Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi - Năm học 2008 - 2009 môn thi: Toán

 Sở giáo dục và đào tạo
HảI dương
 Đề thi chính thức
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
nguyễn trãi - Năm học 2008-2009
Môn thi : toán 
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 28 tháng 6 năm 2008 
(Đề thi gồm: 01 trang) 
Câu I: (2.0 điểm) 
	Cho phương trình ẩn x : (1) 
	1) Giải phương trình (1) khi m = 2.
	2) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt thoả mãn .
Câu II: (1.0 điểm) 
	Rút gọn biểu thức :
	 với 
Câu III: (2.0 điểm) 
	Cho hệ phương trình :
	 ( với m là tham số )
	1) Giải hệ phương trình khi .
	2) Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất.
Câu IV: (1.0 điểm) 
	Tìm các số thực x sao cho và đều là số nguyên.
Câu V: (3.0 điểm)
	Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định khác O (OP < R). Hai dây AB và CD thay đổi sao cho AB vuông góc với CD tại P. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AD. Các đường thẳng EP, FP cắt BD, BC lần lượt tại M, N. 
	1) Chứng minh rằng : Bốn điểm M, N, B, P cùng thuộc một đường tròn.
	2) Chứng minh rằng : BD = 2.EO
	3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tứ giác ACBD. 
Câu VI: (1.0 điểm)
	Cho x, y thoả mãn . Chứng minh rằng :
	.
-----------------------Hết-----------------------
Họ và tên thí sinh : ......................................................Số báo danh :.......................
Chữ kí của giám thị 1 : .............................Chữ kí của giám thị 2:............................
 Sở giáo dục và đào tạo
HảI dương
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
nguyễn trãi - Năm học 2008-2009
Môn thi : toán 
Ngày 28 tháng 6 năm 2008 
Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang 
Hướng dẫn chấm
Câu
Phần
nội dung
Điểm
câu I
2 điểm
1)
1,0điểm
Với m = 2 phương trình (1) có dạng: (2)
Đặt y = x2 thì pt (2) có dạng (3)
0.25
Giải pt (3) ta được (thoả mãn)
0.25
0.25
Phương trình đã cho có bốn nghiệm 
0.25
2)
1,0điểm
Đặt thì pt (1) trở thành
 (4) có 
0.25
Để phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt thì pt (4) phải có hai nghiệm dương phân biệt 
 (*)
0.25
Giả sử 
Do đó : 
0.25
 kết hợp với ĐK (*) ta được m = 
0.25
câu II
1 điểm
1,0điểm
ĐK: Từ giả thiết 
0.25
0.25
+) Nếu thay vào biểu thức đã cho ta có 
0.25
+) Nếu Phương trình (*) vô nghiệm (vì ) 
Từ (I) A = 1. Vậy với mọi thì A = 1 
0.25
câu III
2 điểm
1)
1,0điểm
Thay m = 2 ta được hệ pt :
Điều kiện : . Giả sử hệ pt có nghiệm (x; y)
Từ hệ pt trên (3)
0.25
Giả sử ta có suy ra
 mâu thuẫn với (3)
Tương tự x < y cũng suy ra mâu thuẫn . Vậy x = y
0.25
Thay x = y vào pt (1) ta có : 
bình phương hai vế ta được
0.25
. Do đó x = y = 4.
Hệ phương trình có một nghiệm : (x; y) = (4; 4)
0.25
2)
1,0điểm
Theo cách chứng minh tương tự như trên ta chứng minh được : nếu hệ có nghiệm (x; y) thì x = y. 
Khi đó hệ phương trình đã cho 
0.25
Giả sử x0 là nghiệm duy nhất của phương trình (4) cũng là nghiệm của pt (4) do tính duy nhất 
0.25
Khi thay vào hệ (II) ta có 
0.25
Giải hệ phương trình trên ta được nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 4). 
Vậy với thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
0.25
câu IV
1 điểm
1,0điểm
ĐK : Đặt : 
0.25
0.25
Nếu thì vế phải là số vô tỉ và vế trái là số nguyên vô lí. 
Nếu a = b thì ab - 2025 = 0 .
0.25
. Thử lại với thoả mãn
0.25
câu V
3 điểm
1)
1,0điểm
PE trung tuyến nên EA = EP 
 cân tại E mà 
0.25
 vuông tại M
0.25
Chứng minh tương tự ta có: 
0.25
 Bốn điểm M, N, B, P cùng thuộc đường tròn đường kính BP
0.25
2)
1,0điểm
Do EA = EC và FA = FD nên . 
Do đó (1) 
Do EF là đường trung bình của nên EF // CD và CD = 2EF
0.25
mà(2)
Từ (1) và (2) .
0.25
C/M tương tự ta có: đồng dạng với (g.g)
0.25
0.25
3)
1,0điểm
Kẻ lần lượt tại H và K 
. 
Tính tương tự : suy ra
(vì ta có )
0.25
Chứng minh diện tích tứ giác ACBD bằng 
0.25
Do không đổi nên AB2.CD2 nhỏ nhất khi 
nhỏ nhất hoặc AB đi qua O hoặc CD đi qua O.
