 
 (do )
0,5
Kết luận 
0,25
Câu 3 (3,0 điểm).
Câu 3.1 (2,0 điểm)
Điểm
Nội dung trình bày
Do các tứ giác nội tiếp, 
0,5
nên (1)
0,5
và (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
0,5
Câu 3.2 (1 điểm)
Điểm
Theo kết quả phần 1, ta có
0,25
Suy ra (3)
0,25
Áp dụng định lý Ptolemey cho tứ giác nội tiếp, ta được
 (4)
0,25
Từ (3) và (4) suy ra hay , điều phải chứng minh.
0,25
Câu 4 (1.5 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
Suy ra 
0.5
Cũng theo bất đẳng thức AM-GM
và 
0.5
Suy ra
0.25
Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
0.25
Câu 5 (1 điểm).
Nội dung trình bày
Điểm
Xét đa giác lồi như hình vẽ. Khi đó hoặc (). Không mất tính tổng quát, coi là nhỏ nhất, là lớn nhất (dễ thấy ). Đặt khi đó . Ta sẽ chứng minh 
0.25
Nằm giữa , theo chiều kim đồng hồ có đỉnh và có đỉnh, theo chiều ngược kim đồng hồ. Hơn nữa giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số kề nhau không vượt quá 3. Do đó
 và tương tự ta có
. Suy ra 
0.25
 khi và chỉ khi hiệu giữa hai số ghi trên hai đỉnh kề nhau đúng bằng 3 hay ta có 
Điều này không xảy ra suy ra không thỏa mãn.
0.25
Ta xây dựng một trường hợp cho như sau:
 với 
Khi đó hiệu lớn nhất .
Các số có dạng , các số có dạng . Rõ ràng không tồn tại sao cho ().
Suy ra điều phải chứng minh.
0.25
----------------Hết----------------