Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Thái Bình môn Toán năm 2007 đến 2009

Së Gi¸o dôc - §µo t¹o
§Ò chÝnh thøc
Th¸i B×nh
§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 THPT Chuyªn Th¸i B×nh
N¨m häc 2007-2008
M«n thi: To¸n
(Dµnh cho thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n, Tin)
Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1 (1,5 ®iÓm)
Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai x2 + bx + c = 0 ( x lµ Èn sè), cã b + c = -1.
X¸c ®Þnh b, c ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 - x2 = 3.
Bµi 2 (1,5 ®iÓm)
 Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d Î R), tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 vµ P(4) = 4. H·y tÝnh P(5).
Bµi 3 (3,0 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän.
1. §­êng ph©n gi¸c trong cña gãc c¾t c¹nh BC t¹i D. Gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A xuèng BC vµ M lµ trung ®iÓm cña BC. BiÕt r»ng AD = l , AH = h vµ AD lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MAH. H·y tÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp cña tam gi¸c ABC theo l vµ h.
2. Gi¶ sö . Chøng minh r»ng AB2 = BC.(BC+AC). 
Bµi 4 (1,0 ®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
	 (x, y, z lµ Èn sè )
Bµi 5 (1,0 ®iÓm)
C¸c sè thùc a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a2 + b2 + ab + bc + ca < 0.
Chøng minh bÊt ®¼ng thøc a2 + b2 < c2.
Bµi 6 (1,0 ®iÓm)
Cho a, b, c lµ ba sè nguyªn kh¸c 0, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b + c = 0.
Chøng minh r»ng sè M = 2a4 + 2b4 + 2c4 lµ b×nh ph­¬ng cña mét sè nguyªn.
Bµi 7 (1,0 ®iÓm)
 Gi¶ sö sè thùc a tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a3 + 2008a - 2007 = 0.
 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc .
Së Gi¸o dôc - §µo t¹o
Th¸i B×nh
Kú thi tuyÓn sinh líp 10 THPT Chuyªn Th¸i B×nh
N¨m häc 2007-2008
§¸P ¸n m«n To¸n 
(Dµnh cho thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n, Tin)
Bµi 1 (1,5 ®iÓm)
Cho ph­¬ng tr×nh bËc hai x2 + bx + c = 0 ( x lµ Èn sè), cã b + c = -1.
X¸c ®Þnh b, c ®Ó ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x1 - x2 = 3.
C¸ch
Néi dung
§iÓm
C¸ch 1
	Tõ b + c = -1 nªn ph­¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiÖm lµ 
0,5
* 	NÕu x1 = 1; x2 = c 	Þ 1 - c = 3
	Û c = -2
	Khi ®ã b = 1
0,5
* 	NÕu x1 = c; x2 = 1 	Þ c - 1 = 3
	Û c = 4
	Khi ®ã b = -5
0,5
C¸ch 2
	C¸c sè b, c ph¶i tho¶ m·n hÖ ®iÒu kiÖn sau
	b2 - 4c > 0	(1)
	b - c = -1	(2)
	x1 + x2 = -b	(3)	(x1, x2 lµ 2 nghiÖm cña pt)
	x1 - x2 = 3	(4)
	x1.x2 = c	(5)
Tõ (3) (4) ta cã 	x1 = 
	x2 = 
0,5
	Thay vµo (5), ta ®­îc:	
	Û	= -1 - b (v× b + c = -1)
	Û	b2 + 4b - 5 = 0
	Û	
0,5
	Víi 	b = 1 	Þ c = -2	
	b = -5 	Þ c = 4	 (®Òu tho¶ m·n (1))
	KÕt luËn: b = 1, c = -2 
	 hoÆc b = -5, c = 4
0,5
Bµi 2 (1,5 ®iÓm)
 Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d Î R), tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 vµ P(4) = 4. H·y tÝnh P(5).