Vậy diện tích tứ giác ACBD nhỏ nhất bằng :
AB hoặc CD đi qua O. (có thể chỉ ra cách dựng: Kẻ đường kính qua P và kẻ dây với đường kính đó tại P)
0.25
Ta có nên HO2.KO2 lớn nhất khi HO = KO; AB2.CD2 lớn nhất khi lớn nhất HO = KO
AB và CD cách đều O.Vậy diện tích tứ giác ACBD lớn nhất bằng AB và CD cách đều O
(có thể chỉ ra cách dựng: Dựng hình vuông OHPK rồi dựng AB, CD) 
0.25
câu VI
1 điểm
1,0điểm
Trước hết ta chứng minh BĐT 
Thật vậy BĐT (1) (đúng)
dấu bằng xảy ra 
0.25
Ta đặt t = 2x - y = 
0.25
 khi đó 
 (ĐPCM)
0.25
dấu bằng xảy ra ở (*)
Giải hệ ta tìm được 
0.25
 Sở giáo dục và đào tạo
HảI dương
 Đề thi dự bị
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
nguyễn trãi - Năm học 2008-2009
Môn thi : toán 
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 28 tháng 6 năm 2008 
Đề thi gồm: 01 trang 
Câu I: (2.0 điểm) 
	1) Giải phương trình : 
	2) Cho là hai nghiệm của phương trình .
	Đặt . Tìm số dư khi chia cho 5. 
Câu II: (2.0 điểm) 
	1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì không chia hết cho 49	.
	2) Giải hệ phương trình : 
Câu III: (2.0 điểm) 
	1) Giải bất phương trình : 
	2) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(0; m); B(n; 0); C(3; 2) với m, n là các số nguyên dương. Tìm tất cả các số m, n để ba điểm trên thẳng hàng. 
Câu IV: (3.0 điểm)
	1) Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng (d) không có điểm chung với đường tròn (O; R). Với mỗi điểm M thuộc (d) lấy điểm N sao cho ba điểm O, N, M thẳng hàng (N nằm giữa O và M) và thoả mãn .
	Chứng minh rằng : Khi M chạy trên đường thẳng (d) thì điểm N luôn chạy trên một đường tròn cố định. 
	2) Trong các tứ giác nội tiếp đường tròn (O; R) hãy tìm tứ giác có diện tích lớn nhất. 
Câu V: (1.0 điểm)
	Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Hỏi có thể tìm được 3 điểm M, N, P trong hình vuông ABCD sao cho diện tích tam giác MNP lớn hơn (đơn vị diện tích ) hay không?
-----------------------Hết-----------------------
Họ và tên thí sinh : ......................................................Số báo danh :.......................
Chữ kí của giám thị 1 : .............................Chữ kí của giám thị 2:............................
 Sở giáo dục và đào tạo
HảI dương
Đề thi dự bị
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
nguyễn trãi - Năm học 2008-2009
Môn thi : toán 
Ngày 28 tháng 6 năm 2008 
Hướng dẫn chấm gồm: 04 trang 
Hướng dẫn chấm
Câu
Phần
nội dung
Điểm
câu I
2 điểm
1)
1,0điểm
ĐK : . Đặt ta có phương trình:
+) Với a = b ta có (thoả mãn ĐK)
+) Với b = 10a ta có 
Giải phương trình ta được : (Đều thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm 
1.0
2)
1,0điểm
Ta tính được 
Chứng minh tương tự ta có . Do đó : 
và cùng số dư khi chia cho 5và cùng số dư khi chia cho 5 mà và cùng số dư khi chia cho 5 mà vì vậy khi chia cho 5 có số dư là 1
1.0
câu II
2 điểm
1)
1,0điểm
Ta có mà (n +10) - (n + 3) = 7 chia hết cho 7 nên chia làm hai trường hợp :
+ Nếu (n +10) và (n + 3) cùng chia hết cho 7 ĐPCM
+ Nếu (n +10) và (n + 3) cùng không chia hết cho 7 ĐPCM
1.0
2)
1,0điểm
Ta có 
Đặt ta có hệ 
Từ đó giải được nghiệm của hệ đã cho là:
1.0
câu III
2 điểm
1)
1,0điểm
ĐK: ta giải bất phương trình được nghiệm:
1.0
2)
1,0điểm
Do m, n > 0 ta lập pt đườngthẳng AB là sau đó thay toạ độ điểm C(3; 2) vào phương trình trên ta tìm được kết quả các cặp số (m; n):
1.0
câu IV
3 điểm
1)
1,5điểm
Kẻ OA d, tiếp tuyến AB, kẻ BC OA C cố định. Kẻ tiếp tuyến MT, kẻ TNOM ta chứng minh được OM.ON = R2 = OC.OA N nằm trên đường tròn đường kính OC cố định.
1.5
2)
1,5điểm
Vẽ hình như trên 
Ta chứng minh mà nên diện tích tứ giác ABCD lớn nhất bằng khi ABCD là hình vuông.
1.5
câu V
1 điểm
1,0điểm
+)Ta chứng minh bổ đề: 
 Nếu ba đỉnh của một tam giác nằm trên các cạnh của một hình chữ nhật thì diện của tam giác đó nhỏ hơn nửa diện tích hình chữ nhật. 
+) Sau đó:
- Nếu tam giác MNP có các đỉnh nằm trên hình vuông ABCD thì diện tích tam giác không lớn hơn nửa diện tích hình vuông.
- Nếu các đỉnh M, N, P nằm trong hình vuông ABCD khi đó qua các đỉnh M, N, P ta kẻ các đường thẳng song song với các cạnh hình vuông khi đó tạo ra hình chữ nhật mà các đỉnh của tam giác MNP nằm trên đó diện tích tam giác không lớn hơn nửa diện tích của hình chữ nhật 
Vậy không có tam giác MNP có diện tích lớn hơn đơn vị diện tích. 
1.0