Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán (Chuyên) - Năm học 2017-2018 - Sở GD & ĐT Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2017 – 2018
Môn thi: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1 (2,0 điểm) 
1) Tính giá trị của biểu thức biết . 
	2) Rút gọn biểu thức: với và .
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình: 
2) Giải hệ phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm)
	1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
	2) Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn: và là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm) 
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Trên tia đối của tia AB lấy điểm C, kẻ tiếp tuyến CD, CE với (O), trong đó D, E là các tiếp điểm và E nằm trong (O’). Đường thẳng AD, AE cắt (O’) lần lượt tại M và N (M, N khác A). Tia DE cắt MN tại I, OO’ cắt AB và DI lần lượt tại H và F.
1) Chứng minh: FE.HD = FD.HE.
2) Chứng minh: MB.EB.DI = IB.AN.BD.
3) Chứng minh: O’I vuông góc với MN.
Câu 5 (1,0 điểm) 
Cho là các số dương thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: . 
--------------------------------------- Hết ---------------------------------------
Họ và tên thí sinh: ... Số báo danh: 
Chữ kí của giám thị 1: .. Chữ kí của giám thị 2: 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10
THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI
NĂM HỌC 2017 – 2018
Câu
Nội dung chính
Điểm
1.1
Tính giá trị của biểu thức biết .
1,0
Ta có: 
0,25
0,25
Ta có: 
0,25
0,25
1.2
Rút gọn biểu thức: với và .
1,0
Ta có 
Xét 
0,25
Ta có
Xét 
0,25
0,25
0,25
2.1
Giải phương trình: 
1,0
ĐK: 
0,25
PT 
0,25
Với 
0,25
Với 
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 3 và x = 4.
0,25
2.2
Giải hệ phương trình: 
1,0
Điều kiện: 
Phương trình (2) 
0,25
Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được: 
.
*) suy ra nghiệm 
*) 
0,25
Thay y = 3 – x vào phương trình (1) ta được: 
Với 
Khi < 0 (loại)
Khi (Thỏa mãn điều kiện)
0,25
Với 
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm là (3;1); (-1;4); 
0,25
3.1
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
1,0
Phương trình 
Ta có: 
Do y nguyên nên 
0,25
Với y = 0 thay vào (*) ta được: (thỏa mãn)
Với y = 1 thay vào (*) ta được: (loại)
Với y = -1 thay vào (*) ta được: (loại)
0,25
Với y = 2 thay vào (*) ta được: (loại)
Với y = -2 thay vào (*) ta được: (loại)
Với y = 3 thay vào (*) ta được: (loại)
Với y = -3 thay vào (*) ta được: (loại)
0,25
Với y = 4 thay vào (*) ta được: (thỏa mãn)
Với y = -4 thay vào (*) ta được: (thỏa mãn)
Vậy phương trình có các cặp nghiệm nguyên là: (-6;0); (2;0); (6;4); (-10;-4)
0,25
3.2
Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn: và là số chính phương.
1,0
Nếu x = y thì . Đặt (*) với 
Ta có: = 1.9
Dosuy ra nên 
suy ra x = y = 1 thỏa mãn
0,25
Nếu x y, do vai trò của x, y như nhau, không mất tính tổng quát giả sử x < y
Khi đó 
Do x, y nguyên dương suy ra 
Ta có: . Đặt (**) với 
0,25
Vì suy ra nên có các trường hợp sau:
TH1: (thỏa mãn)
TH2: (loại)
0,25
TH3: (loại)
TH4: (loại)
Vậy các số nguyên dương (x; y) thỏa mãn là (1; 1); (11; 16); (16;11)
0,25
4.1
Chứng minh: FE.HD = FD.HE
1,0
(O) cắt (O’) tại A, B (1)
CD, CE là tiếp tuyến của (O) tại D, E (2)
0,25
Từ (1) và (2) C, D, O, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính CO
0,25
mà CD = CE 
 HC là phân giác của 
0,25
Mặt khác tại H hay tại H
 HF là phân giác ngoài tại H của 
0,25
4.2
Chứng minh: MB.EB.DI = IB.AN.BD.
1,0
Trong (O) có: 
Trong (O’) có: 
BDMI là tứ giác nội tiếp 
0,25
Xét và có: 
 đồng dạng với (3)
0,25
Xét và có: 
 đồng dạng với (4)
0,25
Từ (3) và (4) 
0,25
4.3
 Chứng minh: O’I vuông góc với MN.
1,0
Xét và có: (vì )
 (vì BDMI nội tiếp)
 đồng dạng với (5)
0,25
Xét và có: chung; 
 đồng dạng với 
mà CD = CE (6)
0,25
Xét và có: chung; 
 đồng dạng với (7)
0,25
Mặt khác đồng dạng với (theo phần b) (8)
Từ .
0,25
5
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .
1,0
Đặt 
Ta có suy ra 
0,25
Ta có: 
Tương tự: 
0,25
Ta có: 
 (luôn đúng) do đó 
Suy ra: 
0,25
Dấu ‘=’ xảy ra 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng khi 
0,25
Ghi chú: 
- Thực tế học sinh có thể có cách làm khác. Nếu học sinh làm đúng, cách làm phù hợp thì phần đó vẫn đạt điểm tối đa.