C¸ch
Néi dung
§iÓm
C¸ch 1
	§Æt Q(x) = P(x) - x	(Q(x) lµ ®a thøc bËc 4 cã hÖ sè cña x4 lµ 1)
	Þ	Q(1) = P(1) - 1 = 0
	Q(2) = P(2) - 2 = 0
	Q(3) = P(3) - 3 = 0
	Q(4) = P(4) - 4 = 0
0,5
	VËy Q(x) cã 4 nghiÖm lµ x = 1, x = 2, x = 3, x = 4
	Q(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)
0,5
	Tõ ®ã suy ra	 P(x) 	= Q(x) + x
	= (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) + x
	Do ®ã 	 P(5) 	= 4 . 3 . 2 . 1 + 5
	= 29
0,5
C¸ch 2
Chó ý: Cã thÓ lµm theo c¸ch sau:
	Tõ gi¶ thiÕt, ta cã hÖ pt sau:
0,5
	Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh nµy ta ®­îc: 
	(Ph¶i tr×nh bµy c¸ch gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh nµy)
0,5
	VËy P(x) = x4 - 10x3 + 35x2 - 49x + 24
	Þ P(5) = 29.
0,5
Bµi 3 (3,0 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän.
1. §­êng ph©n gi¸c trong cña gãc c¾t c¹nh BC t¹i D. Gäi H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ A xuèng BC vµ M lµ trung ®iÓm cña BC. BiÕt r»ng AD = l , AH = h vµ AD lµ trung tuyÕn cña tam gi¸c MAH. H·y tÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp cña tam gi¸c ABC theo l vµ h.
2. Gi¶ sö . Chøng minh r»ng AB2 = BC.(BC+AC). 
ý
Néi dung
§iÓm
1.
A
B
C
M
D
H
O
N
h
l
Gäi O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC.
AD c¾t (O) t¹i N.
Þ O, M, N th¼ng hµng.
0,5
V× M lµ trung ®iÓm BC Þ OM ^ BC
VËy MN // AH.
L¹i cã D vu«ng AHD = D vu«ng NMD
(DH = DM vµ )
Þ MN = AH
	VËy NMAH lµ h×nh b×nh hµnh.
0,5
Mµ D lµ giao ®iÓm 2 ®­êng chÐo h×nh h×nh hµnh NMAH
Þ D lµ trung ®iÓm AN
Þ OD ^ AN.
0,5
XÐt tam gi¸c vu«ng ODN: DN2 = NM.NO
Û ON = .
VËy b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp DABC lµ R = 
0,5
2.
Tõ: 
Dùng tia ph©n gi¸c CE Þ 
A
C
B
E
c
b
a
1
2
	DBCE ~ DBAC ( chung, ) 
	Þ 
	hay 	(1)
	(a = BC, b = CA, c = AB)
0,5
	Theo tÝnh chÊt ph©n gi¸c Þ 	Þ 
	Þ 	(2)
	Tõ (1) (2) Þ 	Û c2 = a(a+b)	®pcm.
0,5
Bµi 4 (1,0 ®iÓm)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh:
	 (x, y, z lµ Èn sè )
ý
Néi dung
§iÓm
	§K: 
Víi " a, b Î R, ta cã a.b £ . DÊu = x¶y ra Û a = b.
	¸p dông kÕt qu¶ trªn, ta cã :
	DÊu = x¶y ra 	Û	x = 
	DÊu = x¶y ra 	Û	y = 
	DÊu = x¶y ra 	Û	z = 
Céng tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn víi nhau, ta ®­îc :
0,5
VËy pt ®· cho t­¬ng ®­¬ng víi: 
0,5
Bµi 5 (1,0 ®iÓm)
C¸c sè thùc a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a2 + b2 + ab + bc + ca < 0.
Chøng minh bÊt ®¼ng thøc a2 + b2 < c2.
ý
Néi dung
§iÓm
	Gi¶ sö a2 + b2 ³ c2
	Tõ gt Þ a2 + b2 + a2 + b2 + 2(ab + bc + ca) < 0
0,5
L¹i cã:
	a2 + b2 + a2 + b2 + 2(ab + bc + ca) ³ a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)2
	Þ (a + b + c)2 < 0 (v« lý)
	VËy a2 + b2 < c2 	®pcm.
0,5
Bµi 6 (1,0 ®iÓm)
Cho a, b, c lµ ba sè nguyªn kh¸c 0, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a + b + c = 0.
Chøng minh r»ng sè M = 2a4 + 2b4 + 2c4 lµ b×nh ph­¬ng cña mét sè nguyªn.
C¸ch
Néi dung
§iÓm
C¸ch 1
	Tõ a + b + c = 0	Þ 	c 	= -a - b
	Þ 	c4	= (a + b)4
	= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
	Þ 2c4	= 2a4 + 8a3b + 12a2b2 + 8ab3 + 2b4
0,5
Lóc ®ã:	M	= 	2a4 + 2b4 + 2c4
	= 4a4 + 4b4 + 8a3b + 12a2b2 + 8ab3
	= 4a4 + 4b4 + 4a2b2 + 8a3b + 8a2b2 + 8ab3
	= 
	Do a, b, c Î Z Þ 	2a2 + 2b2 + 2ab Î Z
	Tõ ®ã suy ra ®pcm.
0,5
C¸ch 2
	XÐt ®a thøc bËc ba mµ 3 nghiÖm lµ: x = a, x = b, x = c
	P(x) = (x - a) (x - b) (x - c)
	Û P(x) = x3 + (ab + bc + ca)x - abc (v× a + b + c = 0)
0,25
	Do P(a) = P(b) = P(c) = 0 nªn ta cã hÖ:
0,25
	Nh©n 2 vÕ cña c¸c ®¼ng thøc (1), (2), (3) thø tù víi 2a, 2b, 2c råi céng l¹i, ta ®­îc:
	2a4 + 2b4 + 2c4 + 2(ab + bc + ca) (a2 + b2 + c2) = 0
0,25
	Mµ a2 + b2 + c2 = (a + b + c) 2 - 2(ab + bc + ca) = - 2(ab + bc + ca)
	Þ 2a4 + 2b4 + 2c4 = ®pcm.
0,25
Chó ý: 
	Tõ a + b + c = 0
	Þ (a + b)2 = c2
	Û (a + b)2 = -c(a + b)
	Û a2 + b2 + 2ab = -ac - bc
	Û a2 + b2 + ab = -ab - ac - bc
	Do ®ã 
Bµi 7 (1,0 ®iÓm)
 Gi¶ sö sè thùc a tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a3 + 2008a - 2007 = 0.
 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc .
ý
Néi dung
§iÓm
	Tõ 	a3 + 2008a -2007 	= 0	(1)
	 Û 	a3 	= -2008a + 2007
	 Û 	a3 + 3a2 + 3a + 1 	= -2008a + 2007 + 3a2 + 3a + 1
	 Û (a + 1)3 	= 3a2 - 2005a + 2008
0,5
L¹i cã (1) Û	-a3	= 	2008a - 2007
	 Û 	1 - 3a + 3a2 - a3 	= 1 - 3a + 3a2 + 2008a - 2007
	 Û (1 - a)3 	= 3a2 + 2005a - 2006
	VËy S 	= 
	= 1 - a + a + 1
	= 2
0,5
Chó ý:
* §iÒu kiÖn bµi to¸n sè 7 bao giê còng tån t¹i, v× pt: x3 + 2008x - 2007 = 0 cã ®óng 1 nghiÖm thuéc kho¶ng (0 ; 1).
* Mäi c¸ch gi¶i kh¸c mµ hîp lý, vÉn cho ®iÓm tèi ®a.
* Khi chÊm, yªu cÇu b¸m s¸t biÓu ®iÓm.
* Tæ chÊm th¶o luËn ®Ó thèng nhÊt biÓu ®iÓm chi tiÕt.
* NÕu trong lêi gi¶i cã nhiÒu b­íc liªn quan víi nhau, häc sinh lµm sai ë b­íc nµo th× tõ ®ã trë ®i sÏ kh«ng ®­îc ®iÓm.
* §iÓm toµn bµi kh«ng lµm trßn (lÊy ®Õn 0,25®).
Së Gi¸o dôc - §µo t¹o
th¸i b×nh
®Ò chÝnh thøc
Kú thi tuyÓn sinh líp 10 THPT Chuyªn
N¨m häc 2010 - 2011
M«n thi: To¸n
Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1. (2,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: 
	 víi x ³ 0; x ¹ 4; x ¹ 9
a) Rót gän A.
b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi .
Bµi 2. (2,0 ®iÓm) Cho hai ®­êng th¼ng:
(víi m lµ tham sè)
(d1): y = (m – 1)x – m2 – 2m
(d2): y = (m – 2)x – m2 – m + 1
c¾t nhau t¹i G.
a) X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm G.
b) Chøng tá r»ng ®iÓm G lu«n thuéc mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh khi m thay ®æi.
Bµi 3. (1,5 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh sau: 
a) 
b) 
Bµi 4. (3,5 ®iÓm) 
Cho ®iÓm M thuéc nöa ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh AB. §iÓm C thuéc ®o¹n OA. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa ®iÓm M kÎ tiÕp tuyÕn Ax, By víi ®­êng trßn. §­êng th¼ng qua M vu«ng gãc víi MC c¾t Ax, By t¹i P, Q. Gäi E lµ giao ®iÓm cña AM víi CP, F lµ giao ®iÓm cña BM víi CQ.
a) Chøng minh r»ng:
+ Tø gi¸c APMC vµ tø gi¸c EMFC lµ tø gi¸c néi tiÕp.
+ EF // AB.
b) Gi¶ sö cã EC.EP = FC.FQ. Chøng minh r»ng: EC = FQ vµ EP = FC.
Bµi 5. (0,5 ®iÓm) Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n x2 + y2 + xy = 1. 
	T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x2 – xy + 2y2.
Së Gi¸o dôc - §µo t¹o
th¸i b×nh
®Ò chÝnh thøc
Kú thi tuyÓn sinh líp 10 THPT Chuyªn
N¨m häc 2010 - 2011
M«n thi: To¸n
(Dµnh cho thÝ sinh thi vµo chuyªn To¸n, Tin)
Thêi gian lµm bµi: 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
Bµi 1. (2,5 ®iÓm) 
1. Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3 = 0
2. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = (x3 - 3x - 3)2011 víi 
Bµi 2. (2,0 ®iÓm) 
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh: (a, b, c lµ tham sè)
Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm lµ:
a3 + b3 + c3 = 3abc
Bµi 3. (2,0 ®iÓm) 
1. T×m c¸c sè nguyªn d­¬ng x, y tho¶ m·n:
2. Cho ®a thøc P(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0). BiÕt r»ng P(m) = P(n) (m ¹ n). Chøng minh: mn ³ 
Bµi 4. (3,0 ®iÓm) 
Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän néi tiÕp ®­êng trßn t©m O. Gäi I lµ ®iÓm trªn cung nhá AB (I kh«ng trïng víi A vµ B). Gäi M, N, P theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña I trªn c¸c ®­êng th¼ng BC, CA vµ AB.
1. Chøng minh r»ng M, N, P th¼ng hµng.
2. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña I ®Ó ®o¹n MN cã ®é dµi lín nhÊt.
3. Gäi E, F, G theo thø tù lµ tiÕp ®iÓm cña ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC víi c¹nh BC, CA vµ AB. KÎ EQ vu«ng gãc víi GF. Chøng minh r»ng QE lµ ph©n gi¸c cña gãc BQC.
Bµi 5. (0,5 ®iÓm) 
Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh:
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
®Ò chÝnh thøc
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010
Môn thi: TOÁN 
(Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin)
Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm : 01 trang
Bài 1. (2,0 điểm) :
a. Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau: 
Chứng minh rằng: 
Bài 2. (2.5 điểm): Cho phương trình ẩn x: 	 (1) (m là tham số)
Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm 
Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có 2 nghiệm sao cho biểu thức: đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3. (2,0 điểm): 
 a. Giải hệ phương trình sau : 
 	 b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 
Bài 4. (3,0 điểm): Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B). Vẽ đường tròn tâm I đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D. Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.
Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Từ đó suy ra 3 điểm
 C, M, N thẳng hàng.	
Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.
Bài 5. (0.5 điểm): Cho góc xOy bằng , trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm A sao cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương. 
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
®Ò chÝnh thøc
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH
Năm học : 2009-2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm : 01 trang
Bài 1. (2,5 điểm) Cho 
Rút gọn A.
Tìm các giá trị của x để 
Bài 2. (2,0 điểm) Cho parabol (P): và đường thẳng (d): (m là tham số).
Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là sao cho:
 .
Bài 3. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình sau :
Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R (AB<AC).
 Đường tròn tâm I đường kính OA cắt AB, AC lần lượt tại M và N (M,N không trùng với A).
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC.
Chứng minh rằng M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Chứng minh rằng .
Kẻ dây cung AE của đường tròn tâm I đường kính OA song song với MN. Gọi F là giao điểm của MN và HE. Chứng minh rằng F là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Bài 5. (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: . 
 Chứng minh rằng :